Correction ENCG–TAFEM 2017 — Résolution de problèmes
Correction détaillée des questions 21 à 40 du sous-test 2.
Cette page présente la correction pédagogique complète du sous-test « Résolution de problèmes » du TAFEM 2017.
Chaque question est résolue avec la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
* Q36 : réponse rectifiée après vérification indépendante. Q40 : réponse attendue lorsque l’égalité de prix est considérée comme avantageuse.
Correction détaillée — Questions 21 à 40
Question 21 — Prix du mètre de tissu
Une personne achète \(3{,}60\) mètres de tissu.
Si elle avait choisi un autre tissu valant \(15\ \mathrm{DH}\) de moins par mètre, elle aurait pu acheter \(4{,}20\) mètres pour la même somme.
Quel est le prix du mètre de tissu acheté ?
Les deux achats auraient coûté exactement la même somme.
Notons \(x\) le prix du mètre de tissu acheté.
L’autre tissu aurait coûté \(x-15\) dirhams par mètre. On a donc :
\[ 3{,}60x=4{,}20(x-15). \] \[ 3{,}6x=4{,}2x-63, \] \[ 0{,}6x=63, \] \[ x=105. \]Question 22 — Opération personnalisée
L’opération \(a*b\) désigne le plus grand des deux nombres \(2a\) ou \(a+b\).
Que vaut :
\[(7*8)*(8*7)\ ?\]Pour calculer \(a*b\), on compare \(2a\) et \(a+b\), puis on retient le plus grand.
Enfin :
\[ 15*16=\max(30,31)=31. \]Question 23 — Course cycliste en relais
Trois cyclistes ont \(165\ \mathrm{km}\) à parcourir en course relais.
La distance parcourue par \(A\) est les \(\dfrac{5}{4}\) de celle parcourue par \(B\).
Le cycliste \(C\) effectue la moitié du parcours de \(B\).
Quelle distance a parcourue le cycliste \(C\) ?
On exprime les trois distances en fonction de celle parcourue par \(B\).
Notons \(x\) la distance parcourue par \(B\).
\[ A=\frac{5}{4}x, \qquad C=\frac{1}{2}x. \]La distance totale vaut \(165\ \mathrm{km}\) :
\[ \frac{5}{4}x+x+\frac{1}{2}x=165. \] \[ \frac{11}{4}x=165, \] \[ x=60. \]Donc :
\[ C=\frac{60}{2}=30\ \mathrm{km}. \]Question 24 — Consommation de camions
Sept camions ayant parcouru chacun \(350\ \mathrm{km}\) par jour pendant \(15\) jours ont consommé au total \(66{,}15\ \mathrm{hl}\) d’essence.
Quelle quantité d’essence consommeront trois camions du même type parcourant chacun \(250\ \mathrm{km}\) par jour pendant \(21\) jours ?
La consommation est proportionnelle au nombre total de kilomètres parcourus par l’ensemble des camions.
Dans la première situation, la distance totale parcourue est :
\[ 7\times350\times15=36\,750\ \mathrm{km}. \]Dans la seconde situation :
\[ 3\times250\times21=15\,750\ \mathrm{km}. \]La consommation cherchée vaut donc :
\[ 66{,}15\times\frac{15\,750}{36\,750} = 66{,}15\times\frac{3}{7} = 28{,}35\ \mathrm{hl}. \]Question 25 — Groupes de trois nombres
Arwa a agencé les nombres \(1\), \(2\), \(3\) et \(4\) de façon à former deux groupes de deux nombres dont la somme est \(5\). Elle a trouvé deux solutions : \((1+4)\) et \((2+3)\).
Elle utilise maintenant les nombres de \(1\) à \(12\). Elle veut former des groupes de trois nombres dont la somme est \(15\). Elle ne doit pas placer deux nombres identiques dans le même groupe.
Combien trouve-t-elle de solutions ?
On cherche les triplets d’entiers distincts \(a<b<c\), compris entre \(1\) et \(12\), dont la somme vaut \(15\).
Les triplets sont :
\[ (1,2,12),\ (1,3,11),\ (1,4,10),\ (1,5,9),\ (1,6,8), \] \[ (2,3,10),\ (2,4,9),\ (2,5,8),\ (2,6,7), \] \[ (3,4,8),\ (3,5,7),\ (4,5,6). \]Il y a donc :
\[ 12 \]solutions.
Question 26 — Nombre caché à trois chiffres
Sous un panneau, Imane a caché un nombre de trois chiffres.
- Elle prend un quinzième de ce nombre, auquel elle soustrait \(46\).
- Elle prend un douzième du même nombre, auquel elle soustrait \(55\).
- Elle prend un dixième, toujours du même nombre, auquel elle soustrait \(65\).
En multipliant entre eux les trois résultats précédents, elle retrouve son nombre.
Quel est-il ?
On peut tester les quatre propositions dans les trois expressions données.
Pour \(780\) :
\[ \frac{780}{15}-46=52-46=6, \] \[ \frac{780}{12}-55=65-55=10, \] \[ \frac{780}{10}-65=78-65=13. \]Le produit est :
\[ 6\times10\times13=780. \]Le nombre vérifie donc exactement la condition.
Question 27 — Nombre manquant dans une grille
Trouver le nombre qui manque :
| 114 | |||||
| 222 | |||||
| 402 | |||||
| 321 | |||||
| 84 | 119 | 21 | ? | 98 | 84 |
Dans la colonne verticale, la somme des chiffres de chaque nombre est égale à \(6\).
Le nombre manquant doit donc lui aussi avoir une somme de chiffres égale à \(6\).
Parmi les propositions :
\[ 1+2+2=5,\qquad 2+1+1=4, \] \[ 2+3+1=6,\qquad 2+6+2=10. \]Seul \(231\) convient.
Question 28 — Répartition d’une prime
On souhaite partager une prime de \(2898\ \mathrm{DH}\) entre deux employés \(A\) et \(B\), proportionnellement :
- à leur ancienneté, respectivement \(12\) et \(15\) ans ;
- à leur nombre respectif d’enfants, \(2\) et \(3\).
Quelle est la part reçue par l’employé \(A\) ?
Une répartition directement proportionnelle à deux critères utilise le produit des coefficients associés à chaque employé.
Pour \(A\), le coefficient est :
\[ 12\times2=24. \]Pour \(B\), le coefficient est :
\[ 15\times3=45. \]La somme des coefficients vaut :
\[ 24+45=69. \]La part de \(A\) est donc :
\[ 2898\times\frac{24}{69} = 42\times24 = 1008\ \mathrm{DH}. \]Question 29 — Heure de départ d’un cycliste
Un cycliste roulant à \(20\ \mathrm{km/h}\) a parcouru une distance de \(115\ \mathrm{km}\).
S’il arrive à destination à \(15\ \mathrm{h}\ 05\ \mathrm{min}\), à quelle heure est-il parti ?
La durée du trajet est égale à la distance divisée par la vitesse.
Or :
\[ 0{,}75\ \mathrm{h}=45\ \mathrm{min}. \]La durée du trajet est donc \(5\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}\).
\[ 15\ \mathrm{h}\ 05-5\ \mathrm{h}\ 45 = 9\ \mathrm{h}\ 20. \]Question 30 — Plantation d’arbres par rangées
Un forestier, disposant de moins de \(150\) arbres, décide de les planter par rangées de \(8\), \(12\) ou \(18\), et il lui en reste toujours \(7\).
De combien d’arbres dispose-t-il ?
Après retrait des \(7\) arbres restants, le nombre obtenu doit être divisible par \(8\), \(12\) et \(18\).
Le plus petit commun multiple est :
\[ \operatorname{PPCM}(8,12,18)=72. \]Le nombre d’arbres est donc de la forme :
\[ 72k+7. \]Comme il est inférieur à \(150\), la seule valeur proposée convenable est :
\[ 72+7=79. \]Question 31 — Part d’un troisième employé
Une somme est partagée entre trois employés \(A\), \(B\) et \(C\).
- L’employé \(A\) reçoit les \(\dfrac{4}{11}\) de la somme partagée.
- L’employé \(B\) reçoit \(40\%\) de la somme partagée.
- \(A\) et \(B\) reçoivent ensemble \(5460\ \mathrm{DH}\).
Quelle est la part reçue par l’employé \(C\) ?
On calcule d’abord la fraction totale reçue par \(A\) et \(B\).
Cette fraction représente \(5460\ \mathrm{DH}\). Si \(S\) est la somme totale :
\[ \frac{42}{55}S=5460. \] \[ S=5460\times\frac{55}{42}=7150. \]La fraction reçue par \(C\) est :
\[ 1-\frac{42}{55}=\frac{13}{55}. \]Sa part vaut :
\[ 7150\times\frac{13}{55}=1690\ \mathrm{DH}. \]Question 32 — Minimum d’une expression
Soient \(x\) et \(y\) des entiers naturels tels que :
\[x+y=10.\]Que vaut \(x^3-y^3\) lorsque \(x^2+y^2\) atteint sa valeur minimale ?
Pour une somme fixée, la somme des carrés est minimale lorsque les deux nombres sont aussi proches que possible.
Comme :
\[ x+y=10, \]le minimum de \(x^2+y^2\) est atteint pour :
\[ x=y=5. \]Alors :
\[ x^3-y^3=5^3-5^3=0. \]Question 33 — Suffisance des informations
Sachant que \(y\) est égal à \(75\%\) de \(x\), on dispose des deux informations suivantes :
- \(x>150\)
- \(x-y=74\)
Pour déterminer la valeur de \(y\), laquelle des propositions suivantes est vraie ?
On sait déjà que \(y=75\%x=\dfrac{3}{4}x\).
Information (1) : \(x>150\) ne permet pas de déterminer une valeur unique de \(x\) ni de \(y\).
Information (2) :
\[ x-y=74. \]Comme \(y=\dfrac{3}{4}x\) :
\[ x-\frac{3}{4}x=74, \] \[ \frac{1}{4}x=74, \] \[ x=296. \]Donc :
\[ y=\frac{3}{4}\times296=222. \]L’information (2) suffit à elle seule.
Question 34 — Nombres associés à des bonshommes
Les nombres sont placés selon un ordre logique d’un bonhomme à l’autre.
Trouver les deux nombres manquants :
La somme des deux nombres inférieurs est égale à quatre fois le nombre placé dans la tête, et leur différence vaut \(4\).
Premier bonhomme :
\[ 6+10=16=4\times4, \qquad 10-6=4. \]Troisième bonhomme :
\[ 20+24=44=4\times11, \qquad 24-20=4. \]Pour le bonhomme dont la tête contient \(7\), les deux nombres cherchés ont pour somme :
\[ 4\times7=28 \]et pour différence \(4\).
Les deux nombres sont donc :
\[ 12\quad\text{et}\quad16. \]Question 35 — Tournoi de tennis
Quatre jeunes ont participé à un tournoi de tennis.
- Anass a battu Hicham.
- Karim a perdu contre Hicham.
- Mounir a perdu contre Anass.
Qui a gagné le tournoi ?
Le gagnant doit avoir battu tous les adversaires rencontrés dans le tableau indiqué.
Anass a battu Hicham et Mounir.
Hicham avait auparavant battu Karim.
Anass est donc le vainqueur du tournoi.
Question 36 — Suffisance des informations
On considère l’inégalité :
\[3x-2y< z\]et les deux informations suivantes :
- \(x=3\)
- \(z=17\)
La valeur de \(y\) est-elle positive ?
Une information est suffisante seulement si elle permet de décider avec certitude si \(y\) est positif.
Information (1) seule : avec \(x=3\), l’inégalité devient :
\[ 9-2yInformation (2) seule : avec \(z=17\) :
\[ 3x-2y<17. \]Comme \(x\) est inconnu, le signe de \(y\) reste indéterminé.
Les deux informations ensemble :
\[ 9-2y<17. \] \[ -2y<8, \] \[ y>-4. \]Cette condition autorise aussi bien des valeurs négatives, nulles que positives. On ne peut donc toujours pas affirmer que \(y\) est positif.
Question 37 — Suite numérique
Les nombres manquants de la série suivante :
\[5,\ 8,\ 12,\ 17,\ 23,\ 30,\ 38,\ 47,\ \ldots,\ \ldots\]sont :
On étudie les écarts entre les termes successifs.
On ajoute ensuite \(10\), puis \(11\) :
\[ 47+10=57, \] \[ 57+11=68. \]Question 38 — Numérotation des pages d’un livre
Dans un livre de \(357\) pages, combien de chiffres a-t-on écrits pour numéroter toutes les pages ?
On sépare les pages à un chiffre, à deux chiffres et à trois chiffres.
Pages \(1\) à \(9\) :
\[ 9\times1=9 \]chiffres.
Pages \(10\) à \(99\) :
\[ 90\times2=180 \]chiffres.
Pages \(100\) à \(357\) :
\[ 357-100+1=258 \]pages, donc :
\[ 258\times3=774 \]chiffres.
Total :
\[ 9+180+774=963. \]Question 39 — Deux remises successives
Un article à \(1000\ \mathrm{DH}\) est soldé avec une remise de \(30\%\).
Lors d’une deuxième démarque, une seconde remise de \(10\%\) sur le prix déjà soldé est pratiquée.
Quel est son prix final ?
Les deux remises successives s’appliquent l’une après l’autre.
Après la remise de \(30\%\) :
\[ 1000\times0{,}70=700\ \mathrm{DH}. \]Après la seconde remise de \(10\%\) :
\[ 700\times0{,}90=630\ \mathrm{DH}. \]Question 40 — Formules d’abonnement
Une salle de spectacle propose plusieurs formules d’abonnement :
- un tarif de \(100\ \mathrm{DH}\) ;
- un tarif réduit de \(50\ \mathrm{DH}\) la place, plus un abonnement de \(200\ \mathrm{DH}\) ;
- un tarif avec accès illimité de \(1000\ \mathrm{DH}\).
À partir de combien de places le tarif avec accès illimité devient-il intéressant ?
Le tarif illimité doit être au moins aussi avantageux que les deux autres formules.
Pour \(x\) places :
- formule 1 : \(100x\) ;
- formule 2 : \(200+50x\) ;
- formule illimitée : \(1000\).
On compare :
\[ 1000\le100x \quad\Longrightarrow\quad x\ge10, \] \[ 1000\le200+50x \quad\Longrightarrow\quad x\ge16. \]À partir de \(16\) places, la formule illimitée n’est plus chère que les autres.
Bilan pédagogique
Les 20 questions ont été corrigées une à une. Les réponses diffusées ont été comparées aux calculs afin de rectifier les incohérences certaines.
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