Correction détaillée des exercices 33 à 37
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 33
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac12x^2-x+xe^{-x}. \]Question 1 — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(xe^{-x}\to0\). Par conséquent :
\[ f(x)=\frac12x^2-x+xe^{-x}\longrightarrow+\infty. \]Lorsque \(x\to-\infty\), posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ f(-t)=\frac12t^2+t-te^t =t\left(\frac t2+1-e^t\right). \]Comme \(e^t/t\to+\infty\), le terme \(-te^t\) domine les termes polynomiaux. Donc :
\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.} \]Question 2 — Dérivée
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f'(x)=(x-1)(1-e^{-x}). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=x-1+\left(xe^{-x}\right)'\\ &=x-1+e^{-x}-xe^{-x}\\ &=x-1-(x-1)e^{-x}\\ &=(x-1)(1-e^{-x}). \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{f'(x)=(x-1)(1-e^{-x}).} \]Question 3 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Le signe de \(1-e^{-x}\) est celui de \(x\) :
- si \(x\lt0\), alors \(1-e^{-x}\lt0\) ;
- si \(x=0\), alors \(1-e^{-x}=0\) ;
- si \(x>0\), alors \(1-e^{-x}>0\).
En combinant avec le signe de \(x-1\), on obtient :
- \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\) ;
- \(f'(x)\lt0\) sur \(]0;1[\) ;
- \(f'(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
Les valeurs particulières sont :
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=\frac1e-\frac12. \]Question 4 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthonormé.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La construction repose sur les résultats suivants :
- \(f(x)\to-\infty\) lorsque \(x\to-\infty\) ;
- \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\) ;
- \(O(0;0)\) est un maximum local avec une tangente horizontale ;
- \(M\left(1;\frac1e-\frac12\right)\) est un minimum local avec une tangente horizontale.
Allure de la courbe de l’exercice 33.
Exercice 34
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{1+x^2}}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1-a — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x),\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^x\to0\) et \(\sqrt{1+x^2}\to+\infty\). Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on écrit :
\[ f(x)=\frac{e^x}{x\sqrt{1+\frac1{x^2}}}. \]Comme \(e^x/x\to+\infty\), on obtient :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Enfin :
\[ \frac{f(x)}x =\frac{e^x}{x\sqrt{1+x^2}} =\frac{e^x}{x^2\sqrt{1+\frac1{x^2}}}. \]Or \(e^x/x^2\to+\infty\). Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty.} \]Question 1-b — Branches infinies
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Au voisinage de \(-\infty\), \(f(x)\to0\). La droite :
\[ \boxed{y=0} \]est donc une asymptote horizontale à \(\mathcal C\).
Au voisinage de \(+\infty\), on a \(f(x)\to+\infty\) et :
\[ \frac{f(x)}x\to+\infty. \]Question 2 — Dérivée
Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), puis calculer \(f'(x)\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(x\mapsto1+x^2\) est strictement positive sur \(\mathbb R\). Les fonctions intervenant dans l’expression de \(f\) sont donc dérivables sur \(\mathbb R\).
\[ \begin{aligned} f'(x) &=e^x(1+x^2)^{-1/2} -xe^x(1+x^2)^{-3/2}\\ &=\frac{e^x(1+x^2-x)}{(1+x^2)^{3/2}}\\ &=\frac{e^x(x^2-x+1)}{(1+x^2)^{3/2}}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{f'(x)=\frac{e^x(x^2-x+1)}{(1+x^2)^{3/2}}.} \]Question 3 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(e^x>0\) et \((1+x^2)^{3/2}>0\).
De plus :
\[ x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0. \]Par conséquent, \(f'(x)>0\) pour tout réel \(x\).
Question 4 — Tangente en 0
Écrire l’équation de la tangente \(\mathcal T\) à \(\mathcal C\) au point d’abscisse \(0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ f(0)=1 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=1. \]L’équation de la tangente en \(0\) est donc :
\[ y=f(0)+f'(0)(x-0). \]Question 5 — Représentation graphique
Tracer la tangente \(\mathcal T\) et la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La courbe est strictement croissante, passe par \(A(0;1)\), admet \(y=0\) comme asymptote au voisinage de \(-\infty\) et possède une branche parabolique de direction \((Oy)\) au voisinage de \(+\infty\).
Allure de la courbe de l’exercice 34 et de sa tangente en 0.
Exercice 35
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=(1+x)^{1/x}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1 — Domaine
Justifier que le domaine de définition de \(f\) est :
\[ D=]-1;0[\cup]0;+\infty[. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour définir une puissance réelle \((1+x)^{1/x}\), il faut :
\[ 1+x>0 \qquad\text{et}\qquad x\ne0. \]Ces conditions équivalent à \(x>-1\) et \(x\ne0\). Ainsi :
\[ \boxed{D=]-1;0[\cup]0;+\infty[.} \]Question 2-a — Limites aux bornes du domaine
Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in D\),
\[ f(x)=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}x\right). \]Lorsque \(x\to-1^+\), on a \(\ln(1+x)\to-\infty\) et \(x\to-1\), donc :
\[ \frac{\ln(1+x)}x\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to+\infty. \]Lorsque \(x\to0^-\) ou \(x\to0^+\),
\[ \frac{\ln(1+x)}x\to1, \]d’où :
\[ f(x)\to e. \]Enfin, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \frac{\ln(1+x)}x\to0, \]donc \(f(x)\to1\).
Question 2-b — Prolongements par continuité
La fonction \(f\) est-elle prolongeable par continuité en \(0\) ? En \(-1\) ?
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Les limites à gauche et à droite en \(0\) sont égales à \(e\). On peut donc prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant :
\[ \boxed{f(0)=e.} \]En revanche :
\[ \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty. \]Cette limite n’est pas finie. La fonction \(f\) n’est donc pas prolongeable par continuité en \(-1\).
Question 3 — Continuité sur le domaine
Justifier soigneusement la continuité de \(f\) en tout point de \(D\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Sur chacun des intervalles \(]-1;0[\) et \(]0;+\infty[\), les fonctions :
\[ x\longmapsto1+x,\qquad x\longmapsto\ln(1+x),\qquad x\longmapsto\frac1x \]sont continues. La fonction :
\[ x\longmapsto\frac{\ln(1+x)}x \]est donc continue sur chacun de ces intervalles. Comme la fonction exponentielle est continue sur \(\mathbb R\),
\[ f(x)=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}x\right) \]est continue en tout point de \(D\).
Question 4-a — Dérivabilité
Justifier que \(f\) est dérivable sur chacun des intervalles \(]-1;0[\) et \(]0;+\infty[\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction :
\[ u(x)=\frac{\ln(1+x)}x \]est dérivable sur chacun des intervalles \(]-1;0[\) et \(]0;+\infty[\). La fonction exponentielle étant dérivable, la composée :
\[ f(x)=e^{u(x)} \]est dérivable sur chacun de ces deux intervalles.
Question 4-b — Expression de la dérivée
Montrer que, pour tout \(x\in D\),
\[ f'(x)= \frac{(x+1)^{1/x}\,[x-(x+1)\ln(x+1)]} {x^2(x+1)}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(x)=\frac{\ln(1+x)}x. \]Alors :
\[ \begin{aligned} u'(x) &=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln(1+x)}{x^2}\\ &=\frac{x-(x+1)\ln(1+x)}{x^2(x+1)}. \end{aligned} \]Comme \(f(x)=e^{u(x)}=(1+x)^{1/x}\), on obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=f(x)u'(x)\\ &= \frac{(x+1)^{1/x}\,[x-(x+1)\ln(x+1)]} {x^2(x+1)}. \end{aligned} \]Question 4-c — Variations et courbe
Étudier les variations de \(f\), puis tracer sa courbe.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons, pour \(x>-1\),
\[ h(x)=x-(x+1)\ln(x+1). \]Alors :
\[ h'(x)=-\ln(x+1). \]La fonction \(h\) est croissante sur \(]-1;0]\), décroissante sur \([0;+\infty[\), et \(h(0)=0\). De plus, \(h(x)\lt0\) pour tout \(x\in]-1;0[\cup]0;+\infty[\).
Dans l’expression de \(f'(x)\), les autres facteurs sont strictement positifs sur \(D\). Par conséquent :
\[ f'(x)\lt0\qquad\text{pour tout }x\in D. \]La droite \(x=-1\) est une asymptote verticale et la droite \(y=1\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
Allure de la courbe de l’exercice 35 ; le point \((0;e)\) n’appartient pas à la courbe initiale.
Exercice 36
La résistance \(R\) d’une thermistance varie avec la température Kelvin \(T\) suivant la loi :
\[ R(T)=R_1\exp\left[a\left(\frac1T-\frac1{T_1}\right)\right]. \]On donne :
\[ a=4\times10^3\ \mathrm K,\qquad T_1=300\ \mathrm K,\qquad R_1=10^3\ \Omega. \]Question 1 — Coefficient de température
Déterminer le coefficient de température :
\[ k(T)=\frac1{R(T)}\frac{dR}{dT}(T), \]puis le calculer à \(300\,\mathrm K\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(T)=a\left(\frac1T-\frac1{T_1}\right). \]Alors :
\[ u'(T)=-\frac a{T^2}. \]Comme \(R(T)=R_1e^{u(T)}\),
\[ R'(T)=R(T)u'(T)=-\frac a{T^2}R(T). \]Par conséquent :
\[ \boxed{k(T)=-\frac a{T^2}.} \]À \(T=300\,\mathrm K\) :
\[ k(300) =-\frac{4000}{300^2} =-\frac2{45}\ \mathrm K^{-1} \approx-4{,}44\times10^{-2}\ \mathrm K^{-1}. \]Question 2 — Variation détectable
La résistance est mesurée avec une précision de \(0{,}1\%\). Quelle variation de température peut-on détecter au voisinage de \(300\,\mathrm K\) ?
On utilisera :
\[ \Delta T=\left|\frac1k\right|\frac{|\Delta R|}{R}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Une précision de \(0{,}1\%\) signifie :
\[ \frac{|\Delta R|}{R}=0{,}001. \]Au voisinage de \(300\,\mathrm K\),
\[ \left|\frac1{k(300)}\right| =\frac{300^2}{4000} =22{,}5\ \mathrm K. \]Ainsi :
\[ \Delta T=22{,}5\times0{,}001=0{,}0225\ \mathrm K. \]Exercice 37
On considère des constantes strictement positives \(E\), \(R\) et \(C\).
Question 1-a — Demi-tangente de \(u\)
Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ u(t)= \begin{cases} E\left(1-e^{-t/(RC)}\right),&t\ge0,\\ 0,&t\lt0. \end{cases} \]Déterminer l’équation de la demi-tangente à droite en \(0\) à la courbe \(\mathcal C_u\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a \(u(0)=0\). Pour \(t>0\),
\[ u'(t)=\frac E{RC}e^{-t/(RC)}. \]Donc :
\[ u'_d(0)=\frac E{RC}. \]Question 1-b — Intersection avec l’asymptote
Déterminer les coordonnées du point d’intersection \(A\) de cette demi-tangente et de l’asymptote horizontale à \(\mathcal C_u\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(t\to+\infty\),
\[ u(t)\to E. \]L’asymptote horizontale est donc \(y=E\). Son intersection avec la demi-tangente vérifie :
\[ \frac E{RC}t=E. \]Comme \(E>0\), on obtient \(t=RC\).
Question 2-a — Demi-tangente de \(i\)
Soit \(i\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ i(t)= \begin{cases} \dfrac ER\,e^{-t/(RC)},&t\ge0,\\ 0,&t\lt0. \end{cases} \]Donner l’équation de la demi-tangente à droite en \(0\) à la courbe \(\mathcal C_i\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ i(0)=\frac ER. \]Pour \(t>0\),
\[ i'(t) =-\frac E{R^2C}e^{-t/(RC)}. \]Donc :
\[ i'_d(0)=-\frac E{R^2C}. \]Question 2-b — Intersection avec l’axe des abscisses
Donner les coordonnées du point d’intersection \(B\) de cette demi-tangente et de l’axe des abscisses.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Sur l’axe des abscisses, \(y=0\). Il faut donc résoudre :
\[ \frac ER\left(1-\frac t{RC}\right)=0. \]Comme \(E/R>0\),
\[ 1-\frac t{RC}=0 \iff t=RC. \]Méthodes et repères utiles
- Pour les branches infinies, on étudie successivement la limite de la fonction puis, lorsque cela est utile, le quotient \(f(x)/x\).
- Pour une fonction puissance \(u(x)^{v(x)}\), on utilise l’écriture \(\exp(v(x)\ln u(x))\) lorsque \(u(x)>0\).
- Le coefficient relatif \(R'(T)/R(T)\) simplifie directement les modèles exponentiels.
- Une demi-tangente à droite en \(0\) utilise la dérivée à droite et la valeur de la fonction en \(0\).
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », exercices 33 à 37, page imprimée 228.
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