Correction de l’exercice 55 — Fonctions 6 à 10
Exercices de perfectionnement — Études complètes de fonctions
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page traite les fonctions 6 à 10 de l’exercice 55 du manuel Al Moufid. Pour chaque fonction, on détermine le domaine, les limites, les variations, les branches infinies et les éléments nécessaires à la construction de la courbe.
Exercice 55 — Partie 2 Étude des fonctions 6 à 10
1. Domaine de définition.
Il faut \(x\gt0\) et \(\ln(2x)\ne0\). Or :
\[ \ln(2x)=0 \iff x=\frac12. \]Donc :
\[ D_f= ]0,\tfrac12[ \cup ]\tfrac12,+\infty[. \]2. Limites.
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln(2x)=0^-, \]d’où :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]Au voisinage de \(\dfrac12\) :
\[ \lim_{x\to\frac12^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\frac12^+}f(x)=+\infty. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]3. Variations.
Pour \(x\in D_f\) :
\[ f'(x) = -\frac{\ln(2x)+1} {x^2(\ln(2x))^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Ainsi :
\[ f'(x)=0 \iff \ln(2x)=-1 \iff x=\frac1{2e}. \]Le signe de \(f'(x)\) est l’opposé de celui de \(\ln(2x)+1\).
Sur \(]0,\dfrac1{2e}[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(-2e\).
En \(x=\dfrac1{2e}\), la fonction atteint son maximum : \[ f\left(\frac1{2e}\right)=-2e. \]
Sur \(]\dfrac1{2e},\dfrac12[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(-2e\) vers \(-\infty\).
Sur \(]\dfrac12,+\infty[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(0\).
4. Branches infinies.
Les droites \(x=0\) et \(x=\dfrac12\) sont des asymptotes verticales.
La droite \(y=0\) est une asymptote horizontale à \(+\infty\), approchée par valeurs positives.
La courbe C6 possède les asymptotes verticales x = 0 et x = 1/2, ainsi que l’asymptote horizontale y = 0. Sur la branche gauche, le maximum est M(1/(2e), -2e).
1. Domaine de définition.
\[ D_f=]1,+\infty[. \]Posons :
\[ t=x-1\gt0. \]Alors :
\[ f(x) = 1+\frac2t+\frac{2\ln t}{t^2}. \]2. Limites.
Lorsque \(x\to1^+\), c’est-à-dire \(t\to0^+\), on regroupe les deux termes qui donnent séparément une forme indéterminée :
\[ f(x) = 1+\frac2t+\frac{2\ln t}{t^2} = 1+\frac{2(t+\ln t)}{t^2}. \]Or :
\[ t+\ln t\longrightarrow-\infty \qquad\text{et}\qquad t^2\longrightarrow0^+. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(t\to+\infty\), et :
\[ \frac2t\longrightarrow0, \qquad \frac{2\ln t}{t^2}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]3. Variations.
En dérivant l’expression en \(t=x-1\) :
\[ f'(x) = \frac{2(1-t-2\ln t)}{t^3}. \]Posons :
\[ h(t)=1-t-2\ln t. \]Pour \(t\gt0\) :
\[ h'(t) = -1-\frac2t \lt0. \]La fonction \(h\) est strictement décroissante et :
\[ h(1)=0. \]Donc \(h(t)\gt0\) si \(0\lt t\lt1\), et \(h(t)\lt0\) si \(t\gt1\).
Sur \(]1,2[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(3\).
En \(x=2\), la fonction atteint son maximum : \[ f(2)=3. \]
Sur \(]2,+\infty[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(3\) vers \(1\).
La fonction admet un unique zéro \(r\) dans \(]1,2[\). Numériquement :
\[ r\simeq1{,}51963. \]4. Branches infinies.
La droite \(x=1\) est une asymptote verticale.
La droite \(y=1\) est une asymptote horizontale à \(+\infty\).
La courbe C7 possède l’asymptote verticale x = 1 et l’asymptote horizontale y = 1. Elle atteint son maximum M(2,3) et coupe l’axe des abscisses en r ≃ 1,51963.
1. Domaine de définition.
Pour \(x\gt0\), le quotient \(\dfrac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\) est strictement positif.
\[ D_f=]0,+\infty[. \]2. Limites.
Lorsque \(x\to0^+\), le quotient tend vers \(0^+\). Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac2{1+\frac1{\sqrt{x}}} \longrightarrow2. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln2. \]3. Variations.
On écrit :
\[ f(x) = \ln2+\frac12\ln x-\ln(1+\sqrt{x}). \]Alors :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac1{2x} - \frac1{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\\ &= \frac1{2x(1+\sqrt{x})}. \end{aligned} \]Donc :
\[ f'(x)\gt0. \]La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), de \(-\infty\) vers \(\ln2\).
L’intersection avec l’axe des abscisses est donnée par :
\[ f(x)=0 \iff \frac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=1 \iff x=1. \]4. Branches infinies.
La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
La droite \(y=\ln2\) est une asymptote horizontale à \(+\infty\). Comme le quotient est toujours strictement inférieur à \(2\), la courbe reste au-dessous de cette asymptote.
La courbe C8 est strictement croissante, admet l’asymptote verticale x = 0, coupe l’axe des abscisses en A(1,0) et s’approche par dessous de l’asymptote horizontale y = ln 2.
1. Domaine de définition.
Il faut \(x\gt0\) et :
\[ (x-1)\ln x\ge0. \]Pour \(0\lt x\lt1\), les deux facteurs sont négatifs. Pour \(x\gt1\), les deux facteurs sont positifs. En \(x=1\), le produit est nul. Donc :
\[ D_f=]0,+\infty[. \]2. Limites.
Lorsque \(x\to0^+\) :
\[ (x-1)\ln x\longrightarrow+\infty, \]donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ (x-1)\ln x\longrightarrow+\infty, \]donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\ne1\) :
\[ f'(x) = \frac{ \ln x+1-\frac1x }{ 2\sqrt{(x-1)\ln x} }. \]Le dénominateur est strictement positif. Posons :
\[ h(x)=\ln x+1-\frac1x. \]Alors :
\[ h'(x) = \frac{x+1}{x^2} \gt0. \]Comme \(h(1)=0\), on a \(h(x)\lt0\) pour \(0\lt x\lt1\) et \(h(x)\gt0\) pour \(x\gt1\).
Sur \(]0,1[\), \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(0\).
En \(x=1\), la fonction atteint son minimum : \[ f(1)=0. \]
Sur \(]1,+\infty[\), \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(+\infty\).
4. Dérivabilité en \(1\).
On a :
\[ \frac{(x-1)\ln x}{(x-1)^2} = \frac{\ln x}{x-1} \longrightarrow1. \]Donc :
\[ \frac{f(x)}{|x-1|} \longrightarrow1. \]Par conséquent :
\[ f'_g(1)=-1 \qquad\text{et}\qquad f'_d(1)=1. \]La fonction n’est pas dérivable en \(1\). La courbe possède en \(A(1,0)\) un point anguleux avec deux demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(1\).
5. Branches infinies.
La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
À \(+\infty\) :
\[ \frac{f(x)}x = \sqrt{ \frac{x-1}{x}\cdot\frac{\ln x}{x} } \longrightarrow0. \]La courbe possède donc une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
La courbe C9 possède l’asymptote verticale x = 0. Elle décroît jusqu’au point anguleux A(1,0), où les deux demi-tangentes ont pour pentes -1 et 1, puis elle croît vers +∞.
1. Domaine de définition.
\[ D_f= ]0,1[ \cup ]1,+\infty[. \]2. Limites.
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]Au voisinage de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\in D_f\) :
\[ f'(x) = \frac{(\ln x)^2-1} {x(\ln x)^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Ainsi :
\[ f'(x)=0 \iff \ln x=-1 \quad\text{ou}\quad \ln x=1. \]Donc les points critiques sont :
\[ x=\frac1e \qquad\text{et}\qquad x=e. \]Sur \(]0,\dfrac1e[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(-2\).
En \(x=\dfrac1e\), la fonction atteint un maximum : \[ f\left(\frac1e\right)=-2. \]
Sur \(]\dfrac1e,1[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(-2\) vers \(-\infty\).
Sur \(]1,e[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(2\).
En \(x=e\), la fonction atteint un minimum : \[ f(e)=2. \]
Sur \(]e,+\infty[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(2\) vers \(+\infty\).
L’équation \(f(x)=0\) équivaut à :
\[ (\ln x)^2+1=0. \]Elle n’admet aucune solution réelle. La fonction est négative sur \(]0,1[\) et positive sur \(]1,+\infty[\).
4. Branches infinies.
Les droites \(x=0\) et \(x=1\) sont des asymptotes verticales.
À \(+\infty\) :
\[ f(x)-\ln x = \frac1{\ln x} \longrightarrow0. \]La courbe se rapproche donc de la courbe \(y=\ln x\). Comme \(f(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x\to0\), elle possède une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
La courbe C10 possède les asymptotes verticales x = 0 et x = 1. Elle atteint un maximum M1(1/e,-2) sur la branche négative et un minimum M2(e,2) sur la branche positive. Elle ne coupe pas l’axe des abscisses.
Méthodes à retenir
- Le signe d’une dérivée peut être ramené à celui d’une expression logarithmique simple.
- La substitution \(t=x-1\) simplifie les expressions contenant \(\ln(x-1)\).
- Pour étudier une racine carrée, il faut d’abord résoudre rigoureusement la condition de positivité du radicand.
- Les dérivées unilatérales différentes caractérisent un point anguleux.
- La comparaison avec une courbe de référence comme \(y=\ln x\) précise le comportement à l’infini.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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