Correction Concours Médecine Marrakech 2017 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech — année universitaire 2017-2018.
Correction détaillée des questions 21 à 30.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Marrakech 2017.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction détaillée et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 21 — Propriétés du logarithme
La valeur du nombre
\[ \ln(3)+4\ln(2)-\ln(60) \]est :
On utilise \(a\ln b=\ln(b^a)\) et \(\ln A+\ln B-\ln C=\ln\left(\frac{AB}{C}\right)\).
On commence par transformer :
\[ 4\ln2=\ln(2^4)=\ln16. \]Donc :
\[ \ln3+4\ln2-\ln60 = \ln3+\ln16-\ln60. \]Ainsi :
\[ \ln3+\ln16-\ln60 = \ln\left(\frac{3\cdot16}{60}\right). \]Or :
\[ \frac{3\cdot16}{60}=\frac{48}{60}=\frac45. \]Donc :
\[ \ln3+4\ln2-\ln60=\ln\left(\frac45\right). \]Question 22 — Suite géométrique auxiliaire
Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite définie par :
\[ u_1=\sqrt[3]{\frac27} \]et
\[ u_{n+1}=\sqrt[3]{\frac{1+u_n^3}{8}},\qquad n\ge1. \]On pose :
\[ v_n=\frac78u_n^3-\frac18. \]La raison de la suite géométrique \((v_n)_{n\ge1}\) est :
Comme la récurrence porte sur \(u_n^3\), on calcule directement \(u_{n+1}^3\).
D’après la définition :
\[ u_{n+1}^3=\frac{1+u_n^3}{8}. \]Donc :
\[ v_{n+1}=\frac78u_{n+1}^3-\frac18. \]On remplace \(u_{n+1}^3\) :
\[ v_{n+1} = \frac78\cdot\frac{1+u_n^3}{8}-\frac18. \]Ainsi :
\[ v_{n+1} = \frac{7(1+u_n^3)}{64}-\frac8{64}. \]Donc :
\[ v_{n+1}=\frac{7u_n^3-1}{64}. \]Or :
\[ v_n=\frac78u_n^3-\frac18=\frac{7u_n^3-1}{8}. \]Par conséquent :
\[ v_{n+1}=\frac18v_n. \]La suite \((v_n)\) est géométrique de raison :
\[ \frac18. \]Question 23 — Domaine de définition
Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=\sqrt{\ln(x^2+3x-4)} \]est :
Pour que \(\sqrt{\ln A}\) soit définie, il faut \(\ln A\ge0\), donc \(A\ge1\).
On doit avoir :
\[ \ln(x^2+3x-4)\ge0. \]Cette condition équivaut à :
\[ x^2+3x-4\ge1. \]Donc :
\[ x^2+3x-5\ge0. \]On calcule le discriminant :
\[ \Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-5)=29. \]Les racines sont :
\[ x_1=\frac{-3-\sqrt{29}}2, \qquad x_2=\frac{-3+\sqrt{29}}2. \]Comme le coefficient de \(x^2\) est positif :
\[ x^2+3x-5\ge0 \]pour :
\[ x\le x_1 \quad\text{ou}\quad x\ge x_2. \]Donc :
\[ D_f= \left]-\infty,\frac{-3-\sqrt{29}}2\right] \cup \left[\frac{-3+\sqrt{29}}2,+\infty\right[. \]Question 24 — Primitive avec logarithme
La fonction primitive \(F\) de la fonction
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x^3} \]qui prend la valeur \(0\) en \(1\) est :
On utilise une intégration par parties avec \(u=\ln x\) et \(dv=x^{-3}dx\).
On cherche :
\[ \int \frac{\ln x}{x^3}\,dx. \]On pose :
\[ u=\ln x,\qquad dv=x^{-3}dx. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{x}, \qquad v=-\frac1{2x^2}. \]Donc :
\[ \int \frac{\ln x}{x^3}\,dx = -\frac{\ln x}{2x^2} -\int\left(-\frac1{2x^2}\right)\frac{dx}{x}. \]Ainsi :
\[ \int \frac{\ln x}{x^3}\,dx = -\frac{\ln x}{2x^2} +\frac12\int x^{-3}\,dx. \]Donc :
\[ \int \frac{\ln x}{x^3}\,dx = -\frac{\ln x}{2x^2}-\frac1{4x^2}+C. \]Comme \(F(1)=0\), on obtient :
\[ -\frac{\ln1}{2}-\frac14+C=0. \]Donc :
\[ C=\frac14. \]Ainsi :
\[ F(x)=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac1{4x^2}+\frac14. \]Question 25 — Intégrale d’une fraction rationnelle
La valeur de l’intégrale
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^2-x-1}\,dx \]est :
On factorise le trinôme et on utilise une décomposition en éléments simples.
Les racines de :
\[ x^2-x-1 \]sont :
\[ \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}. \]Donc :
\[ x^2-x-1=(x-\alpha)(x-\beta). \]On a :
\[ \frac1{x^2-x-1} = \frac1{\sqrt5}\left(\frac1{x-\alpha}-\frac1{x-\beta}\right). \]Une primitive est donc :
\[ \frac1{\sqrt5}\ln\left|\frac{x-\alpha}{x-\beta}\right|. \]Ainsi :
\[ I= \frac1{\sqrt5} \left[ \ln\left|\frac{x-\alpha}{x-\beta}\right| \right]_0^1. \]On obtient :
\[ I=\frac2{\sqrt5}\ln\left(\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\right). \]Or :
\[ \frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}=\frac{3-\sqrt5}{2}. \]Donc la même valeur peut aussi s’écrire :
\[ I=\frac2{\sqrt5}\ln\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\right). \]Question 26 — Probabilité par dénombrement
On considère deux urnes \(S_1\) et \(S_2\) qui contiennent chacune \(5\) boules numérotées de \(1\) à \(5\).
On tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne \(S_1\) et une boule de l’urne \(S_2\).
La probabilité d’obtenir deux boules impaires et une boule paire est :
Dans chaque urne, il y a \(3\) nombres impairs et \(2\) nombres pairs.
On veut obtenir au total deux boules impaires et une boule paire.
Premier cas : les deux boules tirées de \(S_1\) sont impaires et la boule tirée de \(S_2\) est paire.
\[ P_1=\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}\cdot\frac25 = \frac3{10}\cdot\frac25 = \frac3{25}. \]Deuxième cas : les deux boules tirées de \(S_1\) sont de parités différentes et la boule tirée de \(S_2\) est impaire.
\[ P_2=\frac{\mathrm C_3^1\mathrm C_2^1}{\mathrm C_5^2}\cdot\frac35 = \frac6{10}\cdot\frac35 = \frac9{25}. \]Donc :
\[ P=P_1+P_2=\frac3{25}+\frac9{25}=\frac{12}{25}. \]Question 27 — Asymptote oblique
Le graphique de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=\frac{2x^2-3x+\ln x}{x} \]admet au voisinage de \(+\infty\) une asymptote dont l’équation est :
On sépare les termes du quotient pour isoler la partie affine.
On écrit :
\[ f(x)=\frac{2x^2}{x}-\frac{3x}{x}+\frac{\ln x}{x}. \]Donc :
\[ f(x)=2x-3+\frac{\ln x}{x}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ \frac{\ln x}{x}\to0. \]Donc :
\[ f(x)-(2x-3)\to0. \]La courbe admet donc l’asymptote oblique :
\[ y=2x-3. \]Question 28 — Probabilité d’une intersection
Trois étudiants ont passé un examen : Mohamed, Ahmed et Amine.
Les probabilités de succès de Mohamed, Ahmed et Amine sont respectivement :
\[ \frac34,\qquad \frac23,\qquad \frac13. \]La probabilité pour que les trois étudiants réussissent leur examen est :
Lorsque les succès sont considérés indépendants, on multiplie les probabilités.
La probabilité que les trois étudiants réussissent est :
\[ \frac34\cdot\frac23\cdot\frac13. \]On simplifie :
\[ \frac34\cdot\frac23=\frac12. \]Donc :
\[ \frac12\cdot\frac13=\frac16. \]Question 29 — Aire entre deux courbes
Dans un repère orthonormé, l’unité d’aire est le \(\text{cm}^2\).
On considère les courbes représentatives des deux fonctions :
\[ f(x)=x^3 \quad\text{et}\quad g(x)=x^2,\qquad x\gt0. \]L’aire du domaine compris entre les courbes de \(f\) et \(g\), et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=2\), est :
On découpe l’intervalle au point d’intersection \(x=1\).
Les deux courbes se coupent lorsque :
\[ x^3=x^2. \]Donc :
\[ x^2(x-1)=0. \]Sur \([0,2]\), les points importants sont \(0\) et \(1\).
Sur \([0,1]\), on a :
\[ x^2\ge x^3. \]Sur \([1,2]\), on a :
\[ x^3\ge x^2. \]L’aire vaut donc :
\[ \mathcal A= \int_0^1(x^2-x^3)\,dx+\int_1^2(x^3-x^2)\,dx. \]Calculons :
\[ \int_0^1(x^2-x^3)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac13-\frac14 = \frac1{12}. \]Et :
\[ \int_1^2(x^3-x^2)\,dx = \left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{17}{12}. \]Donc :
\[ \mathcal A=\frac1{12}+\frac{17}{12}=\frac{18}{12}=\frac32. \]L’aire demandée est :
\[ \frac32\ \text{cm}^2. \]Question 30 — Centre de symétrie d’une courbe
Soit \(h\) une fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) et \(C_h\) sa courbe représentative.
On suppose que :
\[ \Omega(1,2) \]est le centre de symétrie de \(C_h\). Alors, pour tout réel \(x\), on a :
Si \(\Omega(a,b)\) est centre de symétrie de la courbe de \(h\), alors \(h(2a-x)+h(x)=2b\).
Ici :
\[ a=1,\qquad b=2. \]La formule du centre de symétrie donne :
\[ h(2a-x)+h(x)=2b. \]Donc :
\[ h(2-x)+h(x)=4. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, les points clés sont les transformations logarithmiques, les suites auxiliaires, les domaines de définition, les fractions rationnelles et les aires entre deux courbes.
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