Correction Concours ENCG Maroc 2023 — TAFEM
Sous-test 2 — Résolution de problèmes — Calcul et logique.
Correction pédagogique complète des questions 21 à 40.
Cette page présente la correction du Sous-test 2 : Résolution de problèmes du concours ENCG Maroc — TAFEM 2023.
Cette partie relève du calcul, de la logique, du raisonnement quantitatif et de la résolution de problèmes. Elle ne contient pas de questions nécessitant une spécialité scientifique particulière.
Correction détaillée question par question
Question 21 — Escargot et mur
Un escargot veut grimper au sommet d’un mur de 10 mètres de haut. Il se trouve qu’il se déplace d’une façon très particulière : pendant la journée il monte 3 mètres et durant la nuit il redescend de 2 mètres.
En partant de l’évidence qu’il débute son ascension un matin, combien de jours lui faudra-t-il pour accéder au sommet de ce mur ?
Pour un problème de montée avec descente nocturne, on ne retranche pas la descente après le jour où le sommet est atteint.
Après chaque journée complète suivie de la nuit, l’escargot gagne :
\[ 3-2=1\ \text{m}. \]Après la septième nuit, il se trouve à \(7\ \text{m}\). Pendant le huitième jour :
\[ 7+3=10. \]Il atteint donc le sommet pendant le \(8^{\text{e}}\) jour, sans redescendre ensuite.
Question 22 — Suite logique
Compléter cette suite logique :
\(89;\ 87;\ 83;\ 77;\ 69;\ \ldots\)
Dans une suite logique, commencer par les différences successives permet souvent de repérer la règle.
Les différences successives sont : \[ -2,\ -4,\ -6,\ -8. \] On continue avec \(-10\), donc : \[ 69-10=59. \]
Question 23 — Âge et permutation
Si je permute les chiffres de mon âge, j’obtiens l’âge de ma fille. Quand cette dernière est née, j’avais entre 20 et 30 ans. Quel était mon âge à sa naissance ?
La différence entre deux nombres à deux chiffres permutés est toujours un multiple de \(9\).
Si les âges sont \(10a+b\) et \(10b+a\), leur différence est : \[ (10a+b)-(10b+a)=9(a-b). \] L’âge à la naissance est donc un multiple de \(9\). Le seul multiple de \(9\) entre \(20\) et \(30\) est : \[ 27. \]
Question 24 — Enfants et chats
Aicha sort d’une salle de mariage et voit des enfants entourés de chats. Elle s’amuse à compter les têtes, les jambes et les pattes de ce drôle d’ensemble. Elle trouve 22 têtes et un total de 68 jambes et pattes.
À votre avis, combien y a-t-il d’enfants et de chats ?
Deux catégories et deux comptages donnent généralement un système de deux équations.
Soit \(e\) le nombre d’enfants et \(c\) celui des chats : \[ e+c=22,\qquad 2e+4c=68. \] En divisant la deuxième équation par \(2\) : \[ e+2c=34. \] Par soustraction : \[ c=12,\qquad e=10. \]
Question 25 — Garçons et filles
Je suis un garçon. La dernière fois, au parc, lorsque je regardais autour de moi, je voyais autant de filles que de garçons. Mais si une fille regardait autour d’elle, elle aurait vu deux fois plus de garçons que de filles.
Combien de personnes étaient au parc ?
Dans un problème où une personne regarde autour d’elle, elle ne se compte pas elle-même.
Soit \(B\) le nombre de garçons et \(F\) le nombre de filles. Le garçon qui regarde ne se compte pas : \[ F=B-1. \] Une fille qui regarde ne se compte pas : \[ B=2(F-1). \] Donc \(B=F+1\), puis : \[ F+1=2F-2. \] D’où : \[ F=3,\qquad B=4. \] Le total est : \[ 3+4=7. \]
Question 26 — Jours de pluie
Un petit garçon raconte ses vacances : « il y a eu 11 jours de pluie ; pendant ces 11 jours, quand il pleuvait le matin, il faisait beau l’après-midi et s’il pleuvait l’après-midi, il avait fait beau le matin. »
Au total, ce petit garçon a eu 9 matinées et 12 après-midis sans pluie. Combien de jours de vacances a eu ce petit garçon ?
Quand l’énoncé distingue matin et après-midi, il faut compter les demi-journées séparément.
Soit \(n\) le nombre de jours de vacances. Les matinées avec pluie sont \(n-9\). Les après-midis avec pluie sont \(n-12\).
Comme chaque jour pluvieux contient exactement une demi-journée de pluie :
\[
(n-9)+(n-12)=11.
\]
Donc :
\[
2n-21=11,\qquad n=16.
\]
Question 27 — Travail en commun
Achraf peint une maison en 6 jours ; son collègue Brahim, lui, peut faire le même travail en 3 jours seulement. Combien de temps faudrait-il pour repeindre cette maison s’ils unissaient leurs forces ?
Pour un travail en commun, on additionne les vitesses de travail, pas les durées.
Les vitesses de travail sont : \[ \frac{1}{6},\qquad \frac{1}{3}. \] Ensemble : \[ \frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}. \] Ils font donc une demi-maison par jour. Il faut alors : \[ 2\ \text{jours}. \]
Question 28 — Âges dans une classe
Dans une classe de 30 élèves ayant soit dix ans, soit six ans, 16 d’entre eux sont des garçons, 13 ont six ans et 6 sont des filles qui n’ont pas dix ans.
Combien d’élèves de cette classe sont des garçons de dix ans ?
Un tableau croisé âge/sexe permet d’éviter les confusions dans les problèmes de classement.
Les filles qui n’ont pas \(10\) ans ont donc \(6\) ans : il y a \(6\) filles de \(6\) ans.
Comme il y a \(13\) élèves de \(6\) ans :
\[
\text{garçons de 6 ans}=13-6=7.
\]
Donc :
\[
\text{garçons de 10 ans}=16-7=9.
\]
Question 29 — Inclusion-exclusion
Durant un test de mathématiques, 18 étudiants répondent correctement à la première question, 23 répondent correctement à la seconde question, 8 répondent correctement aux deux questions et 11 répondent incorrectement aux deux questions.
Combien d’étudiants participent au test ?
La formule d’inclusion-exclusion évite de compter deux fois ceux qui satisfont deux conditions.
Ceux qui réussissent au moins une question sont : \[ 18+23-8=33. \] On ajoute les \(11\) qui n’ont réussi aucune question : \[ 33+11=44. \]
Question 30 — Pourcentage du reste
Amine dépense 30 % de son revenu pour payer ses impôts et 30 % du reste pour payer ses dépenses personnelles.
Quel pourcentage de son revenu dépense-t-il pour ses dépenses personnelles ?
Un pourcentage du reste se calcule après la première dépense, et non sur le total initial.
Sur \(100\) DH, après les impôts il reste : \[ 70. \] Les dépenses personnelles valent : \[ 30\%\times70=21. \] Donc elles représentent \(21\%\) du revenu initial.
Question 31 — Nombre manquant
Trouver le nombre manquant.
81
121
28 84 ? 98 21
64
Le nombre central appartient à la fois à la colonne verticale et à la ligne horizontale.
Dans la colonne verticale, tous les nombres visibles sont des carrés parfaits :
\[ 36=6^2,\qquad 81=9^2,\qquad 121=11^2,\qquad 64=8^2. \]Le nombre manquant doit donc être un carré parfait.
Dans la ligne horizontale, tous les nombres visibles sont des multiples de \(7\) :
\[ 28=4\times7,\qquad 84=12\times7,\qquad 98=14\times7,\qquad 21=3\times7. \]Le nombre manquant doit donc être à la fois un carré parfait et un multiple de \(7\).
Parmi les propositions, seul \(49\) vérifie les deux conditions :
\[ 49=7^2=7\times7. \]Question 32 — Âges et moyennes
La moyenne des âges des parents de Samir est 49 ans. Le père a huit ans de plus que la mère. Si la moyenne de l’âge de Samir et de celui de son père est 27 ans, quel est l’âge de Samir ?
Une moyenne se transforme en somme : moyenne de deux nombres égale à \(m\) signifie somme égale à \(2m\).
Soit \(m\) l’âge de la mère et \(p\) celui du père : \[ m+p=98,\qquad p=m+8. \] Donc : \[ m+m+8=98,\qquad m=45,\qquad p=53. \] Si \(s\) est l’âge de Samir : \[ \frac{s+53}{2}=27. \] Donc : \[ s+53=54,\qquad s=1. \]
Question 33 — Suffisance de données
Dans un lycée, quelle proportion de garçons y a-t-il dans les classes de la 2e année Bac ?
(1) 60 % des élèves du lycée sont des filles.
(2) 25 % des élèves du lycée sont en 2e année Bac.
Une proportion globale ne donne pas automatiquement une proportion dans un sous-groupe.
L’information \(60\%\) de filles est globale. L’information \(25\%\) en \(2^{\text{e}}\) Bac est aussi globale.
Même ensemble, elles ne donnent pas la répartition garçons/filles dans le sous-groupe des élèves de \(2^{\text{e}}\) Bac.
Question 34 — Pourcentages successifs
Le prix d’un fauteuil a augmenté une première fois de 25 %, puis encore de 25 %, et enfin, pendant les soldes, ce même fauteuil avait un rabais de 40 %. Quelle est l’affirmation vraie ?
Les pourcentages successifs se multiplient par leurs coefficients multiplicateurs.
Si \(P\) est le prix initial : \[ P_f=P\times1{,}25\times1{,}25\times0{,}60. \] Or : \[ 1{,}25\times1{,}25\times0{,}60=0{,}9375. \] Le prix final vaut donc \(93{,}75\%\) du prix initial, soit une baisse de : \[ 100\%-93{,}75\%=6{,}25\%. \]
Question 35 — Consommation ville/autoroute
Aymen a acheté une voiture qui consomme 1 litre tous les 6 km en ville et 1 litre tous les 10 km en autoroute. Pendant un voyage, Aymen a utilisé 200 litres pour parcourir une distance totale de 1 800 km.
Combien de km Aymen a-t-il roulé en ville ?
Une consommation en litres se calcule par distance divisée par nombre de kilomètres par litre.
Soit \(x\) la distance parcourue en ville. La distance sur autoroute est \(1800-x\). La consommation totale est : \[ \frac{x}{6}+\frac{1800-x}{10}=200. \] En multipliant par \(30\) : \[ 5x+3(1800-x)=6000. \] Donc : \[ 5x+5400-3x=6000,\qquad 2x=600,\qquad x=300. \]
Question 36 — Comparer des fractions
Laquelle des expressions suivantes est la plus petite sachant que le réel \(Q\) est strictement supérieur à 5 ?
À numérateur positif égal, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.
On a :
\[
\frac{Q}{5}>1,\qquad \frac{Q+1}{5}>1
\]
car \(Q>5\).
Les deux autres expressions sont inférieures à \(1\). Comme :
\[
Q+1> Q,
\]
on obtient :
\[
\frac{5}{Q+1}<\frac{5}{Q}.
\]
Donc la plus petite expression est :
\[
\frac{5}{Q+1}.
\]
Question 37 — Négation logique
On considère la proposition suivante : « Je passerai mes vacances d’été en Égypte ou en Turquie ».
La négation de cette proposition est :
La négation de \(A\) ou \(B\) est : non \(A\) et non \(B\).
La proposition est de la forme \(A\lor B\). Sa négation est : \[ \neg(A\lor B)\Longleftrightarrow(\neg A)\land(\neg B). \] Donc la négation est : « Je ne passerai pas mes vacances d’été en Égypte ni en Turquie ».
Question 38 — Prix d’un cadeau
Un groupe d’étudiants décide d’acheter un cadeau d’anniversaire à leur ami. Cela leur coûtera 44 dirhams chacun. Cependant, si deux d’entre eux décident de ne pas payer, cela coûtera 52 dirhams aux payeurs.
Combien coûte le cadeau ?
Quand un prix total reste identique, on peut l’écrire de deux façons puis résoudre l’équation.
Soit \(n\) le nombre initial d’étudiants. Le prix du cadeau est : \[ 44n. \] Si deux ne paient pas, le même prix est : \[ 52(n-2). \] Donc : \[ 44n=52(n-2). \] Ainsi : \[ 44n=52n-104,\qquad 8n=104,\qquad n=13. \] Le cadeau coûte : \[ 44\times13=572. \]
Question 39 — Trois productions
La production totale des récoltes de 3 exploitations est de 65 800 tonnes. Le triple de la production de la 2e est égal aux \(7/5\) de celle de la 1re et aux \(9/4\) de celle de la 3e.
Quelle est la production de chaque exploitation ?
Poser une constante commune simplifie les relations de proportionnalité entre plusieurs quantités.
Posons : \[ 3P_2=\frac{7}{5}P_1=\frac{9}{4}P_3=k. \] Alors : \[ P_1=\frac{5}{7}k,\qquad P_2=\frac{1}{3}k,\qquad P_3=\frac{4}{9}k. \] Donc : \[ \left(\frac{5}{7}+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}\right)k=65800. \] Or : \[ \frac{5}{7}+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=\frac{94}{63}. \] Ainsi : \[ k=65800\times\frac{63}{94}=44100. \] Donc : \[ P_1=31500,\qquad P_2=14700,\qquad P_3=19600. \]
Question 40 — Figure manquante
Le nombre écrit dépend des deux formes géométriques de la carte.
Dans une figure logique, le nombre écrit peut dépendre du nombre de côtés, d’angles ou d’intersections des formes.
Le nombre est le produit du nombre de côtés des deux figures.
Première carte :
\[
4\times3=12.
\]
Troisième carte :
\[
5\times3=15.
\]
La carte manquante doit donc respecter la même règle. La proposition D contient deux rectangles :
\[
4\times4=16.
\]
Elle correspond donc au nombre \(16\).
Tableau récapitulatif des réponses finales
| Question | Réponse | Remarque |
|---|---|---|
| Q21 | 8 jours | Aucune proposition du QCM ne correspond. |
| Q22 | C | |
| Q23 | B | |
| Q24 | B | |
| Q25 | C | |
| Q26 | B | |
| Q27 | B | |
| Q28 | B | |
| Q29 | A | |
| Q30 | C | |
| Q31 | A | \(49\) est à la fois un carré parfait et un multiple de \(7\). |
| Q32 | A | |
| Q33 | D | |
| Q34 | D | |
| Q35 | C | |
| Q36 | D | |
| Q37 | B | |
| Q38 | D | |
| Q39 | A | |
| Q40 | D |
Conseil aux élèves
Dans ce sous-test, les outils les plus fréquents sont : mise en équation, suites logiques, inclusion-exclusion, pourcentages successifs, proportionnalité, comparaison de fractions et analyse de figures.
Pour les questions de résolution de problèmes, il faut traduire l’énoncé en relations simples, effectuer les calculs avec soin, puis contrôler la cohérence du résultat obtenu.
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