Correction ENCG–TAFEM 2021 — Résolution de problèmes
Correction détaillée des questions 21 à 40 du sous-test 2.
Cette page présente la correction pédagogique complète du sous-test « Résolution de problèmes » du TAFEM 2021.
Chaque question est résolue avec la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
* Réponse attendue selon le modèle implicite du QCM.
Correction détaillée — Questions 21 à 40
Question 21 — Répartition proportionnelle
Votre employeur vous charge de répartir une somme de \(6\,000\ \mathrm{DH}\) de façon directement proportionnelle :
- à l’ancienneté des employés : \(12\), \(9\) et \(3\) ans ;
- à leurs charges de famille : respectivement \(3\), \(2\) et \(2\) enfants.
Quelle est la part la plus faible ?
Une répartition directement proportionnelle à deux critères utilise le produit des coefficients associés à chaque personne.
Les poids des trois employés sont :
\[ 12\times3=36,\qquad 9\times2=18,\qquad 3\times2=6. \]La somme des poids vaut :
\[ 36+18+6=60. \]La plus petite part correspond au poids \(6\) :
\[ 6000\times\frac{6}{60}=600\ \mathrm{DH}. \]Question 22 — Suite numérique
Compléter la série suivante :
\[ 5,\ 8,\ 12,\ 17,\ 23,\ 30,\ 38,\ 47,\ \ldots,\ \ldots \]On étudie les différences entre deux termes consécutifs.
Les différences augmentent de \(1\). On poursuit donc avec \(10\), puis \(11\) :
\[ 47+10=57,\qquad 57+11=68. \]Question 23 — Prime proportionnelle et inversement proportionnelle
Un commerçant décide de répartir entre ses trois employés une partie de son bénéfice.
Cette répartition est à la fois :
- proportionnelle à leurs années d’ancienneté : \(4\), \(5\) et \(6\) ans ;
- inversement proportionnelle à leurs absences durant l’année : \(4\), \(3\) et \(2\) jours.
Quelle part doit avoir le moins ancien des employés, si le plus ancien reçoit \(2\,295\ \mathrm{DH}\) ?
La prime est proportionnelle à l’ancienneté et inversement proportionnelle au nombre de jours d’absence.
Les coefficients de répartition sont :
\[ \frac{4}{4}=1,\qquad \frac{5}{3},\qquad \frac{6}{2}=3. \]Le plus ancien possède le coefficient \(3\) et reçoit \(2295\ \mathrm{DH}\). Une unité de coefficient vaut donc :
\[ \frac{2295}{3}=765\ \mathrm{DH}. \]Le moins ancien possède le coefficient \(1\). Sa part est donc :
\[ 765\ \mathrm{DH}. \]Question 24 — Échelle d’une carte
Sur une carte à l’échelle \(\dfrac{1}{3\,000\,000}\), la distance Dakhla–Laâyoune est de \(17\ \mathrm{cm}\).
Quelle est l’échelle d’une autre carte sur laquelle ces deux villes sont distantes de \(25{,}5\ \mathrm{cm}\) ?
La distance réelle est égale à la distance sur la carte multipliée par le dénominateur de l’échelle.
La distance réelle vaut :
\[ 17\times3\,000\,000=51\,000\,000\ \mathrm{cm}. \]Si \(N\) est le dénominateur de la nouvelle échelle :
\[ 25{,}5\times N=51\,000\,000. \] \[ N=\frac{51\,000\,000}{25{,}5}=2\,000\,000. \]Question 25 — Durée d’un vol avec escales
Un avion vole à une vitesse moyenne de \(750\ \mathrm{km/h}\), avec une autonomie de \(5\,000\ \mathrm{km}\).
Au-delà de cette distance, il est obligé, tous les \(5\,000\ \mathrm{km}\), de faire une escale technique de \(1\ \mathrm{h}\ 30\ \mathrm{min}\) pour ravitailler l’appareil et contrôler son état.
Quelle est la durée d’un parcours Casablanca–Melbourne de \(17\,000\ \mathrm{km}\) ?
La durée totale est la somme du temps de vol et de la durée des escales techniques.
Temps de vol :
\[ \frac{17\,000}{750} = 22{,}666\ldots\ \mathrm{h} = 22\ \mathrm{h}\ 40\ \mathrm{min}. \]L’avion doit ravitailler après \(5000\), \(10\,000\) et \(15\,000\ \mathrm{km}\), soit trois escales.
\[ 3\times1\ \mathrm{h}\ 30\ \mathrm{min} = 4\ \mathrm{h}\ 30\ \mathrm{min}. \]Durée totale :
\[ 22\ \mathrm{h}\ 40 + 4\ \mathrm{h}\ 30 = 27\ \mathrm{h}\ 10. \]Question 26 — Partage d’une somme
D’une somme de \(7\,050\ \mathrm{DH}\), on fait quatre parts.
- La première part représente les \(\dfrac{5}{8}\) de la deuxième et la moitié de la quatrième.
- La deuxième part est le tiers de la troisième.
Quelle est la valeur de la deuxième part ?
On exprime les quatre parts en fonction de la deuxième part.
Notons \(x\) la deuxième part.
La première vaut :
\[ \frac{5}{8}x. \]La deuxième est le tiers de la troisième, donc la troisième vaut :
\[ 3x. \]La première est la moitié de la quatrième, donc la quatrième vaut :
\[ 2\times\frac{5}{8}x=\frac{5}{4}x. \]La somme des quatre parts est :
\[ \frac{5}{8}x+x+3x+\frac{5}{4}x=7050. \] \[ \frac{47}{8}x=7050. \] \[ x=7050\times\frac{8}{47}=1200. \]Question 27 — Chasser l’intrus
Chasser l’intrus :
On simplifie chacune des fractions.
En revanche :
\[ \frac{28}{84}=\frac{1}{3}. \]La quatrième fraction est donc l’intrus.
Question 28 — Intérêt simple
Une somme de \(42\,000\ \mathrm{DH}\) a été placée au taux de \(6{,}5\%\) pendant \(1\) an, \(3\) mois et \(21\) jours.
Quel est l’intérêt rapporté par cette somme ?
Donnée : \(1\) mois \(=30\) jours.
En intérêt simple, \(I=C\times t\times d\), où \(d\) est la durée exprimée en années commerciales de \(360\) jours.
La durée totale est :
\[ 360+3\times30+21=471\ \text{jours}. \]L’intérêt vaut :
\[ I=42\,000\times0{,}065\times\frac{471}{360}. \] \[ I=3571{,}75\ \mathrm{DH}. \]Question 29 — Code à trois chiffres
Trouver le code à trois chiffres différents, sachant que les cinq tentatives précédentes ont donné les résultats suivants :
- 397 : un chiffre est bon et bien placé ;
- 310 : un chiffre est bon et mal placé ;
- 723 : deux chiffres sont bons et mal placés ;
- 549 : rien n’est bon ;
- 592 : un chiffre est bon et mal placé.
Chaque indication précise à la fois la présence éventuelle d’un chiffre et sa position.
Avec \(549\), aucun chiffre n’est bon. Donc \(5\), \(4\) et \(9\) ne figurent pas dans le code.
Avec \(592\), le seul chiffre possible est \(2\), mais il est mal placé. Donc \(2\) appartient au code et n’est pas en troisième position.
Avec \(723\), deux chiffres sont bons et mal placés. Le chiffre \(2\) y est en deuxième position : il n’est donc pas non plus en deuxième position dans le code. Ainsi :
\[ 2\ \text{est en première position}. \]Avec \(397\), puisque \(9\) est exclu et que la première position est occupée par \(2\), le chiffre bien placé est \(7\), en troisième position. Le chiffre \(3\) est donc absent.
Avec \(310\), le seul chiffre restant possible est \(0\), bon mais mal placé. Il doit donc être en deuxième position.
Le code est :
\[ 207. \]Question 30 — Nombre manquant dans une grille
Trouver le nombre qui manque :
| 714 | 510 | 816 | 612 | ? |
| 752 | ||||
| 532 | ||||
| 844 | ||||
| 936 |
Les nombres de la première ligne suivent alternativement les variations \(-204\) et \(+306\).
On poursuit avec \(+306\) :
\[ 612+306=918. \]Question 31 — Nombre au centre d’un triangle
Trouver le nombre qui manque à l’intérieur du quatrième triangle :
Le nombre central est le produit des deux nombres de la base, diminué du carré du nombre placé au sommet.
Premier triangle :
\[ 7\times5-3^2=35-9=26. \]Deuxième triangle :
\[ 3\times2-1^2=6-1=5. \]Troisième triangle :
\[ 8\times6-2^2=48-4=44. \]Pour le quatrième triangle :
\[ 9\times4-5^2=36-25=11. \]Question 32 — Nombre entier dans une grille
Quel est le nombre entier qui complète cette grille ?
| 100 | 10 | 20 |
| 16 | 18 | ? |
| 52 | 26 | 52 |
La somme des nombres de chaque ligne est constante.
Première ligne :
\[ 100+10+20=130. \]Troisième ligne :
\[ 52+26+52=130. \]La deuxième ligne doit donc également avoir pour somme \(130\) :
\[ 16+18+x=130. \] \[ x=130-34=96. \]Question 33 — Étudiants et langues étrangères
Parmi \(190\) étudiants de la troisième année, filière commerce, d’une ENCG :
- \(130\) étudient l’espagnol ;
- \(80\) étudient l’allemand ;
- parmi ceux qui étudient l’allemand, \(60\%\) étudient aussi l’espagnol.
Quel est le nombre d’étudiants qui n’étudient ni l’espagnol ni l’allemand ?
On applique le principe d’inclusion-exclusion.
Le nombre d’étudiants étudiant les deux langues est :
\[ 60\%\times80=48. \]Le nombre étudiant au moins une langue est :
\[ 130+80-48=162. \]Le nombre n’étudiant aucune des deux langues est :
\[ 190-162=28. \]Question 34 — Nombre « heureux »
\(1998\) est un nombre « heureux » car il existe deux nombres entiers dont la somme est \(1998\) et dont le produit est un multiple de \(1998\).
Les deux nombres entiers sont :
On vérifie, pour chaque paire, si le produit est divisible par \(1998\).
On factorise :
\[ 1998=2\times3^3\times37. \]Pour la paire \((666,1332)\) :
\[ 666=2\times3^2\times37, \] \[ 1332=2^2\times3^2\times37. \]Le produit contient donc au moins les facteurs \(2\), \(3^3\) et \(37\). Il est bien multiple de \(1998\).
Les autres produits ne contiennent pas une puissance suffisante de \(3\).
Question 35 — Partage de cacahuètes
Un père a \(400\ \mathrm{g}\) de cacahuètes devant lui.
Chaque minute, il mange \(50\ \mathrm{g}\), et sa fille survient toutes les deux minutes et prend le cinquième.
Les parts respectives du père et de sa fille sont :
La lecture qui correspond aux réponses proposées consiste à faire manger \(50\ \mathrm{g}\) au père chaque minute, puis à faire prendre à la fille, toutes les deux minutes, le cinquième de la quantité restante.
Après deux minutes, le père a mangé \(100\ \mathrm{g}\). Il reste :
\[ 400-100=300\ \mathrm{g}. \]La fille prend :
\[ \frac{1}{5}\times300=60\ \mathrm{g}. \]Il reste \(240\ \mathrm{g}\).
Après deux nouvelles minutes, le père mange encore \(100\ \mathrm{g}\). Il reste \(140\ \mathrm{g}\), puis la fille prend :
\[ \frac{1}{5}\times140=28\ \mathrm{g}. \]Il reste \(112\ \mathrm{g}\).
Après deux nouvelles minutes, le père mange \(100\ \mathrm{g}\). Il reste \(12\ \mathrm{g}\), puis la fille prend :
\[ \frac{1}{5}\times12=2{,}4\ \mathrm{g}. \]Il reste \(9{,}6\ \mathrm{g}\), que le père mange ensuite.
Part du père :
\[ 6\times50+9{,}6=309{,}6\ \mathrm{g}. \]Part de la fille :
\[ 60+28+2{,}4=90{,}4\ \mathrm{g}. \]Question 36 — Trajet d’un chien
Un homme promène son chien sur un trajet \([A,B]\) de \(3\ \mathrm{km}\).
Le chien court deux fois plus rapidement que son maître. Il fait un aller-retour entre le point \(B\), point d’arrivée, et l’endroit où se trouve son maître.
Quelle distance le chien aura-t-il parcourue ?
On compare les vitesses du chien et du maître.
Notons \(v\) la vitesse du maître. Le chien court à la vitesse \(2v\).
Pour parcourir les \(3\ \mathrm{km}\) jusqu’au point \(B\), le chien met :
\[ t_1=\frac{3}{2v}. \]Pendant ce temps, le maître parcourt :
\[ v\times\frac{3}{2v}=1{,}5\ \mathrm{km}. \]Lorsque le chien arrive en \(B\), la distance qui le sépare du maître est donc \(1{,}5\ \mathrm{km}\).
Au retour, leur vitesse de rapprochement est :
\[ 2v+v=3v. \]Le temps nécessaire pour se rencontrer est :
\[ t_2=\frac{1{,}5}{3v}=\frac{0{,}5}{v}. \]Le chien parcourt alors :
\[ 2v\times\frac{0{,}5}{v}=1\ \mathrm{km}. \]Distance totale :
\[ 3+1=4\ \mathrm{km}. \]Question 37 — Balance à deux plateaux
On dispose d’une balance à deux plateaux.
De combien de poids différents a-t-on besoin, au minimum, pour pouvoir peser toutes les masses entières de \(1\ \mathrm{kg}\) à \(13\ \mathrm{kg}\) ?
Avec une balance à deux plateaux, un poids peut être placé avec l’objet ou sur le plateau opposé. On utilise les puissances de \(3\).
Les poids :
\[ 1\ \mathrm{kg},\qquad 3\ \mathrm{kg},\qquad 9\ \mathrm{kg} \]permettent de peser toutes les masses entières de \(1\) à :
\[ 1+3+9=13\ \mathrm{kg}. \]Par exemple :
\[ 2=3-1,\qquad 5=9-3-1,\qquad 8=9-1. \]Trois poids suffisent, et deux poids ne pourraient pas couvrir les treize masses demandées.
Question 38 — Récipient alimenté et percé
Un robinet débite continuellement \(20\) litres d’eau par heure dans un récipient de \(48\) litres.
Le récipient fuit et perd chaque heure \(10\%\) du volume d’eau qu’il contient.
Au bout de combien d’heures le récipient va-t-il déborder ?
La lecture usuelle du QCM consiste à ajouter \(20\) litres durant chaque heure, puis à retrancher \(10\%\) du volume présent.
Après la première heure :
\[ 20\times0{,}9=18\ \mathrm{L}. \]Après la deuxième heure :
\[ (18+20)\times0{,}9=34{,}2\ \mathrm{L}. \]Durant la troisième heure, le robinet ajoute encore \(20\ \mathrm{L}\). Le volume atteint alors :
\[ 34{,}2+20=54{,}2\ \mathrm{L}, \]ce qui dépasse la capacité de \(48\ \mathrm{L}\). Le débordement se produit donc au cours de la troisième heure.
Question 39 — Prix de trois sortes de fruits
Une personne achète des poires, des mandarines et des kakis, vendus à la pièce.
Pour chaque sorte, elle achète autant de fruits que le prix unitaire en dirhams : par exemple, \(4\) fruits si le prix unitaire est de \(4\ \mathrm{DH}\).
Chaque sorte a un prix différent et le ticket de caisse indique un total de \(139\ \mathrm{DH}\).
Combien aurait-elle payé si elle n’avait pris qu’un fruit de chaque sorte ?
Si les prix unitaires sont \(a\), \(b\) et \(c\), le total payé est \(a^2+b^2+c^2\).
On cherche trois entiers positifs distincts tels que :
\[ a^2+b^2+c^2=139. \]Or :
\[ 139=81+49+9=9^2+7^2+3^2. \]Les trois prix unitaires sont donc \(9\), \(7\) et \(3\) dirhams.
Pour un seul fruit de chaque sorte, le total serait :
\[ 9+7+3=19\ \mathrm{DH}. \]Question 40 — Production totale
Un producteur vend, durant le premier mois, \(5\%\) de sa production.
Le deuxième mois, il vend \(12\%\) de sa production.
Il lui reste \(17\,430\ \mathrm{kg}\).
Quelle est sa production totale ?
Les pourcentages vendus sont exprimés par rapport à la production totale.
Le producteur vend au total :
\[ 5\%+12\%=17\%. \]Il lui reste donc :
\[ 100\%-17\%=83\%. \]Si \(P\) est la production totale :
\[ 0{,}83P=17\,430. \] \[ P=\frac{17\,430}{0{,}83}=21\,000\ \mathrm{kg}. \]Bilan pédagogique
Les 20 questions ont été corrigées une à une. Les ambiguïtés des questions 35 et 38 sont signalées sans masquer les hypothèses nécessaires pour obtenir les réponses proposées.
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