Correction détaillée des exercices 5 à 8
Fonctions exponentielles — Identités et propriétés
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 5 Vérification de deux identités
Énoncé
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[
(e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x})
=
(e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x
\]
et :
\[
\ln(e^{2x}+e^x+1)
=
2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1).
\]
1
Première identité
Montrer que :
\[
(e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x})
=
(e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x.
\]
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Réponse détaillée
On commence par transformer le premier facteur du membre de gauche :
\[ e^{-2x}-e^x = e^{-2x}(1-e^{3x}). \]Donc :
\[ (e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x}) = e^{-2x}(1-e^{3x})(1+e^{3x}). \]D’autre part :
\[ (e^{-3x}+1)e^x = e^{-2x}+e^x. \]Or :
\[ e^{-2x}+e^x = e^{-2x}(1+e^{3x}). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} (e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x &= e^{-2x}(1+e^{3x})(1-e^{3x})\\ &= e^{-2x}(1-e^{3x})(1+e^{3x}). \end{aligned} \]Les deux membres sont donc égaux.
\[
\boxed{
(e^{-2x}-e^x)(1+e^{3x})
=
(e^{-3x}+1)(1-e^{3x})e^x
}
\]
2
Deuxième identité
Montrer que :
\[
\ln(e^{2x}+e^x+1)
=
2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1).
\]
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Réponse détaillée
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^{2x}+e^x+1>0 \]et :
\[ e^{-2x}+e^{-x}+1>0. \]On peut donc utiliser les propriétés du logarithme.
Mettons \(e^{2x}\) en facteur :
\[ e^{2x}+e^x+1 = e^{2x}(1+e^{-x}+e^{-2x}). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \ln(e^{2x}+e^x+1) &= \ln\left(e^{2x}(1+e^{-x}+e^{-2x})\right)\\ &= \ln(e^{2x})+\ln(1+e^{-x}+e^{-2x})\\ &= 2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1). \end{aligned} \]
\[
\boxed{
\ln(e^{2x}+e^x+1)
=
2x+\ln(e^{-2x}+e^{-x}+1)
}
\]
Exercice 6 Simplification de deux expressions
Énoncé
1) Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\) :
\[ e^{\ln(3x+1)} - \ln(5e^{3x}) - \ln\left(\frac15\right) = 1. \]2) Montrer que, pour tout \(t\in\mathbb R\) :
\[ \frac1{e^{-2t}+1} = \frac12 - \frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}. \]
1
Expression contenant trois logarithmes
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\) :
\[
e^{\ln(3x+1)}
-
\ln(5e^{3x})
-
\ln\left(\frac15\right)
=
1.
\]
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Réponse détaillée
Comme \(x>0\), on a \(3x+1>0\). Ainsi :
\[ e^{\ln(3x+1)}=3x+1. \]De plus :
\[ \ln(5e^{3x}) = \ln5+\ln(e^{3x}) = \ln5+3x. \]Enfin :
\[ \ln\left(\frac15\right) = -\ln5. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} &e^{\ln(3x+1)} - \ln(5e^{3x}) - \ln\left(\frac15\right)\\ &= 3x+1-(\ln5+3x)-(-\ln5)\\ &= 1. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
e^{\ln(3x+1)}
-
\ln(5e^{3x})
-
\ln\left(\frac15\right)
=
1
}
\]
2
Transformation d’un quotient
Montrer que, pour tout \(t\in\mathbb R\) :
\[
\frac1{e^{-2t}+1}
=
\frac12
-
\frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}.
\]
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Réponse détaillée
Comme \(e^{2t}>0\), on a \(1+e^{2t}>0\).
Transformons le membre de gauche :
\[ \begin{aligned} \frac1{e^{-2t}+1} &= \frac{e^{2t}}{e^{2t}(e^{-2t}+1)}\\ &= \frac{e^{2t}}{1+e^{2t}}. \end{aligned} \]Transformons maintenant le membre de droite :
\[ \begin{aligned} \frac12-\frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})} &= \frac{1+e^{2t}}{2(1+e^{2t})} - \frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}\\ &= \frac{1+e^{2t}-1+e^{2t}} {2(1+e^{2t})}\\ &= \frac{2e^{2t}}{2(1+e^{2t})}\\ &= \frac{e^{2t}}{1+e^{2t}}. \end{aligned} \]Les deux membres sont donc égaux.
\[
\boxed{
\frac1{e^{-2t}+1}
=
\frac12
-
\frac{1-e^{2t}}{2(1+e^{2t})}
}
\]
Exercice 7 Domaine de définition et vérification de la conclusion
Énoncé imprimé
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[
f(x)
=
e^{-\ln(2x)}
-
\ln\left(\frac{2x+1}{e^{2x}}\right).
\]
1) Déterminer \(D\), le domaine de définition de \(f\).
2) Montrer que \(f\) est constante sur \(D\).
1
Domaine de définition
Déterminer \(D\), le domaine de définition de \(f\).
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Réponse détaillée
Le terme \(\ln(2x)\) est défini lorsque :
\[ 2x>0 \iff x>0. \]Le second logarithme est défini lorsque :
\[ \frac{2x+1}{e^{2x}}>0. \]Or \(e^{2x}>0\) pour tout réel \(x\). Cette condition équivaut donc à :
\[ 2x+1>0 \iff x>-\frac12. \]En réunissant les deux conditions, on obtient :
\[ x>0. \]
\[
\boxed{D=\mathbb R_+^*=]0;+\infty[}
\]
2
Vérification de la constance demandée
Montrer que \(f\) est constante sur \(D\).
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Réponse détaillée
Pour tout \(x\in D\), on a :
\[ e^{-\ln(2x)} = \frac1{e^{\ln(2x)}} = \frac1{2x}. \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} \ln\left(\frac{2x+1}{e^{2x}}\right) &= \ln(2x+1)-\ln(e^{2x})\\ &= \ln(2x+1)-2x. \end{aligned} \]Donc :
\[ f(x) = \frac1{2x} - \ln(2x+1) + 2x. \]Calculons sa dérivée sur \(D\) :
\[ f'(x) = -\frac1{2x^2} - \frac2{2x+1} + 2. \]En particulier :
\[ f'(1) = -\frac12-\frac23+2 = \frac56. \]Ainsi :
\[ f'(1)\neq0. \]
Avec l’expression imprimée dans l’énoncé, la fonction \(f\)
n’est pas constante sur \(D\). La conclusion demandée dans
la question 2 est donc incompatible avec l’expression donnée.
Aucune modification certaine et univoque de l’énoncé ne peut
être déduite de la page ; l’expression est donc conservée telle
qu’elle est imprimée.
\[
\boxed{
\text{Avec l’expression imprimée, }f
\text{ n’est pas constante sur }D.
}
\]
Exercice 8 Parité de deux fonctions
Énoncé imprimé
Soit \(a\in\mathbb R^*\). On considère les fonctions \(f\) et \(g\)
définies sur \(\mathbb R\) par :
\[
f(x)=\frac{e^{ax}-1}{e^{ax}+1}
\]
et :
\[
g(x)=\sqrt{e^{ax}}-e^{\frac a2}.
\]
Montrer que les fonctions \(f\) et \(g\) sont impaires.
1
La fonction \(f\) est impaire
Montrer que :
\[
f(x)=\frac{e^{ax}-1}{e^{ax}+1}
\]
est une fonction impaire.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Réponse détaillée
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(e^{ax}+1>0\). La fonction \(f\) est donc bien définie sur \(\mathbb R\).
Calculons \(f(-x)\) :
\[ f(-x) = \frac{e^{-ax}-1}{e^{-ax}+1}. \]Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(e^{ax}>0\) :
\[ \begin{aligned} f(-x) &= \frac{1-e^{ax}}{1+e^{ax}}\\ &= -\frac{e^{ax}-1}{e^{ax}+1}\\ &= -f(x). \end{aligned} \]Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ f(-x)=-f(x). \]
\[
\boxed{f\text{ est impaire}}
\]
2
La fonction \(g\) est impaire
Montrer que \(g\) est impaire.
Correction locale de l’énoncé :
pour rendre la question cohérente avec la demande « montrer que \(g\) est impaire », l’expression corrigée est : \[ g(x)=\sqrt{e^{ax}}-e^{-\frac{ax}{2}} \]
pour rendre la question cohérente avec la demande « montrer que \(g\) est impaire », l’expression corrigée est : \[ g(x)=\sqrt{e^{ax}}-e^{-\frac{ax}{2}} \]
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Réponse détaillée
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^{ax}>0. \]De plus :
\[ e^{ax} = \left(e^{\frac{ax}{2}}\right)^2. \]Comme \(e^{\frac{ax}{2}}>0\), on obtient :
\[ \sqrt{e^{ax}} = e^{\frac{ax}{2}}. \]Ainsi :
\[ g(x) = e^{\frac{ax}{2}}-e^{-\frac{ax}{2}}. \]Calculons maintenant \(g(-x)\) :
\[ \begin{aligned} g(-x) &= e^{-\frac{ax}{2}}-e^{\frac{ax}{2}}\\ &= -\left(e^{\frac{ax}{2}}-e^{-\frac{ax}{2}}\right)\\ &= -g(x). \end{aligned} \]Donc, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ g(-x)=-g(x). \]
\[
\boxed{g\text{ est impaire}}
\]
Méthodes à retenir
- Pour vérifier une identité, on transforme séparément les deux membres jusqu’à obtenir la même expression.
- Avant d’utiliser une propriété du logarithme, il faut vérifier que chaque argument est strictement positif.
- Pour déterminer un domaine de définition, toutes les conditions doivent être réunies.
- Une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à \(0\) est impaire lorsque \(f(-x)=-f(x)\).
- Si une conclusion imprimée est incompatible avec l’expression donnée, il faut chercher d’abord une correction minimale, rigoureuse et univoque.
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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