Correction Concours Médecine Agadir 2016 — Mathématiques
Université Ibn Zohr — Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Agadir.
Correction détaillée des questions 21 à 30.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Agadir 2016.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 21 — Suite arithmétique
Les deux premiers termes d’une suite arithmétique sont :
\[ u_1=5\qquad \text{et}\qquad u_2=8. \]La somme des 20 premiers termes est :
Pour une suite arithmétique de raison \(r\), on utilise \(u_n=u_1+(n-1)r\) puis la formule de la somme.
La raison est :
\[ r=u_2-u_1=8-5=3. \]Le vingtième terme est donc :
\[ u_{20}=u_1+19r=5+19\times3=62. \]La somme des 20 premiers termes vaut :
\[ S_{20}=\frac{20}{2}(u_1+u_{20})=10(5+62)=670. \]Question 22 — Suite géométrique
Soit \((u_n)\) une suite géométrique telle que :
\[ u_2=15\qquad \text{et}\qquad u_4=60. \]Sa raison positive est :
Dans une suite géométrique de raison \(q\), on a \(u_4=u_2q^2\).
On a :
\[ u_4=u_2q^2. \]Donc :
\[ 60=15q^2\quad\Rightarrow\quad q^2=4. \]Comme la raison demandée est positive, on obtient :
\[ q=2. \]Question 23 — Probabilité et parité
Deux urnes \(S_1\) et \(S_2\) contiennent chacune cinq boules numérotées de \(1\) à \(5\). On tire au hasard une boule de \(S_1\) et une boule de \(S_2\).
La probabilité d’obtenir deux nombres qui n’ont pas la même parité est :
Les issues sont équiprobables. Dans \(\{1,2,3,4,5\}\), il y a 3 nombres impairs et 2 nombres pairs.
Le nombre total de tirages possibles est :
\[ 5\times5=25. \]Pour obtenir deux nombres de parités différentes, il y a deux cas :
\[ \text{impair puis pair}\quad\text{ou}\quad\text{pair puis impair}. \]Le nombre de cas favorables est donc :
\[ 3\times2+2\times3=12. \]La probabilité cherchée vaut :
\[ P=\frac{12}{25}. \]Question 24 — Domaine de définition
Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} \]est :
Pour définir la racine carrée, le quotient doit être positif ou nul, et le dénominateur doit être non nul.
On a toujours :
\[ -1\leq \sin x\leq 1. \]Donc :
\[ 1-\sin x\geq0. \]De plus :
\[ 1+\sin x\geq0. \]Le seul problème apparaît lorsque le dénominateur est nul :
\[ 1+\sin x=0\quad\Rightarrow\quad \sin x=-1. \]Or :
\[ \sin x=-1\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z. \]Donc :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}. \]Question 25 — Nombre complexe
Le nombre complexe
\[ z=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^2 \]est égal à :
On simplifie d’abord le quotient complexe avant d’élever au carré.
On calcule :
\[ \frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i. \]Ainsi :
\[ z=i^2=-1. \]Question 26 — Équation exponentielle
L’ensemble des solutions dans \(\mathbb R\) de l’équation :
\[ 3e^{2x}-4e^x+1=0 \]est :
On pose \(X=e^x\). Comme \(e^x\gt0\), il faut garder seulement les solutions strictement positives pour \(X\).
Posons :
\[ X=e^x. \]Alors \(X\gt0\) et l’équation devient :
\[ 3X^2-4X+1=0. \]On factorise :
\[ 3X^2-4X+1=(3X-1)(X-1). \]Donc :
\[ X=1\quad\text{ou}\quad X=\frac13. \]On revient à \(x\) :
\[ e^x=1\Rightarrow x=0, \qquad e^x=\frac13\Rightarrow x=\ln\left(\frac13\right)=-\ln3. \]Donc l’ensemble des solutions est :
\[ \{-\ln3,0\}. \]Question 27 — Partie réelle d’un nombre complexe
La partie réelle du nombre complexe
\[ z=\left(\frac{1+i\sqrt3}{1-i\sqrt3}\right)^2 \]est égale à :
On simplifie d’abord le quotient complexe, puis on l’élève au carré afin d’identifier sa partie réelle.
On calcule :
\[ \frac{1+i\sqrt3}{1-i\sqrt3} = \frac{(1+i\sqrt3)^2}{(1-i\sqrt3)(1+i\sqrt3)}. \]Or :
\[ (1+i\sqrt3)^2 = 1+2i\sqrt3-3 = -2+2i\sqrt3, \]et :
\[ (1-i\sqrt3)(1+i\sqrt3)=1+3=4. \]Donc :
\[ \frac{1+i\sqrt3}{1-i\sqrt3} = \frac{-1+i\sqrt3}{2}. \]Ainsi :
\[ z = \left(\frac{-1+i\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac{1-2i\sqrt3-3}{4} = -\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \]Par conséquent :
\[ \operatorname{Re}(z)=-\frac12. \]Question 28 — Probabilité avec deux dés
On lance simultanément deux dés de couleurs différentes. Chaque dé est équilibré et ses faces sont numérotées de \(1\) à \(6\).
La probabilité d’obtenir deux nombres dont la somme est \(5\) ou \(9\) est :
Les deux dés sont distingués par leurs couleurs, donc il y a \(36\) couples ordonnés équiprobables.
Le nombre total d’issues est :
\[ 6\times6=36. \]La somme \(5\) est obtenue par :
\[ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1), \]soit 4 issues.
La somme \(9\) est obtenue par :
\[ (3,6),(4,5),(5,4),(6,3), \]soit 4 issues.
Les deux cas sont incompatibles, donc le nombre de cas favorables est :
\[ 4+4=8. \]La probabilité cherchée vaut :
\[ P=\frac8{36}=\frac29. \]Question 29 — Limite exponentielle
La valeur de la limite suivante est :
\[ \lim_{x\to0}\frac{4^x-2^x}{x}. \]On utilise la dérivée en \(0\) de la fonction \(x\mapsto a^x\), qui vaut \(\ln a\).
On écrit :
\[ \frac{4^x-2^x}{x}=\frac{4^x-1}{x}-\frac{2^x-1}{x}. \]Lorsque \(x\to0\), on a :
\[ \lim_{x\to0}\frac{4^x-1}{x}=\ln4 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}=\ln2. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0}\frac{4^x-2^x}{x}=\ln4- \ln2=\ln\left(\frac42\right)=\ln2. \]Question 30 — Tangente à une courbe
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=\cos(e^x). \]Dans un repère orthonormé, l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(0\) est :
L’équation de la tangente en \(x_0\) est \(y=f\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
On a :
\[ f(0)=\cos(e^0)=\cos1. \]Par dérivation composée :
\[ f'(x)=-e^x\sin(e^x). \]Donc :
\[ f'(0)=-\sin1. \]L’équation de la tangente au point d’abscisse \(0\) est :
\[ y=f'(0)x+f(0)=-(\sin1)x+ \cos1. \]Conseil aux élèves
Dans cette série, les questions sont courtes mais demandent de reconnaître rapidement l’outil adapté : formule de somme, raison d’une suite, dénombrement, domaine trigonométrique, calcul complexe, équation exponentielle, limite et tangente.
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