Correction de l’exercice 17 — Calcul des fonctions dérivées
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Cet exercice rassemble dix-sept fonctions faisant intervenir le logarithme népérien sous des formes très variées : produit, quotient, valeur absolue, racine carrée et fonctions composées. L’objectif n’est pas seulement de calculer mécaniquement une dérivée. Pour chaque fonction, il faut d’abord déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles l’expression existe, puis distinguer le domaine de définition des intervalles sur lesquels la fonction est réellement dérivable. Cette distinction devient particulièrement importante lorsqu’une racine carrée intervient : une borne où le radicand s’annule peut appartenir au domaine sans appartenir à un intervalle de dérivabilité. La correction suit donc toujours la même logique : conditions d’existence, intervalles de dérivabilité, règle de dérivation adaptée, calcul puis résultat.
Pour une fonction composée \(x\mapsto\ln(u(x))\), il faut avant tout vérifier que \(u(x)\gt0\). Sur tout intervalle où cette condition est satisfaite :
\[ (\ln u)'=\frac{u'}u. \]Lorsque la valeur absolue apparaît, la règle utilisée dans le cours est :
\[ (\ln|u|)'=\frac{u'}u \qquad\text{sur tout intervalle où }u\neq0. \]Pour une racine carrée, l’existence de \(\sqrt{u}\) demande \(u\ge0\), mais la formule
\[ (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} \]s’utilise lorsque \(u\gt0\). Les points où \(u=0\) doivent donc être examinés séparément lorsqu’on cherche les intervalles de dérivabilité.
Pour chacune des dix-sept fonctions, on commence par repérer les contraintes imposées par les logarithmes, les dénominateurs et les racines carrées. On détermine ensuite les intervalles ouverts où toutes les opérations intervenant dans la fonction sont dérivables. Ce n’est qu’après cette étape que l’on applique la règle de dérivation appropriée. Enfin, on annonce systématiquement la formule obtenue avec l’intervalle ou les intervalles sur lesquels elle est valable.
Exercice 17 — Intervalles de dérivabilité et fonctions dérivées
Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) est dérivable et calculer sa fonction dérivée dans chacun des dix-sept cas proposés.
1. Fonction \(f(x)=x\ln x\)
Afficher la correction
La seule contrainte vient de \(\ln x\). Son argument doit être strictement positif. Sur cet intervalle, \(x\) et \(\ln x\) sont dérivables, donc leur produit l’est également.
La fonction est définie et dérivable pour :
\[ x\gt0. \]En utilisant la dérivée d’un produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x\\ &=\ln x+1. \end{aligned} \]2. Fonction \(f(x)=\ln|x-1|+\ln x\)
Afficher la correction
Deux conditions sont nécessaires. Pour \(\ln x\), on doit avoir \(x\gt0\). Pour \(\ln|x-1|\), la valeur absolue doit être strictement positive, donc \(x\neq1\).
La présence de \(\ln x\) impose \(x\gt0\), et \(\ln|x-1|\) impose \(x\neq1\).
La fonction est donc dérivable sur :
\[ ]0,1[ \qquad\text{et}\qquad ]1,+\infty[. \]Sur chacun de ces intervalles :
\[ \frac{d}{dx}\ln|x-1|=\frac1{x-1}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac1{x-1}+\frac1x\\ &=\frac{2x-1}{x(x-1)}. \end{aligned} \]3. Fonction \(f(x)=\ln(x^2-2x)\)
Afficher la correction
Ici, l’argument du logarithme doit être strictement positif. On commence donc par résoudre une inéquation avant toute dérivation.
Il faut :
\[ x^2-2x=x(x-2)\gt0. \]Donc :
\[ x\lt0 \quad\text{ou}\quad x\gt2. \]La fonction est dérivable sur \(]-\infty,0[\) et \(]2,+\infty[\). On obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{2x-2}{x^2-2x}\\ &=\frac{2(x-1)}{x(x-2)}. \end{aligned} \]4. Fonction \(f(x)=\ln|x^2-8x+12|\)
Afficher la correction
Grâce à la valeur absolue, il n’est pas nécessaire que le trinôme soit positif. Il doit seulement être non nul. La factorisation permet donc d’identifier immédiatement les deux valeurs interdites.
On factorise :
\[ x^2-8x+12=(x-2)(x-6). \]La fonction est définie et dérivable lorsque :
\[ x\neq2 \qquad\text{et}\qquad x\neq6. \]Sur chacun des intervalles obtenus :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{2x-8}{x^2-8x+12}\\ &=\frac{2(x-4)}{(x-2)(x-6)}. \end{aligned} \]5. Fonction \(f(x)=\ln(\ln x)\)
Afficher la correction
Il s’agit d’un logarithme composé avec un autre logarithme. L’argument du logarithme extérieur est \(\ln x\), qui doit être strictement positif.
Il faut :
\[ \ln x\gt0. \]Donc :
\[ x\gt1. \]La fonction est dérivable sur \(]1,+\infty[\), et :
\[ f'(x) = \frac{1/x}{\ln x} = \frac1{x\ln x}. \]6. Fonction \(f(x)=x^3\sqrt{|\ln x|}\)
Afficher la correction
Cette fonction oblige à séparer les cas \(0\lt x\lt1\) et \(x\gt1\), car le signe de \(\ln x\) change en \(1\). La fonction est bien définie en \(1\), mais la racine carrée de \(|\ln x|\) empêche la dérivabilité en ce point.
La fonction est définie pour \(x\gt0\). Elle n’est pas dérivable en \(x=1\), car \(|\ln x|=0\) en ce point et la racine carrée produit une pointe.
Sur \(]0,1[\) :
\[ |\ln x|=-\ln x, \]donc :
\[ f(x)=x^3\sqrt{-\ln x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=3x^2\sqrt{-\ln x} -\frac{x^2}{2\sqrt{-\ln x}}\\ &= \frac{x^2(-6\ln x-1)}{2\sqrt{-\ln x}}. \end{aligned} \]Sur \(]1,+\infty[\) :
\[ |\ln x|=\ln x, \]donc :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=3x^2\sqrt{\ln x} +\frac{x^2}{2\sqrt{\ln x}}\\ &= \frac{x^2(6\ln x+1)}{2\sqrt{\ln x}}. \end{aligned} \]7. Fonction \(f(x)=\dfrac{(\ln x)^5}{x}\)
Afficher la correction
La condition \(x\gt0\) garantit à la fois l’existence de \(\ln x\) et la non-annulation du dénominateur.
La fonction est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
En utilisant la dérivée d’un quotient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ x\cdot5(\ln x)^4\cdot\frac1x-(\ln x)^5 }{ x^2 }\\ &= \frac{(\ln x)^4(5-\ln x)}{x^2}. \end{aligned} \]8. Logarithme d’un quotient
Afficher la correction
Ici, il faut étudier le signe du quotient entier : son numérateur et son dénominateur ne sont pas obligatoirement positifs séparément. L’argument du logarithme doit simplement être strictement positif.
On factorise :
\[ x^2-6x+5=(x-1)(x-5) \]et :
\[ 2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1). \]L’étude du signe du quotient donne le domaine :
\[ D_f= ]-\infty,-1[ \cup ]-\tfrac12,1[ \cup ]5,+\infty[. \]Sur chacun de ces intervalles, l’argument du logarithme est strictement positif et la fonction est donc dérivable.
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x-6}{x^2-6x+5} - \frac{4x+3}{2x^2+3x+1}. \end{aligned} \]9. Fonction \(f(x)=\ln|\cos x|\)
Afficher la correction
Grâce à la valeur absolue, le signe de \(\cos x\) n’est pas imposé. La seule interdiction correspond aux zéros de \(\cos x\).
Il faut :
\[ \cos x\neq0. \]Donc la fonction est dérivable sur chacun des intervalles :
\[ \left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right[ \qquad(k\in\mathbb Z). \]Sur ces intervalles :
\[ f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x. \]10. Fonction \(f(x)=\sqrt{1-\ln(x-3)}\)
Afficher la correction
Deux conditions interviennent : l’argument \(x-3\) du logarithme doit être strictement positif et le radicand de la racine carrée doit être positif ou nul.
Il faut :
\[ x-3\gt0 \]et :
\[ 1-\ln(x-3)\ge0. \]Comme \(\ln(x-3)\le1\), on obtient :
\[ 3\lt x\le e+3. \]La fonction est dérivable lorsque le radicand est strictement positif, donc sur \(]3,e+3[\).
Sa dérivée est :
\[ f'(x) = -\frac1{ 2(x-3)\sqrt{1-\ln(x-3)} }. \]11. Fonction \(f(x)=\sqrt{1-\dfrac1{(\ln x)^2}}\)
Afficher la correction
Il faut combiner trois contraintes : \(x\gt0\) pour le logarithme, \(\ln x\neq0\) parce qu’il apparaît au dénominateur, puis la positivité ou la nullité du radicand.
Il faut \(x\gt0\), \(x\neq1\) et :
\[ 1-\frac1{(\ln x)^2}\ge0. \]Cette condition équivaut à :
\[ |\ln x|\ge1. \]Donc :
\[ 0\lt x\le e^{-1} \quad\text{ou}\quad x\ge e. \]La fonction est dérivable sur \(]0,e^{-1}[\) et \(]e,+\infty[\).
On a :
\[ \left( 1-\frac1{(\ln x)^2} \right)' = \frac{2}{x(\ln x)^3}. \]Ainsi :
\[ f'(x) = \frac1{ x(\ln x)^3 \sqrt{1-\frac1{(\ln x)^2}} }. \]12. Produit et puissance composée
Afficher la correction
Le logarithme apparaît ici au dénominateur. Il faut donc simultanément \(x\gt0\) et \(\ln x\neq0\), c’est-à-dire \(x\neq1\).
La fonction est définie et dérivable lorsque :
\[ x\gt0 \qquad\text{et}\qquad x\neq1. \]Posons :
\[ u(x)=2-\frac3{\ln x}. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac3{x(\ln x)^2}. \]Par la dérivée d’un produit et la dérivée d’une puissance :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x\,u(x)^4 + x^2\cdot4u(x)^3u'(x)\\ &= 2x\left(2-\frac3{\ln x}\right)^4 + \frac{12x}{(\ln x)^2} \left(2-\frac3{\ln x}\right)^3. \end{aligned} \]On peut factoriser :
\[ f'(x) = 2x\left(2-\frac3{\ln x}\right)^3 \left( 2-\frac3{\ln x} + \frac6{(\ln x)^2} \right). \]13. Fonction \(f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)
Afficher la correction
Avant de dériver, il faut justifier que l’argument du logarithme reste strictement positif pour tout réel. C’est ici la comparaison entre \(\sqrt{x^2+1}\) et \(|x|\) qui fournit cette justification.
Pour tout réel \(x\) :
\[ \sqrt{x^2+1}\gt|x|, \]donc :
\[ x+\sqrt{x^2+1}\gt0. \]La fonction est donc dérivable sur \(\mathbb R\).
On calcule :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} }{ x+\sqrt{x^2+1} }\\ &= \frac1{\sqrt{x^2+1}}. \end{aligned} \]14. Fonction \(f(x)=\sqrt{1-(\ln x)^2}\)
Afficher la correction
Il faut d’abord assurer l’existence du logarithme, puis imposer que le radicand soit positif ou nul. Pour la dérivabilité avec la formule de la racine, on retiendra ensuite l’inégalité stricte.
Il faut :
\[ x\gt0 \]et :
\[ 1-(\ln x)^2\ge0. \]Donc :
\[ |\ln x|\le1, \]soit :
\[ e^{-1}\le x\le e. \]La fonction est dérivable lorsque le radicand est strictement positif, donc sur \(]e^{-1},e[\).
On obtient :
\[ f'(x) = -\frac{\ln x}{ x\sqrt{1-(\ln x)^2} }. \]15. Logarithme d’une expression avec racine
Afficher la correction
La première étape consiste à prouver la stricte positivité de l’argument du logarithme. La mise sous la forme \((x-2)^2+1\) ramène cette vérification au même mécanisme que dans la fonction 13.
On remarque que :
\[ x^2-4x+5=(x-2)^2+1. \]En posant \(t=x-2\), l’argument du logarithme devient :
\[ t+\sqrt{t^2+1}, \]qui est strictement positif pour tout réel \(t\).
La fonction est donc dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ 1+\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)^2+1}} }{ x-2+\sqrt{(x-2)^2+1} }\\ &= \frac1{\sqrt{(x-2)^2+1}}\\ &= \frac1{\sqrt{x^2-4x+5}}. \end{aligned} \]16. Somme de deux racines dans un logarithme
Afficher la correction
Les deux racines imposent simultanément \(e+x\ge0\) et \(e-x\ge0\). Une fois cet intervalle obtenu, la somme des deux racines est strictement positive, ce qui garantit l’existence du logarithme.
Les deux racines carrées imposent :
\[ -e\le x\le e. \]La somme située dans le logarithme est strictement positive sur cet intervalle.
La fonction est dérivable sur \(]-e,e[\). On calcule :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ \frac1{2\sqrt{e+x}} - \frac1{2\sqrt{e-x}} }{ \sqrt{e+x}+\sqrt{e-x} }. \end{aligned} \]Donc :
17. Logarithme d’une valeur absolue d’un quotient
Afficher la correction
L’argument de \(\ln|\cdot|\) doit être non nul. Il faut donc exclure à la fois les zéros du numérateur et la valeur qui annule le dénominateur.
On factorise :
\[ x^2-4x=x(x-4). \]La fonction est définie lorsque :
\[ x\neq-4, \qquad x\neq0 \qquad\text{et}\qquad x\neq4. \]Sur chacun des intervalles du domaine :
\[ \begin{aligned} f(x) &= \ln|x| + \ln|x-4| - \ln|x+4|. \end{aligned} \]Cette transformation est autorisée ici car les valeurs absolues \(|x|\), \(|x-4|\) et \(|x+4|\) sont strictement positives sur chacun des intervalles considérés.
Par conséquent :
\[ f'(x) = \frac1x + \frac1{x-4} - \frac1{x+4}. \]À retenir
Cet exercice montre que le calcul d’une dérivée logarithmique commence toujours par l’étude de son domaine. Pour \(\ln u\), l’argument doit être strictement positif ; pour \(\ln|u|\), il suffit que \(u\) soit non nul. Lorsqu’une racine carrée intervient, il faut distinguer la condition \(u\ge0\), qui définit la fonction, de la condition \(u\gt0\) nécessaire pour utiliser directement la formule de dérivation de \(\sqrt u\). Les fonctions 6, 10, 11, 14 et 16 illustrent précisément cette différence entre domaine de définition et intervalles de dérivabilité. Enfin, la règle \((\ln|u|)'=u'/u\) permet de traiter efficacement les expressions dont le signe peut changer, à condition d’exclure les zéros de \(u\). La bonne stratégie consiste donc à vérifier les conditions avant de dériver, puis à annoncer la formule avec son intervalle de validité.
Correction des exercices 14 à 16 · Correction de l’exercice 13 · Exercices résolus — Al Moufid
Commentaires
Enregistrer un commentaire