Correction de l’exercice 17
Calcul des fonctions dérivées — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice 17 du chapitre Logarithme népérien. Pour chaque fonction, on détermine d’abord les intervalles sur lesquels elle est dérivable, puis on calcule sa dérivée.
Exercice 17 Déterminer les intervalles de dérivabilité et calculer les dérivées
La fonction est définie et dérivable pour :
\[ x\gt0. \]En utilisant la dérivée d’un produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x\\ &=\ln x+1. \end{aligned} \]La présence de \(\ln x\) impose \(x\gt0\), et \(\ln|x-1|\) impose \(x\neq1\).
La fonction est donc dérivable sur :
\[ ]0,1[ \qquad\text{et}\qquad ]1,+\infty[. \]Sur chacun de ces intervalles :
\[ \frac{d}{dx}\ln|x-1|=\frac1{x-1}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac1{x-1}+\frac1x\\ &=\frac{2x-1}{x(x-1)}. \end{aligned} \]Il faut :
\[ x^2-2x=x(x-2)\gt0. \]Donc :
\[ x\lt0 \quad\text{ou}\quad x\gt2. \]La fonction est dérivable sur \(]-\infty,0[\) et \(]2,+\infty[\). On obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{2x-2}{x^2-2x}\\ &=\frac{2(x-1)}{x(x-2)}. \end{aligned} \]On factorise :
\[ x^2-8x+12=(x-2)(x-6). \]La fonction est définie et dérivable lorsque :
\[ x\neq2 \qquad\text{et}\qquad x\neq6. \]Sur chacun des intervalles obtenus :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{2x-8}{x^2-8x+12}\\ &=\frac{2(x-4)}{(x-2)(x-6)}. \end{aligned} \]Il faut :
\[ \ln x\gt0. \]Donc :
\[ x\gt1. \]La fonction est dérivable sur \(]1,+\infty[\), et :
\[ f'(x) = \frac{1/x}{\ln x} = \frac1{x\ln x}. \]La fonction est définie pour \(x\gt0\). Elle n’est pas dérivable en \(x=1\), car \(|\ln x|=0\) en ce point et la racine carrée produit une pointe.
Sur \(]0,1[\) :
\[ |\ln x|=-\ln x, \]donc :
\[ f(x)=x^3\sqrt{-\ln x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=3x^2\sqrt{-\ln x} -\frac{x^2}{2\sqrt{-\ln x}}\\ &= \frac{x^2(-6\ln x-1)}{2\sqrt{-\ln x}}. \end{aligned} \]Sur \(]1,+\infty[\) :
\[ |\ln x|=\ln x, \]donc :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=3x^2\sqrt{\ln x} +\frac{x^2}{2\sqrt{\ln x}}\\ &= \frac{x^2(6\ln x+1)}{2\sqrt{\ln x}}. \end{aligned} \]La fonction est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
En utilisant la dérivée d’un quotient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ x\cdot5(\ln x)^4\cdot\frac1x-(\ln x)^5 }{ x^2 }\\ &= \frac{(\ln x)^4(5-\ln x)}{x^2}. \end{aligned} \]On factorise :
\[ x^2-6x+5=(x-1)(x-5) \]et :
\[ 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1). \]L’étude du signe du quotient donne le domaine :
\[ D_f= ]-\infty,-1[ \cup ]-\tfrac12,1[ \cup ]5,+\infty[. \]Sur chacun de ces intervalles :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x-6}{x^2-6x+5} - \frac{4x+3}{2x^2+3x+1}. \end{aligned} \]Il faut :
\[ \cos x\neq0. \]Donc la fonction est dérivable sur chacun des intervalles :
\[ \left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right[ \qquad(k\in\mathbb Z). \]Sur ces intervalles :
\[ f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x. \]Il faut :
\[ x-3\gt0 \]et :
\[ 1-\ln(x-3)\ge0. \]Comme \(\ln(x-3)\le1\), on obtient :
\[ 3\lt x\le e+3. \]La fonction est dérivable lorsque le radicand est strictement positif, donc sur \(]3,e+3[\).
Sa dérivée est :
\[ f'(x) = -\frac1{ 2(x-3)\sqrt{1-\ln(x-3)} }. \]Il faut \(x\gt0\), \(x\neq1\) et :
\[ 1-\frac1{(\ln x)^2}\ge0. \]Cette condition équivaut à :
\[ |\ln x|\ge1. \]Donc :
\[ 0\lt x\le e^{-1} \quad\text{ou}\quad x\ge e. \]La fonction est dérivable sur \(]0,e^{-1}[\) et \(]e,+\infty[\).
On a :
\[ \left( 1-\frac1{(\ln x)^2} \right)' = \frac{2}{x(\ln x)^3}. \]Ainsi :
\[ f'(x) = \frac1{ x(\ln x)^3 \sqrt{1-\frac1{(\ln x)^2}} }. \]La fonction est définie et dérivable lorsque :
\[ x\gt0 \qquad\text{et}\qquad x\neq1. \]Posons :
\[ u(x)=2-\frac3{\ln x}. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac3{x(\ln x)^2}. \]Par la dérivée d’un produit et la dérivée d’une puissance :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x\,u(x)^4 + x^2\cdot4u(x)^3u'(x)\\ &= 2x\left(2-\frac3{\ln x}\right)^4 + \frac{12x}{(\ln x)^2} \left(2-\frac3{\ln x}\right)^3. \end{aligned} \]On peut factoriser :
\[ f'(x) = 2x\left(2-\frac3{\ln x}\right)^3 \left( 2-\frac3{\ln x} + \frac6{(\ln x)^2} \right). \]Pour tout réel \(x\) :
\[ \sqrt{x^2+1}\gt|x|, \]donc :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]La fonction est donc dérivable sur \(\mathbb R\).
On calcule :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} }{ x+\sqrt{x^2+1} }\\ &= \frac1{\sqrt{x^2+1}}. \end{aligned} \]Il faut :
\[ x\gt0 \]et :
\[ 1-(\ln x)^2\ge0. \]Donc :
\[ |\ln x|\le1, \]soit :
\[ e^{-1}\le x\le e. \]La fonction est dérivable lorsque le radicand est strictement positif, donc sur \(]e^{-1},e[\).
On obtient :
\[ f'(x) = -\frac{\ln x}{ x\sqrt{1-(\ln x)^2} }. \]On remarque que :
\[ x^2-4x+5=(x-2)^2+1. \]En posant \(t=x-2\), l’argument du logarithme devient :
\[ t+\sqrt{t^2+1}, \]qui est strictement positif pour tout réel \(t\).
La fonction est donc dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ 1+\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2+1}} }{ x-2+\sqrt{(x-2)^2+1} }\\ &= \frac1{\sqrt{(x-2)^2+1}}\\ &= \frac1{\sqrt{x^2-4x+5}}. \end{aligned} \]Les deux racines carrées imposent :
\[ -e\le x\le e. \]La somme située dans le logarithme est strictement positive sur cet intervalle.
La fonction est dérivable sur \(]-e,e[\). On calcule :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ \frac1{2\sqrt{e+x}} - \frac1{2\sqrt{e-x}} }{ \sqrt{e+x}+\sqrt{e-x} }. \end{aligned} \]Donc :
On factorise :
\[ x^2-4x=x(x-4). \]La fonction est définie lorsque :
\[ x\neq-4, \qquad x\neq0 \qquad\text{et}\qquad x\neq4. \]Sur chacun des intervalles du domaine :
\[ \begin{aligned} f(x) &= \ln|x| + \ln|x-4| - \ln|x+4|. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ f'(x) = \frac1x + \frac1{x-4} - \frac1{x+4}. \]Méthodes à retenir
- Déterminer le domaine et les points où une racine carrée s’annule avant de dériver.
- La formule \((\ln|u|)'=\dfrac{u'}u\) est valable sur tout intervalle où \(u\neq0\).
- Une fonction contenant \(\sqrt{|u|}\) peut ne pas être dérivable aux points où \(u=0\).
- Pour une fonction logarithmique composée, vérifier d’abord que son argument est strictement positif.
- Les bornes où un radicand s’annule appartiennent parfois au domaine, mais pas nécessairement aux intervalles de dérivabilité.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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