Correction ENCG–TAFEM 2018 — Résolution de problèmes
Correction détaillée des questions 21 à 40 du sous-test 2.
Cette page présente la correction pédagogique complète du sous-test « Résolution de problèmes » du TAFEM 2018.
Chaque question est résolue avec la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
* Q28 : réponse mathématique rectifiée. Q38 : réponse attendue selon l’interprétation implicite du QCM.
Correction détaillée — Questions 21 à 40
Question 21 — Rattrapage sur un circuit
Ahmed et Karim participent à une course de motos qui consiste à parcourir plusieurs fois le même circuit.
Ahmed parcourt le circuit en \(25\) minutes, alors que Karim le parcourt en \(30\) minutes.
En supposant que les deux conducteurs partent au même instant, au bout de combien de temps Ahmed rattrapera-t-il Karim ?
On compare les vitesses exprimées en tours par minute.
Ahmed effectue :
\[ \frac{1}{25} \]tour par minute, tandis que Karim effectue :
\[ \frac{1}{30} \]tour par minute.
L’avance gagnée par Ahmed en une minute est :
\[ \frac{1}{25}-\frac{1}{30} = \frac{6-5}{150} = \frac{1}{150} \]tour.
Pour gagner un tour complet et rattraper Karim, il faut donc :
\[ 150\ \text{minutes}. \]Question 22 — Code secret à quatre chiffres
On cherche un code secret de quatre chiffres.
Cinq tentatives ont donné les résultats suivants :
- la première colonne indique le nombre de chiffres exacts et bien placés ;
- la dernière colonne indique le nombre de chiffres exacts mais mal placés.
| Exact et bien placé | Tentative | Exact mais mal placé | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 3 | 8 | 1 | |
| 4 | 3 | 8 | 2 | 1 | |
| 1 | 5 | 3 | 1 | 6 | 1 |
| 6 | 5 | 9 | 7 | 2 | |
| 1 | 6 | 7 | 9 | 4 | |
Quel est le code recherché ?
Un code valable doit respecter simultanément les cinq indications du tableau.
Vérifions le code \(5721\) :
- 4381 : seul le chiffre \(1\) est exact et bien placé ;
- 4382 : seul le chiffre \(2\) est exact, mais mal placé ;
- 5316 : le chiffre \(5\) est bien placé et le chiffre \(1\) est mal placé ;
- 6597 : les chiffres \(5\) et \(7\) sont exacts mais mal placés ;
- 6794 : seul le chiffre \(7\) est exact et bien placé.
Le code \(5721\) satisfait donc exactement toutes les contraintes.
Question 23 — Modification d’un partage
Un partage d’une somme \(S\) entre deux amis devait se faire proportionnellement à \(3\) et \(5\).
La décision prise précédemment a été modifiée et le partage s’est fait proportionnellement à \(1\) et \(3\).
L’un d’eux a ainsi perdu \(1000\ \mathrm{DH}\).
Quelle était la somme à partager ?
On compare la part du premier ami avant et après la modification.
Dans le partage initial, les parts sont proportionnelles à \(3\) et \(5\). Le premier ami devait recevoir :
\[ \frac{3}{3+5}S=\frac{3}{8}S. \]Dans le nouveau partage, les parts sont proportionnelles à \(1\) et \(3\). Il reçoit alors :
\[ \frac{1}{1+3}S=\frac{1}{4}S. \]Sa perte est :
\[ \frac{3}{8}S-\frac{1}{4}S = \frac{3}{8}S-\frac{2}{8}S = \frac{1}{8}S. \]Or cette perte vaut \(1000\ \mathrm{DH}\) :
\[ \frac{1}{8}S=1000 \quad\Longrightarrow\quad S=8000. \]Question 24 — Tournoi à élimination directe
Un tournoi de tennis entre \(N\) joueurs est organisé.
Le principe est l’élimination directe : un joueur qui a perdu un match ne peut participer à d’autres matchs.
Quel est le nombre de parties jouées, finale comprise, en fonction du nombre de joueurs \(N\) ?
Chaque match élimine exactement un joueur.
Pour passer de \(N\) joueurs à un seul vainqueur, il faut éliminer :
\[ N-1 \]joueurs.
Comme chaque partie élimine un seul joueur, le nombre total de parties est :
\[ N-1. \]Question 25 — Deux trains et une mouche
Deux villes distantes de \(1000\ \mathrm{km}\) sont reliées par une double voie de chemin de fer.
À un moment donné, deux trains roulant à \(100\ \mathrm{km/h}\) quittent chacun l’une des deux villes en direction de l’autre.
Une mouche-espionne dont la vitesse est de \(150\ \mathrm{km/h}\) commence alors un aller-retour ininterrompu entre ces deux trains.
Quelle distance aura parcourue la mouche au moment où les deux trains se croiseront ?
On calcule d’abord le temps nécessaire aux deux trains pour se rencontrer.
La vitesse de rapprochement des deux trains est :
\[ 100+100=200\ \mathrm{km/h}. \]Le temps nécessaire pour parcourir ensemble les \(1000\ \mathrm{km}\) est :
\[ t=\frac{1000}{200}=5\ \mathrm{h}. \]Pendant ces cinq heures, la mouche vole à \(150\ \mathrm{km/h}\). Elle parcourt donc :
\[ 150\times5=750\ \mathrm{km}. \]Question 26 — Problème d’âge
« J’ai quatre fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez. J’ai quarante ans. »
Quel âge avez-vous ?
On traduit précisément la différence d’âge entre les deux personnes.
Le locuteur a actuellement \(40\) ans. Notons \(x\) l’âge actuel de l’autre personne.
Lorsque le locuteur avait \(x\) ans, c’était il y a :
\[ 40-x \]années.
L’autre personne avait alors :
\[ x-(40-x)=2x-40 \]ans.
D’après l’énoncé :
\[ 40=4(2x-40). \] \[ 40=8x-160, \] \[ 8x=200, \] \[ x=25. \]Question 27 — Dépenses dans cinq magasins
Une personne a dépensé tout ce qu’elle avait en poche dans cinq magasins.
Dans chacun, elle a dépensé \(10\ \mathrm{DH}\) de plus que la moitié de ce qu’elle avait en entrant.
Combien avait-elle en poche au départ ?
On remonte les dépenses à partir du dernier magasin.
Si une personne possède \(x\) dirhams en entrant dans un magasin, elle dépense :
\[ \frac{x}{2}+10. \]Il lui reste donc :
\[ x-\left(\frac{x}{2}+10\right)=\frac{x}{2}-10. \]Si \(r\) est le montant restant à la sortie, le montant à l’entrée est :
\[ x=2(r+10). \]Après le cinquième magasin, il ne reste rien. En remontant :
\[ 0\longrightarrow20\longrightarrow60\longrightarrow140 \longrightarrow300\longrightarrow620. \]La somme initiale était donc \(620\ \mathrm{DH}\).
Question 28 — Suffisance des informations
La somme de cinq entiers consécutifs est-elle impaire ?
- Le premier de ces entiers est pair.
- La moyenne arithmétique des cinq nombres est impaire.
Laquelle des propositions suivantes est vraie pour répondre à la question ci-dessus ?
La somme de cinq entiers consécutifs est égale à cinq fois leur terme central.
Écrivons les cinq entiers sous la forme :
\[ n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4. \]Leur somme vaut :
\[ 5n+10=5(n+2). \]Information (1) : si le premier entier \(n\) est pair, alors \(n+2\) est pair et la somme est paire. On peut donc répondre avec certitude : non.
Information (2) : la moyenne est le terme central \(n+2\). Si cette moyenne est impaire, alors la somme \(5(n+2)\) est impaire. On peut donc répondre avec certitude : oui.
Chaque information permet donc, séparément, de répondre à la question.
Question 29 — Trois entiers consécutifs
La somme de trois entiers naturels consécutifs \(m\), \(n\) et \(p\) est égale à \(72\).
Quelle est la valeur de \(m+p\) ?
Pour trois entiers consécutifs, le terme central est égal au tiers de leur somme.
Comme :
\[ m+n+p=72, \]et que \(m=n-1\), \(p=n+1\), on obtient :
\[ (n-1)+n+(n+1)=72. \] \[ 3n=72 \quad\Longrightarrow\quad n=24. \]Ainsi :
\[ m=23,\qquad p=25. \] \[ m+p=23+25=48. \]Question 30 — Élèves et langues étrangères
Dans une classe de \(38\) élèves :
- \(26\) apprennent l’espagnol ;
- \(15\) apprennent l’allemand, dont \(8\) apprennent également l’espagnol.
Quel est le nombre d’élèves qui n’apprennent aucune de ces langues ?
On utilise le principe d’inclusion-exclusion.
Le nombre d’élèves apprenant au moins une langue est :
\[ 26+15-8=33. \]Le nombre d’élèves n’apprenant aucune des deux langues est :
\[ 38-33=5. \]Question 31 — Évolution d’une production
Dans une entreprise de matériel Hi-Fi, la production de l’année \(2013\) a été de \(25\%\) supérieure à celle de \(2012\).
En revanche, la production de l’année \(2014\) a été de \(10\%\) inférieure à celle de \(2013\).
Quel pourcentage de la production de \(2012\) a été réalisé en \(2014\) ?
Des variations successives en pourcentage se traduisent par la multiplication des coefficients correspondants.
Prenons comme base une production de \(100\) en \(2012\).
En \(2013\), la production devient :
\[ 100\times1{,}25=125. \]En \(2014\), elle diminue de \(10\%\) :
\[ 125\times0{,}90=112{,}5. \]La production de \(2014\) représente donc :
\[ 112{,}5\% \]de celle de \(2012\).
Question 32 — Capacité d’une bouteille
Une bouteille est pleine.
Si on en vide le quart, la quantité de liquide restante est de \(54\ \mathrm{cl}\).
Quelle quantité de liquide, en centilitres, contient-elle lorsqu’elle est remplie au tiers de sa capacité totale ?
Après avoir vidé le quart de la bouteille, il reste les trois quarts de sa capacité.
Notons \(C\) la capacité totale de la bouteille.
\[ \frac{3}{4}C=54. \]Donc :
\[ C=54\times\frac{4}{3}=72\ \mathrm{cl}. \]Le tiers de cette capacité est :
\[ \frac{72}{3}=24\ \mathrm{cl}. \]Question 33 — Répartition d’une subvention
Pour assurer son fonctionnement, une usine de traitement des ordures ménagères reçoit une subvention globale mensuelle décomposée ainsi :
- \(\dfrac{8}{17}\) de la subvention globale provient de la commune ;
- \(\dfrac{4}{9}\) de la subvention globale provient de l’État ;
- \(7150\ \mathrm{DH}\) proviennent de la région.
Quel est le montant de la participation de l’État ?
La part de la région est le complément des parts de la commune et de l’État.
La fraction provenant de la région vaut :
\[ 1-\frac{8}{17}-\frac{4}{9}. \]Avec le dénominateur commun \(153\) :
\[ 1-\frac{72}{153}-\frac{68}{153} = \frac{13}{153}. \]Si \(S\) est la subvention globale :
\[ \frac{13}{153}S=7150. \] \[ S=7150\times\frac{153}{13}=84\,150\ \mathrm{DH}. \]La participation de l’État est :
\[ \frac{4}{9}\times84\,150=37\,400\ \mathrm{DH}. \]Question 34 — Nombre manquant dans une grille
Trouver le nombre qui manque :
| 878 | ||||
| 454 | ||||
| 666 | 783 | 918 | ? | 558 |
| 626 | ||||
| 515 |
Le nombre central doit respecter simultanément la règle de la ligne horizontale et celle de la colonne verticale.
Sur la ligne horizontale, la somme des chiffres de chaque nombre vaut \(18\) :
\[ 6+6+6=18, \] \[ 7+8+3=18, \] \[ 9+1+8=18, \] \[ 5+5+8=18. \]Le nombre manquant doit donc avoir une somme de chiffres égale à \(18\).
Dans la colonne verticale, tous les nombres sont des palindromes : le premier et le dernier chiffre sont identiques :
\[ 878,\quad454,\quad626,\quad515. \]Le nombre recherché doit donc être à la fois un palindrome et avoir une somme de chiffres égale à \(18\).
Parmi les propositions, seul :
\[ 909 \]vérifie les deux conditions.
Question 35 — Taux d’un placement
Un capital de \(96\,000\ \mathrm{DH}\), placé pendant \(85\) jours, devient — capital et intérêts réunis — \(96\,680\ \mathrm{DH}\).
Quel est le taux de ce placement ?
Donnée : l’année financière adoptée correspond à \(360\) jours.
À intérêt simple, \(I=C\times t\times\dfrac{n}{360}\).
L’intérêt produit est :
\[ I=96\,680-96\,000=680\ \mathrm{DH}. \]Si \(t\) est le taux annuel :
\[ 680=96\,000\times t\times\frac{85}{360}. \]Donc :
\[ t=\frac{680\times360}{96\,000\times85} =0{,}03. \] \[ t=3\%. \]Question 36 — Progression d’un élevage
Dans un élevage, la progression du nombre de bêtes est de \(25\%\) par an.
En \(1993\), l’élevage comprenait \(3369\) bêtes.
En quelle année l’élevage comprenait-il \(1725\) bêtes ?
Une progression annuelle de \(25\%\) correspond à une multiplication par \(1{,}25\).
En remontant d’une année, on divise par \(1{,}25\).
\[ \frac{3369}{1{,}25}\approx2695, \] \[ \frac{2695}{1{,}25}\approx2156, \] \[ \frac{2156}{1{,}25}\approx1725. \]Il faut donc remonter de trois années à partir de \(1993\) :
\[ 1993-3=1990. \]La légère différence provient de l’arrondi du nombre de bêtes à l’unité.
Question 37 — Production d’œufs
Si huit cents poules pondent en moyenne huit cents œufs en huit jours, combien d’œufs pondent quatre cents poules en quatre jours ?
La production d’œufs est proportionnelle au nombre de poules et au nombre de jours.
Huit cents poules pendant huit jours représentent :
\[ 800\times8=6400 \]journées-poules et produisent \(800\) œufs.
Quatre cents poules pendant quatre jours représentent :
\[ 400\times4=1600 \]journées-poules, soit le quart de \(6400\).
La production est donc :
\[ \frac{800}{4}=200 \]œufs.
Question 38 — Dépenses pendant une journée de soldes
Au cours d’une journée de soldes, une consommatrice dépense, durant la matinée, la moitié de son avoir du jour.
À midi, le restaurant lui coûte \(20\ \mathrm{DH}\).
Au début de l’après-midi, elle marchande une veste de \(200\ \mathrm{DH}\), soldée à \(50\%\), et obtient un rabais de \(10\%\) sur le prix demandé.
Elle dépense encore le quart de ce qu’elle avait au départ.
À vrai dire, si elle n’avait pas marchandé, il ne lui resterait plus rien.
Combien cette consommatrice a-t-elle dépensé l’après-midi, restaurant non compris ?
La réponse officielle suppose que le rabais supplémentaire de \(10\%\) est calculé sur le prix initial de \(200\ \mathrm{DH}\).
Notons \(S\) l’avoir initial de la consommatrice.
Sans marchandage, la veste soldée à \(50\%\) coûterait :
\[ 200\times0{,}50=100\ \mathrm{DH}. \]D’après la dernière phrase, sans marchandage il ne resterait rien :
\[ S-\frac{S}{2}-20-100-\frac{S}{4}=0. \] \[ \frac{S}{4}=120 \quad\Longrightarrow\quad S=480\ \mathrm{DH}. \]Le quart de l’avoir initial vaut donc :
\[ \frac{480}{4}=120\ \mathrm{DH}. \]Dans la lecture attendue par le QCM, le rabais négocié vaut \(10\%\) du prix initial :
\[ 10\%\times200=20\ \mathrm{DH}. \]La veste est alors payée :
\[ 100-20=80\ \mathrm{DH}. \]Les dépenses de l’après-midi, restaurant non compris, valent :
\[ 80+120=200\ \mathrm{DH}. \]Question 39 — Écartement des échelons
Un menuisier construit une échelle dont les montants latéraux mesurent \(3\ \mathrm{m}\) de longueur.
Les échelons extrêmes se trouvent à \(13{,}5\ \mathrm{cm}\) des extrémités des montants.
Le menuisier veut placer \(15\) échelons.
Quel sera l’écartement entre deux échelons consécutifs ?
Quinze échelons déterminent quatorze intervalles égaux.
La longueur disponible entre les deux échelons extrêmes est :
\[ 300-2\times13{,}5=273\ \mathrm{cm}. \]Avec \(15\) échelons, il y a :
\[ 15-1=14 \]intervalles.
L’écartement est donc :
\[ \frac{273}{14}=19{,}5\ \mathrm{cm}. \]Question 40 — Production totale
Un producteur vend, le premier mois, \(5\%\) de sa production.
Le deuxième mois, il vend \(12\%\) de sa production.
Il lui reste alors \(17\,430\ \mathrm{kg}\).
Quelle est la quantité totale de sa production, en kilogrammes ?
Les pourcentages vendus sont calculés par rapport à la production totale.
Le producteur vend au total :
\[ 5\%+12\%=17\%. \]Il lui reste donc :
\[ 100\%-17\%=83\%. \]Si \(P\) est la production totale :
\[ 0{,}83P=17\,430. \] \[ P=\frac{17\,430}{0{,}83}=21\,000\ \mathrm{kg}. \]Bilan pédagogique
Les 20 questions ont été corrigées une à une. La véracité mathématique est prioritaire : la réponse de la Q28 est rectifiée, tandis que l’hypothèse nécessaire pour la Q38 est clairement indiquée.
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