Correction Concours Médecine Fès 2015 — Mathématiques
Université Sidi Mohammed Ben Abdellah — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès.
Année universitaire 2015-2016 — Correction détaillée des 16 QCM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de la partie mathématique du concours Médecine Fès 2015.
Chaque question reprend l’énoncé et toutes les propositions, puis expose la résolution étape par étape.
Correction détaillée
Question 1 — Domaine de définition
On considère la fonction :
\[ f(x)= \frac{\sqrt[3]{e^{-2x}-e}}{x+e}. \]Son domaine de définition est :
La racine cubique est définie pour tout nombre réel. L’expression :
\[ \sqrt[3]{e^{-2x}-e} \]n’impose donc aucune restriction sur \(x\).
DénominateurIl faut seulement que :
\[ x+e\ne0. \]Donc :
\[ x\ne-e. \]Le domaine de définition est ainsi :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-e\}. \]Question 2 — Dérivée d’une fonction logarithmique
On considère la fonction :
\[ g: \left]0,\frac{\pi}{4}\right[ \longrightarrow \mathbb R, \qquad x\longmapsto \ln\bigl(\cos(x^2)\bigr). \]Sa fonction dérivée est :
On considère :
\[ g(x)=\ln\bigl(\cos(x^2)\bigr). \]Sur l’intervalle donné, \(\cos(x^2)\gt0\), donc la dérivation est possible.
En utilisant :
\[ (\ln u)'=\frac{u'}u, \]avec :
\[ u(x)=\cos(x^2), \]on obtient :
\[ u'(x)=-2x\sin(x^2). \]Ainsi :
\[ g'(x) = \frac{-2x\sin(x^2)}{\cos(x^2)}. \]Donc :
\[ g'(x)=-2x\tan(x^2). \]Question 3 — Calcul d’une intégrale
Calculer :
\[ I= \int_1^{\sqrt e} \frac{1}{x\bigl(1-\ln x\bigr)}\,dx. \]On pose :
\[ u=1-\ln x. \]Alors :
\[ du=-\frac{dx}{x}. \]Lorsque \(x=1\) :
\[ u=1. \]Lorsque \(x=\sqrt e\) :
\[ u=1-\ln(\sqrt e) = 1-\frac12 = \frac12. \]Par conséquent :
\[ I = -\int_1^{1/2}\frac{du}{u}. \]Donc :
\[ I = \int_{1/2}^{1}\frac{du}{u} = \left[\ln u\right]_{1/2}^{1}. \]Ainsi :
\[ I = \ln1-\ln\left(\frac12\right) = \ln2. \]Question 4 — Limite d’une suite
On considère la suite :
\[ u_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\in\mathbb N^\ast. \]Sa limite est :
Pour tout \(n\ge1\) :
\[ |u_n| = \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| = \frac1n. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]On a donc :
\[ -\frac1n \le u_n \le \frac1n. \]Par le théorème d’encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. \]Question 5 — Lieu géométrique
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère deux points fixes distincts \(A\) et \(B\).
L’ensemble des points \(M\) vérifiant :
\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \]est :
La condition :
\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \]signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont orthogonaux.
Donc :
\[ \widehat{AMB}=\frac{\pi}{2}. \]D’après le théorème de l’angle inscrit dans un demi-cercle, l’ensemble des points \(M\) tels que l’angle \(\widehat{AMB}\) soit droit est le cercle de diamètre \([AB]\).
Les points \(A\) et \(B\) appartiennent également à cet ensemble, car l’un des deux vecteurs est alors nul.
Question 6 — Probabilités — tirages dans deux urnes
Deux urnes \(U_1\) et \(U_2\) contiennent au total \(12\) boules indiscernables au toucher, réparties ainsi :
| Couleur | Urne \(U_1\) | Urne \(U_2\) |
|---|---|---|
| Boules rouges | \(4\) | \(3\) |
| Boules vertes | \(3\) | \(2\) |
On tire simultanément deux boules de l’urne \(U_1\), puis une boule de l’urne \(U_2\).
La probabilité d’obtenir trois boules rouges est :
L’urne \(U_1\) contient \(7\) boules, dont \(4\) rouges.
La probabilité de tirer simultanément deux boules rouges est :
\[ \frac{\binom42}{\binom72}. \]Or :
\[ \binom42=6 \qquad\text{et}\qquad \binom72=21. \]Donc :
\[ P(\text{deux rouges dans }U_1) = \frac6{21} = \frac27. \] Tirage dans l’urne \(U_2\)L’urne \(U_2\) contient \(5\) boules, dont \(3\) rouges.
La probabilité de tirer une boule rouge est :
\[ \frac35. \] Probabilité finaleLes tirages sont effectués dans deux urnes distinctes. La probabilité d’obtenir trois boules rouges est :
\[ p = \frac{\binom42}{\binom72} \times \frac35. \]Ainsi :
\[ p = \frac27\times\frac35 = \frac6{35}. \]La proposition A donne directement cette valeur.
La proposition C donne :
\[ \frac{\binom32}{\binom52} \times \frac{\binom41}{\binom71} = \frac3{10}\times\frac47 = \frac6{35}. \]Elle inverse les rôles des deux urnes dans son écriture, mais fournit numériquement la même valeur exacte.
Question 7 — Valeur d’un nombre complexe
Le nombre complexe :
\[ 1+e^{2015i\pi} \]est :
La formule d’Euler donne :
\[ e^{2015i\pi} = \cos(2015\pi) + i\sin(2015\pi). \]Comme \(2015\) est impair :
\[ \cos(2015\pi)=-1 \]et :
\[ \sin(2015\pi)=0. \]Donc :
\[ e^{2015i\pi}=-1. \]Ainsi :
\[ 1+e^{2015i\pi}=1-1=0. \]Question 8 — Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
\[ y''+2\pi y'+\pi^2y=0. \]Sa solution générale sur \(\mathbb R\) est :
où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles.
L’équation caractéristique associée est :
\[ r^2+2\pi r+\pi^2=0. \]On reconnaît :
\[ r^2+2\pi r+\pi^2=(r+\pi)^2. \]L’équation caractéristique admet donc une racine double :
\[ r=-\pi. \]Pour une racine réelle double \(r_0\), la solution générale est :
\[ y(x)=(ax+b)e^{r_0x}. \]Par conséquent :
\[ y(x)=(ax+b)e^{-\pi x}. \]Question 9 — Nombre de solutions complexes
Dans \(\mathbb C\), l’équation :
\[ z^3+1=0 \]admet :
L’équation est :
\[ z^3=-1. \]On écrit :
\[ -1=e^{i(\pi+2k\pi)}. \]Les racines cubiques sont :
\[ z_k = e^{i\frac{\pi+2k\pi}{3}}, \qquad k=0,1,2. \]Elles sont distinctes. L’équation possède donc exactement trois solutions complexes.
On peut aussi factoriser :
\[ z^3+1 = (z+1)(z^2-z+1). \]Le facteur du second degré possède deux racines complexes distinctes, qui s’ajoutent à la racine réelle \(-1\).
Question 10 — Limite d’une suite exponentielle
On considère la suite :
\[ v_n=3^{n+1}-e^{n+1}, \qquad n\in\mathbb N. \]Sa limite est :
On factorise par \(3^{n+1}\) :
\[ v_n = 3^{n+1} \left[ 1- \left(\frac e3\right)^{n+1} \right]. \]Comme :
\[ 0\lt\frac e3\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac e3\right)^{n+1} \longrightarrow0. \]Donc le facteur entre crochets tend vers \(1\), tandis que :
\[ 3^{n+1}\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ v_n\longrightarrow+\infty. \]Question 11 — Limite remarquable
Le sujet présente la fonction :
\[ g(x)= \left( 1+\frac1{\sqrt x} \right)^x. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}g(x). \]On considère :
\[ g(x) = \left( 1+\frac1{\sqrt x} \right)^x, \qquad x\gt0. \]Pour calculer la limite, prenons le logarithme :
\[ \ln g(x) = x\ln\left( 1+\frac1{\sqrt x} \right). \]Posons :
\[ t=\frac1{\sqrt x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(t\to+\infty\) et :
\[ x=\frac1{t^2}. \]Ainsi :
\[ \ln g(x) = \frac{\ln(1+t)}{t^2}. \]Pour \(t\gt0\), on sait que :
\[ 0\le\ln(1+t)\le t. \]Donc :
\[ 0 \le \frac{\ln(1+t)}{t^2} \le \frac1t. \]Or :
\[ \frac1t\longrightarrow0. \]Par encadrement :
\[ \ln g(x)\longrightarrow0. \]Comme la fonction exponentielle est continue :
\[ g(x)\longrightarrow e^0=1. \]Question 12 — Produit mixte dans l’espace
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct :
\[ \left(O,\vec i,\vec j,\vec k\right), \]le produit scalaire :
\[ \vec i\cdot \left( \vec i\wedge\vec j \right) \]est égal à :
Dans un repère orthonormé direct :
\[ \vec i\wedge\vec j=\vec k. \]Donc :
\[ \vec i\cdot \left( \vec i\wedge\vec j \right) = \vec i\cdot\vec k. \]Les vecteurs \(\vec i\) et \(\vec k\) sont orthogonaux. Leur produit scalaire vaut donc :
\[ \vec i\cdot\vec k=0. \]Le résultat est le nombre réel \(0\), et non le vecteur nul \(\vec0\).
Question 13 — Espérance d’une loi binomiale
Une variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres :
\[ n=16 \qquad\text{et}\qquad p=0{,}25. \]Son espérance est :
Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), on a :
\[ E(X)=np. \]Ici :
\[ n=16 \qquad\text{et}\qquad p=0{,}25=\frac14. \]Donc :
\[ E(X) = 16\times\frac14 = 4. \]Question 14 — Suite récurrente
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=-2 \]et :
\[ u_{n+1} = \frac{u_n^3}{3}, \qquad \forall n\in\mathbb N. \]La limite de \((u_n)\) est :
Comme \(u_0=-2\), tous les termes restent négatifs. Posons :
\[ v_n=-u_n. \]Alors :
\[ v_0=2 \]et :
\[ v_{n+1} = \frac{v_n^3}{3}. \]On a :
\[ v_0=2\gt\sqrt3. \]Si \(v_n\gt\sqrt3\), alors :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{v_n^2}{3} \gt1. \]Donc :
\[ v_{n+1}\gt v_n. \]La suite \((v_n)\) est strictement croissante et vérifie \(v_n\ge2\).
Supposons qu’elle soit majorée. Elle serait alors convergente vers une limite \(\ell\ge2\). En passant à la limite dans :
\[ v_{n+1}=\frac{v_n^3}{3}, \]on obtiendrait :
\[ \ell=\frac{\ell^3}{3}. \]Donc :
\[ \ell(\ell^2-3)=0. \]Comme \(\ell\gt0\), cela imposerait :
\[ \ell=\sqrt3, \]ce qui contredit \(\ell\ge2\).
La suite \((v_n)\) n’est donc pas majorée. Puisqu’elle est croissante :
\[ v_n\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ u_n=-v_n\longrightarrow-\infty. \]Question 15 — Résolution d’une équation logarithmique
On considère l’équation :
\[ x\left( 1-\ln^2(x+2) \right)=x. \]Le domaine de l’équation est :
\[ x+2\gt0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\gt-2. \]L’équation s’écrit :
\[ x\left( 1-\ln^2(x+2) \right)=x. \]On soustrait \(x\) aux deux membres :
\[ -x\ln^2(x+2)=0. \]Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.
Premier cas \[ x=0. \]Cette valeur appartient bien au domaine.
Deuxième cas \[ \ln^2(x+2)=0. \]Donc :
\[ \ln(x+2)=0. \]Ainsi :
\[ x+2=1 \]et :
\[ x=-1. \]Cette valeur appartient également au domaine.
L’ensemble des solutions est donc :
\[ S=\{-1,0\}. \]L’équation admet exactement deux solutions dans \(]-2,+\infty[\).
Question 16 — Intégrale d’une fonction impaire
Calculer :
\[ J= \int_{-1}^{1} e^{x^2}\sin x\,dx. \]La fonction :
\[ x\longmapsto e^{x^2} \]est paire, car :
\[ e^{(-x)^2}=e^{x^2}. \]La fonction sinus est impaire :
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]Le produit :
\[ x\longmapsto e^{x^2}\sin x \]est donc une fonction impaire.
L’intégrale d’une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle :
\[ J = \int_{-1}^{1} e^{x^2}\sin x\,dx = 0. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | proposition D — \(D_f=\mathbb R\setminus\{-e\}\). |
| Q2 | proposition E — \(g'(x)=-2x\tan(x^2)\). |
| Q3 | proposition B — \(I=\ln2\). |
| Q4 | proposition B — la limite vaut \(0\). |
| Q5 | proposition E — le cercle de diamètre \([AB]\). |
| Q6 | propositions A et C — \(p=\frac6{35}\). |
| Q7 | proposition D — le nombre est nul. |
| Q8 | proposition A — \(y(x)=(ax+b)e^{-\pi x}\). |
| Q9 | proposition C — trois solutions complexes. |
| Q10 | proposition B — la limite vaut \(+\infty\). |
| Q11 | proposition D — la limite vaut \(1\). |
| Q12 | proposition E — le produit scalaire vaut \(0\). |
| Q13 | proposition A — \(E(X)=4\). |
| Q14 | proposition B — la limite vaut \(-\infty\). |
| Q15 | proposition D — les solutions sont \(-1\) et \(0\). |
| Q16 | proposition C — \(J=0\). |
Anomalie objective du sujet
Question 6 : les propositions A et C donnent toutes les deux la probabilité exacte \(rac635\), alors que le sujet annonce une seule bonne réponse.
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