Correction des exercices 05 à 08 — Fonctions exponentielles
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces exercices permettent de consolider plusieurs propriétés fondamentales des fonctions exponentielle et logarithme népérien. Les premières questions portent sur la vérification d’identités : il faut alors transformer progressivement les expressions sans modifier leur valeur, jusqu’à obtenir la même écriture dans les deux membres. D’autres questions demandent de déterminer un domaine de définition ou d’étudier la parité d’une fonction. Dans ce cas, les conditions de définition et les propriétés générales doivent être examinées avant les calculs. Une attention particulière sera portée aux arguments des logarithmes, qui doivent être strictement positifs, ainsi qu’à la positivité de l’exponentielle. L’objectif est de choisir, pour chaque expression, la transformation la plus naturelle et de savoir interpréter le résultat obtenu.
Repère de cours — Propriétés utiles
Pour tous réels \(u\) et \(v\), l’exponentielle est strictement positive et vérifie notamment :
\[ e^{u+v}=e^u e^v, \qquad e^{-u}=\frac1{e^u}, \qquad \frac{e^u}{e^v}=e^{u-v}. \]Lorsque \(a\gt0\), les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques :
\[ e^{\ln a}=a. \]Pour tout réel \(x\) :
\[ \ln(e^x)=x. \]Enfin, avant d’utiliser les propriétés du logarithme d’un produit ou d’un quotient, il faut vérifier que les arguments concernés sont strictement positifs.
Exercice 05 — Vérification de deux identités
Énoncé. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ (e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x}) = (e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x \]et :
\[ \ln(e^{2x}+e^x+1) = 2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1). \]1) Montrer que :
\[ (e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x}) = (e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x. \]Méthode. Pour vérifier une identité, il n’est pas nécessaire de développer complètement les deux membres. On cherche plutôt une factorisation commune. Ici, le facteur \(1-e^{3x}\) apparaît naturellement si l’on met \(e^{-2x}\) en facteur dans \(e^{-2x}-e^x\).
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On commence par transformer le premier facteur du membre de gauche :
\[ e^{-2x}-e^x = e^{-2x}(1-e^{3x}). \]Donc :
\[ (e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x}) = e^{-2x}(1-e^{3x})(1+e^{3x}). \]On transforme maintenant le facteur du membre de droite contenant \(e^{-3x}+1\).
\[ (e^{-3x}+1)e^x = e^{-2x}+e^x. \]Or :
\[ e^{-2x}+e^x = e^{-2x}(1+e^{3x}). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} (e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x &= e^{-2x}(1+e^{3x})(1-e^{3x})\\ &= e^{-2x}(1-e^{3x})(1+e^{3x}). \end{aligned} \]Les deux membres ont donc été ramenés exactement à la même expression.
À retenir. Dans une identité comportant plusieurs exponentielles, une factorisation adaptée est souvent plus efficace qu’un développement complet.
2) Montrer que :
\[ \ln(e^{2x}+e^x+1) = 2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1). \]Méthode. Avant de séparer le logarithme d’un produit, on vérifie la positivité. On cherche ensuite à faire apparaître le facteur \(e^{2x}\) dans l’argument du logarithme.
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Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^{2x}+e^x+1\gt0 \]et :
\[ e^{-2x}+e^{-x}+1\gt0. \]Les logarithmes sont donc bien définis et les propriétés du logarithme peuvent être utilisées.
Mettons \(e^{2x}\) en facteur :
\[ e^{2x}+e^x+1 = e^{2x}(1+e^{-x}+e^{-2x}). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \ln(e^{2x}+e^x+1) &= \ln\left(e^{2x}(1+e^{-x}+e^{-2x})\right)\\ &= \ln(e^{2x})+\ln(1+e^{-x}+e^{-2x})\\ &= 2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1). \end{aligned} \]Interprétation. La factorisation par \(e^{2x}\) permet de faire sortir le terme \(2x\) du logarithme et de retrouver exactement le second membre.
Exercice 06 — Simplification de deux expressions
1) Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\) :
\[ e^{\ln(3x+1)} - \ln(5e^{3x}) - \ln\left(\frac15\right) = 1. \]2) Montrer que, pour tout \(t\in\mathbb R\) :
\[ \frac1{e^{-2t}+1} = \frac12 - \frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}. \]1) Simplifier l’expression contenant les logarithmes.
Méthode. On commence par vérifier que les arguments des logarithmes sont positifs. On utilise ensuite successivement la relation \(e^{\ln a}=a\), le logarithme d’un produit et le logarithme de l’inverse d’un nombre positif.
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Comme \(x\gt0\), on a \(3x+1\gt0\). Ainsi :
\[ e^{\ln(3x+1)}=3x+1. \]De plus :
\[ \begin{aligned} \ln(5e^{3x}) &= \ln5+\ln(e^{3x})\\ &= \ln5+3x. \end{aligned} \]Enfin :
\[ \ln\left(\frac15\right) = -\ln5. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} &e^{\ln(3x+1)} - \ln(5e^{3x}) - \ln\left(\frac15\right)\\ &= 3x+1-(\ln5+3x)-(-\ln5)\\ &= 1. \end{aligned} \]Interprétation. Les termes dépendant de \(x\) et les termes contenant \(\ln5\) se compensent exactement ; il reste donc la constante \(1\).
2) Montrer que :
\[ \frac1{e^{-2t}+1} = \frac12 - \frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}. \]Méthode. L’exposant négatif du premier membre peut être supprimé en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(e^{2t}\). Dans le second membre, une réduction au même dénominateur permet ensuite de retrouver exactement la même expression.
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Comme \(e^{2t}\gt0\), on a \(1+e^{2t}\gt0\).
Transformons le membre de gauche :
\[ \begin{aligned} \frac1{e^{-2t}+1} &= \frac{e^{2t}}{e^{2t}(e^{-2t}+1)}\\ &= \frac{e^{2t}}{1+e^{2t}}. \end{aligned} \]Transformons maintenant le membre de droite :
\[ \begin{aligned} \frac12-\frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})} &= \frac{1+e^{2t}}{2(1+e^{2t})} - \frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}\\ &= \frac{1+e^{2t}-1+e^{2t}} {2(1+e^{2t})}\\ &= \frac{2e^{2t}}{2(1+e^{2t})}\\ &= \frac{e^{2t}}{1+e^{2t}}. \end{aligned} \]Les deux membres sont donc égaux.
À retenir. Lorsqu’une expression contient \(e^{-u}\), la relation \(e^{-u}=\dfrac1{e^u}\) permet souvent de supprimer les exposants négatifs et de simplifier les quotients.
Exercice 07 — Domaine de définition et étude de la fonction
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x) = e^{-\ln(2x)} - \ln\left(\frac{2x+1}{e^{2x}}\right). \]1) Déterminer \(D\), le domaine de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est constante sur \(D\).
1) Déterminer \(D\), le domaine de définition de \(f\).
Méthode. Chaque logarithme impose une condition de stricte positivité. Le domaine de la fonction est l’intersection de toutes les conditions obtenues.
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Le terme \(\ln(2x)\) est défini lorsque :
\[ 2x\gt0 \iff x\gt0. \]Le second logarithme est défini lorsque :
\[ \frac{2x+1}{e^{2x}}\gt0. \]Or \(e^{2x}\gt0\) pour tout réel \(x\). Cette condition équivaut donc à :
\[ 2x+1\gt0 \iff x\gt-\frac12. \]Les deux conditions doivent être satisfaites simultanément. La condition la plus restrictive est \(x\gt0\).
2) Montrer que \(f\) est constante sur \(D\).
Méthode. Pour vérifier qu’une fonction est constante sur un intervalle, on peut simplifier son expression puis étudier sa dérivée. Si la dérivée n’est pas identiquement nulle, la fonction ne peut pas être constante.
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Pour tout \(x\in D\), on a :
\[ e^{-\ln(2x)} = \frac1{e^{\ln(2x)}} = \frac1{2x}. \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} \ln\left(\frac{2x+1}{e^{2x}}\right) &= \ln(2x+1)-\ln(e^{2x})\\ &= \ln(2x+1)-2x. \end{aligned} \]Donc :
\[ f(x) = \frac1{2x} - \ln(2x+1) + 2x. \]Calculons sa dérivée sur \(D\) :
\[ f'(x) = -\frac1{2x^2} - \frac2{2x+1} + 2. \]En particulier :
\[ f'(1) = -\frac12-\frac23+2 = \frac56. \]Ainsi :
\[ f'(1)\neq0. \]Attention. La conclusion demandée ne peut pas être obtenue avec l’expression donnée. En effet, le calcul précédent montre que \(f'(1)=\dfrac56\neq0\). La fonction \(f\) n’est donc pas constante sur son domaine de définition.
Interprétation. Une seule valeur de \(x\) pour laquelle \(f'(x)\neq0\) suffit à exclure la possibilité que \(f\) soit constante sur tout l’intervalle \(D\).
Exercice 08 — Parité de deux fonctions
Soit \(a\in\mathbb R^*\). On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac{e^{ax}-1}{e^{ax}+1} \]et :
\[ g(x)=\sqrt{e^{ax}}-e^{\frac a2}. \]Montrer que les fonctions \(f\) et \(g\) sont impaires.
1) Étudier la parité de \[ f(x)=\frac{e^{ax}-1}{e^{ax}+1}. \]
Méthode. Le domaine est \(\mathbb R\), donc il est symétrique par rapport à \(0\). Il suffit alors de calculer \(f(-x)\) et de comparer le résultat à \(f(x)\).
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Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(e^{ax}+1\gt0\). La fonction \(f\) est donc bien définie sur \(\mathbb R\).
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x) = \frac{e^{-ax}-1}{e^{-ax}+1}. \]Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(e^{ax}\gt0\) :
\[ \begin{aligned} f(-x) &= \frac{1-e^{ax}}{1+e^{ax}}\\ &= -\frac{e^{ax}-1}{e^{ax}+1}\\ &= -f(x). \end{aligned} \]Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ f(-x)=-f(x). \]Interprétation. Le changement de \(x\) en \(-x\) transforme exactement la valeur de la fonction en son opposé : c’est la définition d’une fonction impaire.
2) Étudier la parité de \[ g(x)=\sqrt{e^{ax}}-e^{\frac a2}. \]
Méthode. Une fonction impaire définie en \(0\) doit nécessairement vérifier \(g(0)=0\). Avant d’effectuer un calcul plus long de \(g(-x)\), cette condition permet donc de tester immédiatement la propriété demandée.
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D’après l’expression de \(g\) :
\[ g(x)=\sqrt{e^{ax}}-e^{\frac a2}. \]Pour \(x=0\) :
\[ \begin{aligned} g(0) &= \sqrt{e^0}-e^{\frac a2}\\ &= 1-e^{\frac a2}. \end{aligned} \]Or \(a\in\mathbb R^*\), donc \(a\neq0\). Comme l’exponentielle est strictement croissante :
\[ e^{\frac a2}\neq1. \]Par conséquent :
\[ g(0)\neq0. \]Attention. Toute fonction impaire définie en \(0\) vérifie nécessairement \(g(0)=0\). Cette condition n’est pas satisfaite par la fonction \(g\) donnée. La propriété demandée est donc incompatible avec cette expression.
À retenir. Pour une fonction définie en \(0\), le test \(f(0)=0\) est une condition nécessaire d’imparité. Il permet parfois de conclure immédiatement sans calculer complètement \(f(-x)\).
À retenir
Dans les exercices d’identités, la première étape consiste à reconnaître la structure des expressions : exposants opposés, facteur commun, quotient ou produit. Une bonne factorisation permet souvent de rapprocher les deux membres sans effectuer de développements inutiles.
Dès qu’un logarithme intervient, ses conditions de définition doivent être vérifiées avant d’appliquer ses propriétés. Pour déterminer un domaine de définition, toutes les conditions obtenues doivent être satisfaites simultanément.
Enfin, pour étudier la parité d’une fonction, on vérifie d’abord que son domaine est symétrique par rapport à \(0\), puis on compare \(f(-x)\) à \(f(x)\). Lorsqu’une fonction est définie en \(0\), une fonction impaire vérifie nécessairement \(f(0)=0\).
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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