Correction ENCG–TAFEM 2019 — Résolution de problèmes
Correction détaillée de l’archive partielle : Q21 à Q30 et Q35 à Q40.
Cette page présente la correction pédagogique des questions disponibles du sous-test « Résolution de problèmes » du TAFEM 2019.
Chaque question conservée dans l’archive est résolue avec la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée — Questions disponibles
Question 21 — Partage d’une somme
On a partagé \(144\) dirhams entre trois personnes.
La première prend trois fois ce que prend la deuxième. La troisième prend le double de ce que prend la deuxième.
Quelle est la part de la troisième personne ?
On exprime les trois parts en fonction de la part de la deuxième personne.
Notons \(x\) la part de la deuxième personne.
La première reçoit \(3x\) et la troisième reçoit \(2x\). Donc :
\[ 3x+x+2x=144. \] \[ 6x=144 \quad\Longrightarrow\quad x=24. \]La part de la troisième personne est :
\[ 2x=48\ \text{dirhams}. \]Question 22 — Recette d’une fête scolaire
À l’occasion d’une fête scolaire, on a enregistré :
- \(160\) entrées à \(8\) dirhams ;
- \(240\) entrées à \(6\) dirhams ;
- \(180\) entrées à \(5\) dirhams.
On a vendu \(450\) billets de tombola.
La recette est répartie ainsi :
- \(40\%\) pour la caisse des clubs de l’école ;
- \(25\%\) pour l’association des anciens élèves ;
- \(15\%\) de taxes ;
- le reste pour l’école est de \(1534\) dirhams.
Calculer le montant total de la recette.
Les pourcentages attribués aux clubs, aux anciens élèves et aux taxes représentent \(80\%\) de la recette totale.
La part restante pour l’école est :
\[ 100\%-40\%-25\%-15\%=20\%. \]Or ces \(20\%\) valent \(1534\) dirhams. Si \(R\) est la recette totale :
\[ 0{,}20R=1534. \] \[ R=\frac{1534}{0{,}20}=7670\ \text{dirhams}. \]Vérification : les entrées rapportent :
\[ 160\times8+240\times6+180\times5=3620\ \text{dirhams}. \]La tombola rapporte donc \(7670-3620=4050\) dirhams, soit \(9\) dirhams par billet.
Question 23 — Prix du mètre de tissu
Une personne achète \(3{,}60\) mètres de tissu.
Si elle avait choisi un autre tissu valant \(15\) dirhams de moins par mètre, elle aurait pu acheter \(4{,}20\) mètres pour la même somme.
Quel est le prix du mètre de tissu acheté ?
Les deux achats auraient coûté la même somme.
Notons \(x\) le prix du mètre de tissu acheté.
Le prix de l’autre tissu aurait été \(x-15\). On a donc :
\[ 3{,}60x=4{,}20(x-15). \] \[ 3{,}6x=4{,}2x-63. \] \[ 0{,}6x=63 \quad\Longrightarrow\quad x=105. \]Question 24 — Salaire de deux ouvriers
Un contremaître reçoit \(8730\) dirhams pour payer deux ouvriers.
Le premier a travaillé \(7\) heures par jour pendant \(13\) jours. Le second a travaillé \(10\) heures par jour pendant \(20\) jours.
Les ouvriers ont le même salaire horaire.
Quelle somme sera remise à chacun d’eux ?
Les deux ouvriers ont le même salaire horaire ; leurs rémunérations sont donc proportionnelles au nombre d’heures travaillées.
Le premier ouvrier a travaillé :
\[ 7\times13=91\ \text{heures}. \]Le second a travaillé :
\[ 10\times20=200\ \text{heures}. \]Nombre total d’heures :
\[ 91+200=291. \]Le salaire horaire est :
\[ \frac{8730}{291}=30\ \text{dirhams}. \]Les deux rémunérations sont donc :
\[ 91\times30=2730\ \text{dirhams}, \] \[ 200\times30=6000\ \text{dirhams}. \]Question 25 — Dépenses successives
Vous possédez une certaine somme d’argent dans votre porte-monnaie.
Vous dépensez les \(\dfrac{3}{5}\) de cette somme dans un premier magasin, puis les \(\dfrac{4}{7}\) de ce qui vous reste dans un autre magasin.
Vous souhaiteriez ensuite acheter deux cassettes audio à \(86{,}50\) dirhams l’une, mais il vous manque \(11\) dirhams.
Calculer la somme d’argent que vous possédiez au départ.
On calcule la fraction de la somme initiale qui reste après les deux dépenses.
Après la première dépense, il reste :
\[ 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5} \]de la somme initiale.
Après la deuxième dépense, il reste :
\[ 1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7} \]de ce montant, soit :
\[ \frac{2}{5}\times\frac{3}{7}=\frac{6}{35} \]de la somme initiale.
Les deux cassettes coûtent :
\[ 2\times86{,}50=173\ \text{dirhams}. \]Comme il manque \(11\) dirhams, la somme restante est :
\[ 173-11=162\ \text{dirhams}. \]Si \(S\) est la somme initiale :
\[ \frac{6}{35}S=162. \] \[ S=162\times\frac{35}{6}=945. \]Question 26 — Deux machines d’embouteillage
Deux machines \(M_1\) et \(M_2\) embouteillent de l’eau.
\(M_1\) travaille sept fois plus vite que \(M_2\). \(M_1\) remplit \(x\) bouteilles par minute.
Les deux machines sont utilisées pendant \(3\) heures.
Combien de bouteilles a-t-on remplies ?
La vitesse de la deuxième machine est le septième de celle de la première.
La machine \(M_1\) remplit \(x\) bouteilles par minute.
La machine \(M_2\) remplit donc :
\[ \frac{x}{7} \]bouteilles par minute.
Le débit total est :
\[ x+\frac{x}{7}=\frac{8x}{7}. \]Trois heures représentent \(180\) minutes. Le nombre total de bouteilles est :
\[ 180\times\frac{8x}{7} = \frac{1440}{7}x. \]Question 27 — Arbres le long d’une route
Deux villages sont distants de \(4{,}360\ \mathrm{km}\).
La route reliant ces deux villages est bordée d’arbres de part et d’autre. Les arbres sont espacés de \(15\ \mathrm{m}\), et le premier arbre se trouve à \(200\ \mathrm{m}\) de la sortie de chaque village.
Combien y a-t-il d’arbres sur la route reliant les deux villages ?
On compte les arbres sur un côté de la route, puis on double le résultat.
La distance comprise entre le premier arbre proche du premier village et le dernier arbre proche du second village est :
\[ 4360-200-200=3960\ \mathrm{m}. \]Avec un espacement de \(15\) mètres, le nombre d’intervalles est :
\[ \frac{3960}{15}=264. \]Le nombre d’arbres sur un côté est donc :
\[ 264+1=265. \]La route est bordée des deux côtés :
\[ 2\times265=530. \]Question 28 — Disposition de lettres
Siham a écrit cinq mots en respectant une même disposition de certaines lettres :
Quel mot, parmi les quatre suivants, respecte la règle choisie ?
Les cinq mots donnés contiennent tous la suite de lettres consécutives « IGA ».
On observe :
- brigade ;
- cigale ;
- brigand ;
- intrigant ;
- fatigant.
Parmi les propositions, seul le mot « manigance » contient également ces trois lettres consécutives dans le même ordre :
manigance.
Question 29 — Suffisance des informations
Sachant que \(y\) est égal à \(75\%\) de \(x\) :
- \(x>150\)
- \(x-y=74\)
Laquelle des propositions ci-dessous est vraie pour répondre à la question : quelle est la valeur de \(y\) ?
On sait déjà que \(y=75\%x=\dfrac{3}{4}x\). Une information est suffisante si elle permet de calculer une valeur unique de \(y\).
Information (1) :
\[ x>150. \]Cette information ne détermine pas une valeur unique de \(x\), donc elle ne détermine pas \(y\).
Information (2) :
\[ x-y=74. \]Comme \(y=\dfrac{3}{4}x\), on obtient :
\[ x-\frac{3}{4}x=74. \] \[ \frac{1}{4}x=74 \quad\Longrightarrow\quad x=296. \]Alors :
\[ y=\frac{3}{4}\times296=222. \]L’information (2) suffit seule.
Question 30 — Cadence d’une photocopieuse
Un fabricant de photocopieuses garantit qu’une de ses machines peut réaliser une photocopie toutes les \(2{,}5\) secondes.
À ce rythme, combien de photocopies peut-on effectuer en une heure ?
Une heure contient \(3600\) secondes.
La machine réalise une photocopie toutes les \(2{,}5\) secondes. En une heure, elle effectue :
\[ \frac{3600}{2{,}5}=1440 \]photocopies.
Question 35 — Étudiants et langues étrangères
Parmi \(38\) étudiants de la troisième année, filière commerce, de l’ENCG :
- \(26\) apprennent l’espagnol ;
- \(15\) apprennent l’allemand ;
- parmi eux, \(8\) apprennent aussi l’espagnol.
Quel est le nombre d’étudiants qui n’apprennent aucune de ces langues ?
On utilise le principe d’inclusion-exclusion.
Le nombre d’étudiants apprenant au moins une des deux langues est :
\[ 26+15-8=33. \]Le nombre n’apprenant aucune langue est :
\[ 38-33=5. \]Question 36 — Moyenne pondérée d’un test
Au concours d’entrée à une école de gestion, on a fait passer un test de logique aux \(2400\) étudiants admissibles.
Le matin, \(600\) étudiants ont passé le test et la moyenne de leurs résultats a été de \(62{,}5\%\).
L’après-midi, les \(1800\) étudiants restants ont passé le même test et la moyenne de leurs résultats a été de \(82{,}5\%\).
Quelle a été la moyenne des résultats de l’ensemble des \(2400\) étudiants ?
Il faut calculer une moyenne pondérée par les effectifs des deux groupes.
La moyenne globale est :
\[ \frac{600\times62{,}5+1800\times82{,}5}{2400}. \]Comme \(600\) représente le quart de \(2400\) et \(1800\) les trois quarts :
\[ \frac{1}{4}\times62{,}5+\frac{3}{4}\times82{,}5. \] \[ =15{,}625+61{,}875=77{,}5. \]Question 37 — Capital placé à intérêt simple
Un capital est placé à intérêt simple.
- S’il est placé pendant trois ans, la somme formée par le capital et les intérêts s’élève à \(40\,000\) dirhams.
- S’il est placé au même taux pendant cinq ans et six mois, la somme formée par le capital et les intérêts est de \(46\,000\) dirhams.
Quel est le montant de ce capital ?
À intérêt simple, la somme acquise après \(t\) années est \(C(1+rt)\).
Notons \(C\) le capital et \(r\) le taux annuel.
\[ C(1+3r)=40\,000, \] \[ C(1+5{,}5r)=46\,000. \]En soustrayant les deux égalités :
\[ 2{,}5Cr=6000. \] \[ Cr=2400. \]Dans la première égalité :
\[ C+3Cr=40\,000. \] \[ C+3\times2400=40\,000. \] \[ C=32\,800. \]Question 38 — Suite numérique
Les nombres manquants de la série suivante :
\[ 5,\ 8,\ 12,\ 17,\ 23,\ 30,\ 38,\ 47,\ \ldots,\ \ldots \]sont :
On étudie les écarts entre les termes successifs.
On ajoute ensuite \(10\), puis \(11\) :
\[ 47+10=57, \] \[ 57+11=68. \]Question 39 — Échelle d’une carte
Sur une carte d’état-major, \(37{,}8\ \mathrm{km}\) sur le terrain sont représentés par \(2{,}7\ \mathrm{cm}\).
Quelle est l’échelle de cette carte ?
On convertit la distance réelle en centimètres avant de calculer le dénominateur de l’échelle.
Si \(N\) est le dénominateur de l’échelle :
\[ 2{,}7\times N=3\,780\,000. \] \[ N=\frac{3\,780\,000}{2{,}7}=1\,400\,000. \]Question 40 — Groupes de trois nombres
Fatima agence les nombres \(1\), \(2\), \(3\) et \(4\) de façon à former deux groupes de deux nombres dont la somme est \(5\). Elle trouve deux solutions : \(1+4\) et \(2+3\).
Elle utilise maintenant les nombres de \(1\) à \(12\). Elle veut former des groupes de trois nombres dont la somme est \(15\). Elle ne doit pas placer deux nombres identiques dans le même groupe.
Combien trouve-t-elle de solutions ?
On cherche les triplets d’entiers distincts \(a<b<c\), compris entre \(1\) et \(12\), tels que \(a+b+c=15\).
Les triplets possibles sont :
\[ (1,2,12),\ (1,3,11),\ (1,4,10),\ (1,5,9),\ (1,6,8), \] \[ (2,3,10),\ (2,4,9),\ (2,5,8),\ (2,6,7), \] \[ (3,4,8),\ (3,5,7),\ (4,5,6). \]Il y a donc :
\[ 12 \]solutions.
Bilan pédagogique
Les 16 questions disponibles ont été corrigées. La numérotation originale est conservée afin de ne pas masquer l’absence des questions Q31 à Q34.
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