Correction ENCG–TAFEM 2016 — Résolution de problèmes
Correction détaillée des questions 21 à 40 du sous-test 2.
Cette page présente la correction pédagogique complète du sous-test « Résolution de problèmes » du TAFEM 2016.
Chaque question est résolue avec la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée — Questions 21 à 40
Question 21 — Deux nombres entiers
La somme de deux nombres entiers est égale à \(286\).
Si l’on ajoute \(19\) à chacun d’eux, l’un devient le quintuple de l’autre.
Déterminer ces deux nombres.
On traduit les deux conditions par un système.
Notons \(x\) le plus grand nombre et \(y\) le plus petit.
\[ x+y=286. \]Après avoir ajouté \(19\) à chacun, le plus grand devient cinq fois le plus petit :
\[ x+19=5(y+19). \]Donc :
\[ x=5y+76. \]En remplaçant dans la première équation :
\[ 5y+76+y=286, \] \[ 6y=210, \] \[ y=35. \]Alors :
\[ x=286-35=251. \]Question 22 — Progression numérique
Les nombres suivants sont les termes d’une progression :
\[ 0{,}0064\ ;\ 0{,}032\ ;\ 0{,}16\ ;\ 0{,}8\ ;\ 4\ ;\ 20\ ;\ \ldots \]Quel est le terme suivant ?
Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par \(5\).
Le terme suivant est donc :
\[ 20\times5=100. \]Question 23 — Prix des pêches et des tomates
En achetant \(4\ \mathrm{kg}\) de pêches et \(3\ \mathrm{kg}\) de tomates, j’ai payé \(62\ \mathrm{DH}\).
Une semaine après, j’achète les mêmes quantités pour \(57{,}70\ \mathrm{DH}\), car le prix des pêches a baissé de \(20\%\) et celui des tomates a augmenté de \(25\%\).
Quel était le prix initial d’un kilogramme de pêches ?
On note les prix initiaux d’un kilogramme de pêches et de tomates, puis on utilise les deux achats.
Notons \(p\) le prix initial d’un kilogramme de pêches et \(t\) celui d’un kilogramme de tomates.
\[ 4p+3t=62. \]Après les variations de prix :
\[ 4(0{,}8p)+3(1{,}25t)=57{,}70. \] \[ 3{,}2p+3{,}75t=57{,}70. \]La première équation multipliée par \(0{,}8\) donne :
\[ 3{,}2p+2{,}4t=49{,}6. \]En soustrayant :
\[ 1{,}35t=8{,}10, \] \[ t=6. \]Alors :
\[ 4p+3\times6=62, \] \[ 4p=44, \] \[ p=11. \]Question 24 — Estimation de travaux
Un bureau d’études a estimé les travaux de construction d’une école pour la commune \(X\).
Le terrassement et la maçonnerie sont évalués à \(922\,500\ \mathrm{DH}\).
Les autres lots représentent les pourcentages suivants de l’estimation totale :
- menuiserie : \(26\%\) ;
- plomberie-chauffage : \(15\%\) ;
- installation électrique : \(3{,}5\%\) ;
- peinture-vitrerie : \(2{,}5\%\) ;
- planchers-carrelages : \(8\%\).
Quel est le montant total de l’estimation des travaux ?
Les autres lots représentent \(55\%\) de l’estimation totale.
La somme des pourcentages des autres lots est :
\[ 26+15+3{,}5+2{,}5+8=55\%. \]Le terrassement et la maçonnerie représentent donc :
\[ 100\%-55\%=45\% \]du montant total.
Si \(T\) est l’estimation totale :
\[ 0{,}45T=922\,500. \] \[ T=\frac{922\,500}{0{,}45}=2\,050\,000. \]Question 25 — Cadence d’une photocopieuse
Un fabricant de photocopieuses garantit qu’une de ses machines peut réaliser une photocopie toutes les \(2{,}5\) secondes.
À ce rythme, combien de photocopies peut-on effectuer en une heure ?
Une heure contient \(3600\) secondes.
La machine réalise une photocopie toutes les \(2{,}5\) secondes.
\[ \frac{3600}{2{,}5}=1440. \]Question 26 — Moyenne de six nombres
La moyenne de six nombres est égale à \(19\).
Si l’on élimine l’un des six nombres, la moyenne des cinq nombres restants devient égale à \(21\).
Quelle est la valeur du nombre éliminé ?
On compare la somme initiale des six nombres à la somme des cinq nombres restants.
La somme des six nombres vaut :
\[ 6\times19=114. \]La somme des cinq nombres restants vaut :
\[ 5\times21=105. \]Le nombre éliminé est donc :
\[ 114-105=9. \]Question 27 — Nombre manquant dans une grille
Trouver le nombre qui manque :
| 147 | ||||
| 56 | ||||
| 121 | 990 | ? | 22 | 143 |
| 35 | ||||
| 91 |
Les nombres de la ligne horizontale sont tous divisibles par \(11\), tandis que ceux de la colonne verticale sont tous divisibles par \(7\).
Sur la ligne horizontale :
\[ 121=11\times11,\quad 990=11\times90,\quad 22=11\times2,\quad 143=11\times13. \]Sur la colonne verticale :
\[ 147=7\times21,\quad 56=7\times8,\quad 35=7\times5,\quad 91=7\times13. \]Le nombre central doit donc être divisible à la fois par \(11\) et par \(7\), donc par :
\[ 77. \]Parmi les propositions, seule la valeur suivante convient :
\[ 154=2\times77. \]Question 28 — Répartition d’une prime selon l’ancienneté
Quatre ouvriers ayant une ancienneté respective de \(12\), \(10\), \(8\) et \(7\) ans reçoivent une prime globale de \(7400\ \mathrm{DH}\).
Cette prime est partagée proportionnellement à leur ancienneté.
Déterminer la part du quatrième ouvrier, qui possède \(7\) ans d’ancienneté.
La prime est répartie proportionnellement aux années d’ancienneté.
La somme des anciennetés est :
\[ 12+10+8+7=37. \]La part du quatrième ouvrier est :
\[ 7400\times\frac{7}{37}. \]Comme :
\[ \frac{7400}{37}=200, \]on obtient :
\[ 200\times7=1400\ \mathrm{DH}. \]Question 29 — Étudiantes en droit
Une enquête révèle que les filles représentent \(48\%\) de la population étudiante, que les étudiants en droit représentent \(40\%\) de cette population et que, parmi les étudiants en droit, \(45\%\) sont des filles.
Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
On raisonne sur une population totale fictive de \(100\) étudiants.
Sur \(100\) étudiants, il y a :
\[ 48 \]filles et :
\[ 40 \]étudiants en droit.
Parmi les étudiants en droit, \(45\%\) sont des filles :
\[ 0{,}45\times40=18. \]La proportion de filles qui étudient le droit est donc :
\[ \frac{18}{48}=0{,}375=37{,}5\%. \]Question 30 — Production totale
Un producteur vend, le premier mois, \(5\%\) de sa production. Le deuxième mois, il vend \(12\%\) de sa production.
Il lui reste alors \(17\,430\ \mathrm{kg}\). Quelle est la quantité totale de sa production ?
Les pourcentages vendus sont calculés par rapport à la production totale.
Le producteur vend :
\[ 5\%+12\%=17\% \]de sa production.
Il lui reste donc :
\[ 100\%-17\%=83\%. \]Si \(P\) est la production totale :
\[ 0{,}83P=17\,430. \] \[ P=\frac{17\,430}{0{,}83}=21\,000. \]Question 31 — Arbres le long d’une route
Deux villages sont distants de \(4{,}360\ \mathrm{km}\). La route reliant les deux villages est bordée d’arbres de part et d’autre.
Les arbres sont espacés de \(15\ \mathrm{m}\), et le premier arbre se trouve à \(200\ \mathrm{m}\) de la sortie de chaque village.
Combien y a-t-il d’arbres sur la route reliant les deux villages ?
On compte les arbres sur un côté, puis on double le résultat.
La distance située entre le premier arbre proche du premier village et le dernier arbre proche du second village est :
\[ 4360-200-200=3960\ \mathrm{m}. \]Le nombre d’intervalles de \(15\) mètres est :
\[ \frac{3960}{15}=264. \]Le nombre d’arbres sur un côté est donc :
\[ 264+1=265. \]La route est bordée des deux côtés :
\[ 2\times265=530. \]Question 32 — Âge du père de Karim
Le père de Karim a \(23\) ans de plus que son fils. Dans \(15\) ans, la somme de leurs âges sera égale à \(77\) ans.
Quel est l’âge actuel du père de Karim ?
On traduit les informations relatives aux âges actuels et futurs.
Notons \(x\) l’âge actuel de Karim.
Son père a alors :
\[ x+23 \]ans.
Dans \(15\) ans :
\[ (x+15)+(x+23+15)=77. \] \[ 2x+53=77, \] \[ 2x=24, \] \[ x=12. \]L’âge actuel du père est donc :
\[ 12+23=35. \]Question 33 — Coût d’une croisière
Une agence de voyage propose une croisière qui coûte \(S\) dirhams le premier jour et \(\dfrac{S}{6}\) dirhams chaque jour supplémentaire.
Quel est le coût d’un voyage de \(J\) jours, avec \(J>1\) ?
Le premier jour coûte \(S\), puis chacun des \(J-1\) jours supplémentaires coûte \(\dfrac{S}{6}\).
Le coût total est :
\[ S+(J-1)\frac{S}{6}. \] \[ =\frac{6S+(J-1)S}{6}. \] \[ =\frac{SJ+5S}{6}. \]Question 34 — Travail de quatre ouvriers
Quatre ouvriers, travaillant au même rythme, peuvent terminer les deux tiers d’un travail en \(40\) minutes.
En combien de minutes un seul de ces ouvriers pourrait-il terminer les deux cinquièmes de ce même travail ?
Le travail réalisé est proportionnel au nombre d’ouvriers et au temps de travail.
Quatre ouvriers pendant \(40\) minutes représentent :
\[ 4\times40=160 \]minutes-ouvrier pour réaliser les \(\dfrac{2}{3}\) du travail.
Le travail complet nécessite donc :
\[ 160\times\frac{3}{2}=240 \]minutes-ouvrier.
Pour réaliser les \(\dfrac{2}{5}\) du travail, un seul ouvrier met :
\[ 240\times\frac{2}{5}=96 \]minutes.
Question 35 — Aire d’une pelouse
Un jardin rectangulaire mesure \(36\ \mathrm{m}\) sur \(13\ \mathrm{m}\). Il comporte deux allées de \(2\ \mathrm{m}\) de largeur qui se croisent, l’une dans le sens de la longueur et l’autre dans le sens de la largeur.
Le reste du terrain est en pelouse. Quelle est l’aire de la pelouse ?
On soustrait de l’aire totale l’aire des deux allées, en ajoutant une seule fois leur zone de croisement.
L’aire totale du jardin est :
\[ 36\times13=468\ \mathrm{m^2}. \]L’aire de l’allée longitudinale est :
\[ 36\times2=72\ \mathrm{m^2}. \]L’aire de l’allée transversale est :
\[ 13\times2=26\ \mathrm{m^2}. \]Le carré de croisement, compté deux fois, a pour aire :
\[ 2\times2=4\ \mathrm{m^2}. \]L’aire totale des allées est donc :
\[ 72+26-4=94\ \mathrm{m^2}. \]L’aire de la pelouse vaut :
\[ 468-94=374\ \mathrm{m^2}. \]Question 36 — Étudiants et langues étrangères
Parmi \(38\) étudiants de la troisième année, filière commerce, de l’ENCG, \(26\) apprennent l’espagnol et \(15\) apprennent l’allemand, dont \(8\) apprennent également l’espagnol.
Quel est le nombre d’étudiants qui n’apprennent aucune de ces deux langues ?
On utilise le principe d’inclusion-exclusion.
Le nombre d’étudiants apprenant au moins une langue est :
\[ 26+15-8=33. \]Le nombre d’étudiants n’apprenant aucune des deux langues est :
\[ 38-33=5. \]Question 37 — Élection des délégués
Trois élèves se présentent à l’élection des délégués d’une classe.
L’un d’eux reçoit les \(\dfrac{3}{5}\) des voix et un autre reçoit les \(\dfrac{3}{4}\) des voix restantes.
Quelle fraction de toutes les voix reçoit le troisième candidat ?
On calcule successivement les fractions de voix reçues par les trois candidats.
Le premier candidat reçoit :
\[ \frac{3}{5}. \]Il reste :
\[ 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}. \]Le deuxième candidat reçoit les \(\dfrac{3}{4}\) des voix restantes :
\[ \frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{3}{10}. \]Le troisième candidat reçoit donc :
\[ 1-\frac{3}{5}-\frac{3}{10}. \] \[ =\frac{10}{10}-\frac{6}{10}-\frac{3}{10} =\frac{1}{10}. \]Question 38 — Le serpent et son circuit
Un serpent met une heure et demie pour faire le tour de son territoire en rampant.
Lorsqu’il effectue le même circuit dans l’autre sens, il ne met que \(90\) minutes. D’où vient la différence ?
Une heure et demie est exactement égale à \(90\) minutes.
Les deux durées sont donc identiques.
Question 39 — Électeurs ayant voté pour un candidat
Une élection oppose deux candidats \(X\) et \(Y\). \(70\%\) des électeurs ont voté pour \(Y\), \(60\%\) des électeurs sont des hommes et \(35\%\) des électrices ont voté pour \(X\).
Quel est le pourcentage de l’ensemble des électeurs correspondant aux hommes ayant voté pour \(Y\) ?
On raisonne sur \(100\) électeurs.
Sur \(100\) électeurs :
- \(70\) ont voté pour \(Y\) ;
- \(60\) sont des hommes ;
- \(40\) sont des femmes.
Parmi les femmes, \(35\%\) ont voté pour \(X\) :
\[ 0{,}35\times40=14. \]Les femmes ayant voté pour \(Y\) sont donc :
\[ 40-14=26. \]Comme \(70\) électeurs ont voté pour \(Y\), les hommes ayant voté pour \(Y\) représentent :
\[ 70-26=44. \]Question 40 — Poignées de main
Les cinq membres d’un nouveau service se rencontrent pour la première fois et se saluent deux à deux par une poignée de main.
Combien de poignées de main sont échangées pour que chacun ait salué tous les autres ?
Chaque poignée de main correspond à un couple distinct de personnes.
Le nombre de couples formés parmi cinq personnes est :
\[ \frac{5\times4}{2}=10. \]On peut aussi compter :
\[ 4+3+2+1=10. \]Bilan pédagogique
Les 20 questions ont été corrigées une à une, avec vérification des calculs et des réponses finales.
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