Correction ENCG–TAFEM 2022 — Résolution de problèmes
Correction détaillée des questions 21 à 40 du sous-test 2.
Cette page présente la correction pédagogique complète du sous-test « Résolution de problèmes » du TAFEM 2022.
Chaque question est résolue avec la méthode, les calculs et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
* Réponse attendue malgré une formulation incomplète ou un QCM comportant plusieurs réponses strictement valables.
Correction détaillée — Questions 21 à 40
Question 21 — Ensembles et minimum commun
Dans une ville donnée, sur \(100\) adultes, \(85\) sont mariés et \(80\) sont propriétaires d’une maison.
Quel est le nombre minimum de ceux qui sont à la fois mariés et propriétaires d’une maison ?
Pour deux ensembles \(M\) et \(P\) contenus dans un ensemble de \(100\) personnes, on utilise le principe d’inclusion-exclusion.
Le nombre minimal de personnes appartenant aux deux ensembles est :
\[ 85+80-100=65. \]Il y a donc au minimum \(65\) adultes à la fois mariés et propriétaires.
Question 22 — Partage du prix d’un cadeau
Quatre frères achètent un cadeau pour leur mère.
Le premier paie un sixième du cadeau, le second paie un septième du cadeau et le dernier paie le double de la somme de ses deux frères.
Il leur manque encore \(300\ \mathrm{DH}\) pour payer le cadeau.
Combien vaut le cadeau ?
On note \(x\) le prix total du cadeau et on additionne les parts effectivement décrites dans l’énoncé.
Le premier frère paie :
\[ \frac{x}{6}. \]Le deuxième paie :
\[ \frac{x}{7}. \]Le dernier paie le double de la somme de ces deux parts :
\[ 2\left(\frac{x}{6}+\frac{x}{7}\right). \]La somme versée est donc :
\[ \frac{x}{6}+\frac{x}{7} +2\left(\frac{x}{6}+\frac{x}{7}\right) = 3\left(\frac{x}{6}+\frac{x}{7}\right). \] \[ =3\left(\frac{7x+6x}{42}\right) =\frac{39x}{42} =\frac{13x}{14}. \]Il manque \(300\ \mathrm{DH}\), c’est-à-dire :
\[ x-\frac{13x}{14}=\frac{x}{14}=300. \]Ainsi :
\[ x=4200\ \mathrm{DH}. \]Question 23 — Nombre à trois chiffres
\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois chiffres différents compris entre \(1\) et \(9\).
\(\overline{ABC}\) est un nombre de trois chiffres et \(\overline{C9}\) est un nombre de deux chiffres.
Que vaut \(A+B+C\), sachant que :
\[ \overline{ABC}+\overline{C9}=300\ ? \]On traduit les nombres \(\overline{ABC}\) et \(\overline{C9}\) par leurs écritures décimales.
L’équation devient :
\[ 100A+10B+11C+9=300, \] \[ 100A+10B+11C=291. \]Comme \(A\) est un chiffre non nul, on obtient nécessairement \(A=2\). Alors :
\[ 10B+11C=91. \]Modulo \(10\), on a :
\[ C\equiv1\pmod{10}. \]Donc \(C=1\), puis :
\[ 10B=80 \quad\Longrightarrow\quad B=8. \]Ainsi :
\[ A+B+C=2+8+1=11. \]Question 24 — Moyenne des masses
Dans un groupe de six personnes, deux ont une masse de \(60\ \mathrm{kg}\), tandis que trois ont une masse égale à une fois et demie cette masse.
Quelle est la masse de la sixième personne si la moyenne des masses de ce groupe est de \(70\ \mathrm{kg}\) ?
La moyenne est égale à la somme des masses divisée par le nombre de personnes.
Trois personnes ont une masse égale à :
\[ 1{,}5\times60=90\ \mathrm{kg}. \]La masse totale du groupe est :
\[ 6\times70=420\ \mathrm{kg}. \]Si \(x\) est la masse de la sixième personne :
\[ 2\times60+3\times90+x=420. \] \[ 120+270+x=420, \] \[ x=30\ \mathrm{kg}. \]Question 25 — Somme des multiples de 3
La somme de tous les entiers de \(1\) à \(30\) est égale à \(465\).
Quelle est la somme de tous les entiers de \(1\) à \(30\) qui sont divisibles par \(3\) ?
Les multiples de \(3\) compris entre \(1\) et \(30\) sont \(3,6,\ldots,30\).
Or :
\[ 1+2+\cdots+10=\frac{10\times11}{2}=55. \]Donc :
\[ 3\times55=165. \]Question 26 — Numérotation des sièges
La salle d’un théâtre comporte \(26\) rangées de \(24\) places chacune.
Toutes les places sont numérotées en commençant par le premier rang.
Dans quelle rangée se trouve le siège numéroté \(377\) ?
Chaque rangée contient \(24\) sièges.
Les \(15\) premières rangées contiennent :
\[ 15\times24=360 \]sièges.
Le siège \(377\) vient après le siège \(360\) et appartient donc à la seizième rangée.
Question 27 — Nombre de bicyclettes
Dans une petite ville du Cambodge vivent \(3333\) familles qui ont chacune au moins une bicyclette.
Aucune famille ne possède plus de trois bicyclettes.
Il y a autant de familles propriétaires de trois bicyclettes que de familles qui n’en ont qu’une, et le nombre de familles qui possèdent deux bicyclettes est neuf fois plus grand que le nombre de celles qui en possèdent trois.
Combien y a-t-il de bicyclettes dans cette ville ?
On note \(x\) le nombre de familles possédant une bicyclette ; le même nombre \(x\) possède trois bicyclettes.
Le nombre de familles possédant deux bicyclettes est \(9x\). Ainsi :
\[ x+9x+x=3333. \] \[ 11x=3333 \quad\Longrightarrow\quad x=303. \]Le nombre total de bicyclettes est :
\[ 303\times1 + 2727\times2 + 303\times3. \] \[ =303+5454+909=6666. \]Question 28 — Deux mécaniciens
Deux mécaniciens inspectent des voitures dans un centre de contrôle technique.
Le premier met \(20\) minutes par véhicule et le second \(18\) minutes. Ils commencent leur travail à \(8\) heures précises.
Quand vont-ils, pour la première fois de la journée, terminer d’inspecter une voiture au même moment ?
Les deux mécaniciens terminent simultanément après un nombre de minutes égal au PPCM de \(20\) et \(18\).
Ils terminent donc simultanément après :
\[ 180\ \text{minutes}=3\ \text{heures}. \]À partir de \(8\) heures, cela donne :
\[ 8\ \mathrm h+3\ \mathrm h=11\ \mathrm h. \]Question 29 — Variations successives d’un taux
Hier, le taux de change était le même dans trois bureaux de change.
- Dans le premier bureau, le taux a augmenté de \(5\%\) le matin et baissé de \(5\%\) l’après-midi.
- Dans le deuxième bureau, le taux a baissé de \(5\%\) le matin et augmenté de \(5\%\) l’après-midi.
- Dans le troisième bureau, le taux n’a pas varié.
À la fin de la journée, dans quel(s) bureau(x) le taux est-il le plus bas ?
Deux variations successives en pourcentage se traduisent par une multiplication de coefficients.
Premier bureau :
\[ 1{,}05\times0{,}95=0{,}9975. \]Deuxième bureau :
\[ 0{,}95\times1{,}05=0{,}9975. \]Troisième bureau :
\[ 1. \]Les deux premiers taux sont donc égaux et légèrement inférieurs au troisième.
Question 30 — Nombre au centre d’un carré
Quel est le nombre manquant ?
Dans chaque carré, le nombre central est la différence entre les deux nombres du haut, qui est aussi la différence entre les deux nombres du bas.
Les trois premiers carrés vérifient :
\[ 8-2=9-3=6, \] \[ 7-4=5-2=3, \] \[ 7-6=4-3=1. \]Pour le dernier carré :
\[ 5-3=2 \qquad\text{et}\qquad 7-5=2. \]Le nombre manquant est donc \(2\).
Question 31 — Élèves pratiquant deux sports
Dans une classe, \(14\) élèves jouent au tennis, \(12\) au volley et \(8\) pratiquent les deux sports.
Sachant qu’il y a \(28\) élèves dans la classe, quel est le nombre d’élèves ne pratiquant aucun des deux sports ?
On utilise la formule du cardinal d’une union.
Le nombre d’élèves pratiquant au moins un sport est :
\[ 14+12-8=18. \]Le nombre d’élèves ne pratiquant aucun des deux sports est :
\[ 28-18=10. \]Question 32 — Somme de trois entiers consécutifs
On additionne trois entiers consécutifs s’écrivant chacun avec trois chiffres.
Parmi les nombres suivants, déterminer celui qui ne peut pas représenter une telle somme :
La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par \(3\), et chacun des trois entiers doit ici comporter trois chiffres.
Pour \(318\) :
\[ 318=105+106+107. \]Pour \(1245\) :
\[ 1245=414+415+416. \]Pour \(243\) :
\[ 243=80+81+82, \]mais les trois entiers n’ont que deux chiffres.
Enfin :
\[ 1+9+4+5=19, \]donc \(1945\) n’est pas divisible par \(3\) et ne peut pas être la somme de trois entiers consécutifs.
Question 33 — Divisions euclidiennes successives
On choisit un nombre, on le divise par \(7\) et on trouve un reste égal à \(5\).
On divise à nouveau le quotient obtenu par \(7\), on trouve un reste égal à \(3\) et un quotient égal à \(12\).
Quel était le nombre de départ ?
On reconstruit le nombre en remontant les deux divisions euclidiennes.
Le premier quotient vaut :
\[ 7\times12+3=87. \]Le nombre de départ vaut alors :
\[ 7\times87+5=609+5=614. \]Question 34 — Piquets autour d’un rectangle
On veut entourer une prairie rectangulaire d’un grillage en plantant un piquet tous les quatre mètres à partir d’un coin.
La longueur du champ est de \(56\ \mathrm m\) et sa largeur de \(36\ \mathrm m\).
Combien de piquets sont nécessaires ?
Le nombre de piquets d’une clôture fermée est égal au périmètre divisé par l’espacement, lorsque les longueurs sont des multiples de cet espacement.
Le périmètre de la prairie est :
\[ 2(56+36)=184\ \mathrm m. \]Un piquet est placé tous les \(4\) mètres :
\[ \frac{184}{4}=46. \]Le dernier point coïncide avec le premier, donc on ne rajoute pas un piquet supplémentaire.
Question 35 — Billes rouges et noires
Un sac contient le même nombre de billes noires et rouges.
Après avoir retiré la moitié des billes rouges du sac, on peut dire des billes restantes que :
On peut supposer qu’il y a initialement \(n\) billes noires et \(n\) billes rouges.
Après retrait de la moitié des billes rouges, il reste :
\[ n\ \text{billes noires} \qquad\text{et}\qquad \frac{n}{2}\ \text{billes rouges}. \]Le total restant est :
\[ n+\frac{n}{2}=\frac{3n}{2}. \]La proportion de billes noires est :
\[ \frac{n}{3n/2}=\frac{2}{3}. \]Question 36 — Suite de nombres
Trouver le nombre qui manque :
La figure impose deux observations : les nombres verticaux ont tous une somme des chiffres égale à \(10\), et la ligne horizontale doit contenir les dix chiffres de \(0\) à \(9\).
Dans la colonne verticale :
\[ 1+9=10, \] \[ 3+3+3+1=10, \] \[ 5+1+4=10, \] \[ 8+2=10. \]Le nombre recherché doit donc également avoir une somme des chiffres égale à \(10\).
Sur la ligne horizontale, les nombres déjà présents utilisent tous les chiffres de \(1\) à \(9\), mais le chiffre \(0\) manque. Parmi les propositions, seule \(7012\) introduit le chiffre \(0\) tout en conservant :
\[ 7+0+1+2=10. \]Question 37 — Problème d’âge
Dans \(12\) ans, un père aura le triple de l’âge qu’il avait il y a \(20\) ans.
Quel âge a-t-il maintenant ?
On note \(x\) l’âge actuel du père.
Dans \(12\) ans, son âge sera \(x+12\).
Il y a \(20\) ans, son âge était \(x-20\).
D’après l’énoncé :
\[ x+12=3(x-20). \] \[ x+12=3x-60, \] \[ 72=2x, \] \[ x=36. \]Question 38 — Réciproque d’une implication
La réciproque du théorème suivant :
« Si un nombre entier est multiple de \(10\), alors son chiffre des unités est \(0\) »
est :
La réciproque de l’implication \(P\Rightarrow Q\) est \(Q\Rightarrow P\).
Le théorème initial est :
\[ \text{multiple de }10 \Longrightarrow \text{chiffre des unités égal à }0. \]Sa réciproque est :
\[ \text{chiffre des unités égal à }0 \Longrightarrow \text{multiple de }10. \]Question 39 — Suffisance des informations
A-t-on \(x>0\) ?
- \(x^3<0\)
- \(3x+2<0\)
Laquelle des propositions suivantes est vraie ?
Une information est suffisante si elle permet de répondre avec certitude par « oui » ou par « non ».
Information (1) :
\[ x^3<0 \quad\Longrightarrow\quad x<0. \]On peut donc répondre avec certitude que \(x\) n’est pas positif.
Information (2) :
\[ 3x+2<0 \quad\Longrightarrow\quad x<-\frac{2}{3}<0. \]Cette information permet également de répondre avec certitude que \(x\) n’est pas positif.
Chaque information est donc suffisante séparément.
Question 40 — Durée du trajet vers l’école
Ahmed se lève à \(6\ \mathrm h\ 45\ \mathrm{min}\).
Il met \(20\) minutes pour faire sa toilette et un quart d’heure pour déjeuner.
Puis il part pour l’école, où il arrive \(5\) minutes avant la rentrée fixée à \(8\) heures.
Sachant que son domicile se trouve à \(2{,}1\ \mathrm{km}\) de l’école, combien de temps met-il pour se rendre à l’école ?
On détermine d’abord l’heure de départ, puis on soustrait cette heure de l’heure d’arrivée.
Ahmed termine sa toilette à :
\[ 6\ \mathrm h\ 45+20\ \mathrm{min} = 7\ \mathrm h\ 05. \]Il termine son petit-déjeuner à :
\[ 7\ \mathrm h\ 05+15\ \mathrm{min} = 7\ \mathrm h\ 20. \]Il arrive à l’école cinq minutes avant \(8\) heures, donc à :
\[ 7\ \mathrm h\ 55. \]La durée du trajet est :
\[ 7\ \mathrm h\ 55-7\ \mathrm h\ 20 = 35\ \mathrm{minutes}. \]Bilan pédagogique
Les 20 questions ont été corrigées une à une. Les réponses certaines sont distinguées des réponses probablement attendues lorsque l’énoncé présente une anomalie.
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