Correction détaillée des exercices 33 à 37
Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Objectifs et parcours de résolution
Ces cinq exercices du manuel Al Moufid relient l’étude des fonctions exponentielles à des modèles concrets. Les exercices 33 et 34 entraînent au calcul des limites, au signe de la dérivée et à la construction d’une courbe. L’exercice 35 transforme une puissance variable en une exponentielle de logarithme. Les deux derniers étudient une thermistance et un circuit électrique. Pour réussir ce groupe, il faut distinguer une limite, une valeur effectivement définie, une tangente et une estimation physique locale.
Rappels de cours utiles
Pour une fonction dérivable \(u\), \((e^u)'=u'e^u\). La règle du produit est \((uv)'=u'v+uv'\) ; une factorisation de la dérivée facilite ensuite son étude de signe.
Pour tout entier fixé \(m\ge0\), \(x^me^{-x}\to0\) lorsque \(x\to+\infty\). Une asymptote horizontale \(y=L\) correspond à une limite finie \(f(x)\to L\) à l’infini. Une asymptote verticale \(x=a\) correspond à une limite infinie en \(a\). Pour une droite oblique, vérifier \(f(x)-(ax+b)\to0\).
Si \(u(x)>0\), alors \(u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}\). La limite \(\ln(1+x)/x\to1\) en zéro permet un prolongement continu de \((1+x)^{1/x}\), mais le point ajouté n’appartient pas au domaine initial.
Une tangente en \(t_0\) a pour équation \(y=f(t_0)+f'(t_0)(t-t_0)\). Une demi-tangente à droite utilise le taux d’accroissement à droite. Dans un modèle physique, préciser le domaine \(T>0\), les unités et le caractère approché d’une relation entre petites variations.
Exercice 33
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac12x^2-x+xe^{-x}. \]Question 1 — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(xe^{-x}\to0\). Par conséquent :
\[ f(x)=\frac12x^2-x+xe^{-x}\longrightarrow+\infty. \]Lorsque \(x\to-\infty\), posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ f(-t)=\frac12t^2+t-te^t =t\left(\frac t2+1-e^t\right). \]On écrit plus précisément \(f(-t)=te^t\left(\frac{t}{2e^t}+e^{-t}-1\right)\). Le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(te^t\to+\infty\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.} \]Question 2 — Dérivée
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f'(x)=(x-1)(1-e^{-x}). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=x-1+\left(xe^{-x}\right)'\\ &=x-1+e^{-x}-xe^{-x}\\ &=x-1-(x-1)e^{-x}\\ &=(x-1)(1-e^{-x}). \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{f'(x)=(x-1)(1-e^{-x}).} \]Question 3 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Le signe de \(1-e^{-x}\) est celui de \(x\) :
- si \(x\lt0\), alors \(1-e^{-x}\lt0\) ;
- si \(x=0\), alors \(1-e^{-x}=0\) ;
- si \(x>0\), alors \(1-e^{-x}>0\).
En combinant avec le signe de \(x-1\), on obtient :
- \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty;0[\) ;
- \(f'(x)\lt0\) sur \(]0;1[\) ;
- \(f'(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
Les valeurs particulières sont :
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=\frac1e-\frac12. \]Question 4 — Représentation graphique
Tracer la courbe \(\mathcal C_f\) dans un repère orthonormé.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La construction repose sur les résultats suivants :
- \(f(x)\to-\infty\) lorsque \(x\to-\infty\) ;
- \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\) ;
- \(O(0;0)\) est un maximum local avec une tangente horizontale ;
- \(M\left(1;\frac1e-\frac12\right)\) est un minimum local avec une tangente horizontale.
Allure de la courbe de l’exercice 33.
Exercice 34
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{1+x^2}}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1-a — Limites
Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x),\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^x\to0\) et \(\sqrt{1+x^2}\to+\infty\). Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on écrit :
\[ f(x)=\frac{e^x}{x\sqrt{1+\frac1{x^2}}}. \]Comme \(e^x/x\to+\infty\), on obtient :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Enfin :
\[ \frac{f(x)}x =\frac{e^x}{x\sqrt{1+x^2}} =\frac{e^x}{x^2\sqrt{1+\frac1{x^2}}}. \]Or \(e^x/x^2\to+\infty\). Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty.} \]Question 1-b — Branches infinies
Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Au voisinage de \(-\infty\), \(f(x)\to0\). La droite :
\[ \boxed{y=0} \]est donc une asymptote horizontale à \(\mathcal C\).
Au voisinage de \(+\infty\), on a \(f(x)\to+\infty\) et :
\[ \frac{f(x)}x\to+\infty. \]Question 2 — Dérivée
Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), puis calculer \(f'(x)\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction \(x\mapsto1+x^2\) est strictement positive sur \(\mathbb R\). Les fonctions intervenant dans l’expression de \(f\) sont donc dérivables sur \(\mathbb R\).
\[ \begin{aligned} f'(x) &=e^x(1+x^2)^{-1/2} -xe^x(1+x^2)^{-3/2}\\ &=\frac{e^x(1+x^2-x)}{(1+x^2)^{3/2}}\\ &=\frac{e^x(x^2-x+1)}{(1+x^2)^{3/2}}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{f'(x)=\frac{e^x(x^2-x+1)}{(1+x^2)^{3/2}}.} \]Question 3 — Variations
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\), \(e^x>0\) et \((1+x^2)^{3/2}>0\).
De plus :
\[ x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0. \]Par conséquent, \(f'(x)>0\) pour tout réel \(x\).
Question 4 — Tangente en 0
Écrire l’équation de la tangente \(\mathcal T\) à \(\mathcal C\) au point d’abscisse \(0\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ f(0)=1 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=1. \]L’équation de la tangente en \(0\) est donc :
\[ y=f(0)+f'(0)(x-0). \]Question 5 — Représentation graphique
Tracer la tangente \(\mathcal T\) et la courbe \(\mathcal C\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La courbe est strictement croissante, passe par \(A(0;1)\), admet \(y=0\) comme asymptote au voisinage de \(-\infty\) et possède une branche parabolique de direction \((Oy)\) au voisinage de \(+\infty\).
Allure de la courbe de l’exercice 34 et de sa tangente en 0.
Exercice 35
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=(1+x)^{1/x}. \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Question 1 — Domaine
Justifier que le domaine de définition de \(f\) est :
\[ D=]-1;0[\cup]0;+\infty[. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour définir une puissance réelle \((1+x)^{1/x}\), il faut :
\[ 1+x>0 \qquad\text{et}\qquad x\ne0. \]Ces conditions équivalent à \(x>-1\) et \(x\ne0\). Ainsi :
\[ \boxed{D=]-1;0[\cup]0;+\infty[.} \]Question 2-a — Limites aux bornes du domaine
Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in D\),
\[ f(x)=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}x\right). \]Lorsque \(x\to-1^+\), on a \(\ln(1+x)\to-\infty\) et \(x\to-1\), donc :
\[ \frac{\ln(1+x)}x\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to+\infty. \]Lorsque \(x\to0^-\) ou \(x\to0^+\),
\[ \frac{\ln(1+x)}x\to1, \]d’où :
\[ f(x)\to e. \]Enfin, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \frac{\ln(1+x)}x\to0, \]donc \(f(x)\to1\).
Question 2-b — Prolongements par continuité
La fonction \(f\) est-elle prolongeable par continuité en \(0\) ? En \(-1\) ?
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Les limites à gauche et à droite en \(0\) sont égales à \(e\). On peut donc prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant :
\[ \boxed{f(0)=e.} \]En revanche :
\[ \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty. \]Cette limite n’est pas finie. La fonction \(f\) n’est donc pas prolongeable par continuité en \(-1\).
Question 3 — Continuité sur le domaine
Justifier soigneusement la continuité de \(f\) en tout point de \(D\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Sur chacun des intervalles \(]-1;0[\) et \(]0;+\infty[\), les fonctions :
\[ x\longmapsto1+x,\qquad x\longmapsto\ln(1+x),\qquad x\longmapsto\frac1x \]sont continues. La fonction :
\[ x\longmapsto\frac{\ln(1+x)}x \]est donc continue sur chacun de ces intervalles. Comme la fonction exponentielle est continue sur \(\mathbb R\),
\[ f(x)=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}x\right) \]est continue en tout point de \(D\).
Question 4-a — Dérivabilité
Justifier que \(f\) est dérivable sur chacun des intervalles \(]-1;0[\) et \(]0;+\infty[\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction :
\[ u(x)=\frac{\ln(1+x)}x \]est dérivable sur chacun des intervalles \(]-1;0[\) et \(]0;+\infty[\). La fonction exponentielle étant dérivable, la composée :
\[ f(x)=e^{u(x)} \]est dérivable sur chacun de ces deux intervalles.
Question 4-b — Expression de la dérivée
Montrer que, pour tout \(x\in D\),
\[ f'(x)= \frac{(x+1)^{1/x}\,[x-(x+1)\ln(x+1)]} {x^2(x+1)}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(x)=\frac{\ln(1+x)}x. \]Alors :
\[ \begin{aligned} u'(x) &=\frac{\frac{x}{x+1}-\ln(1+x)}{x^2}\\ &=\frac{x-(x+1)\ln(1+x)}{x^2(x+1)}. \end{aligned} \]Comme \(f(x)=e^{u(x)}=(1+x)^{1/x}\), on obtient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=f(x)u'(x)\\ &= \frac{(x+1)^{1/x}\,[x-(x+1)\ln(x+1)]} {x^2(x+1)}. \end{aligned} \]Question 4-c — Variations et courbe
Étudier les variations de \(f\), puis tracer sa courbe.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons, pour \(x>-1\),
\[ h(x)=x-(x+1)\ln(x+1). \]Alors :
\[ h'(x)=-\ln(x+1). \]La fonction \(h\) est croissante sur \(]-1;0]\), décroissante sur \([0;+\infty[\), et \(h(0)=0\). De plus, \(h(x)\lt0\) pour tout \(x\in]-1;0[\cup]0;+\infty[\).
Dans l’expression de \(f'(x)\), les autres facteurs sont strictement positifs sur \(D\). Par conséquent :
\[ f'(x)\lt0\qquad\text{pour tout }x\in D. \]La droite \(x=-1\) est une asymptote verticale et la droite \(y=1\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).
Allure de la courbe de l’exercice 35 ; le point \((0;e)\) n’appartient pas à la courbe initiale.
Exercice 36
La résistance \(R\) d’une thermistance varie avec la température Kelvin \(T\) suivant la loi :
\[ R(T)=R_1\exp\left[a\left(\frac1T-\frac1{T_1}\right)\right]. \]On donne :
\[ a=4\times10^3\ \mathrm K,\qquad T_1=300\ \mathrm K,\qquad R_1=10^3\ \Omega. \]Question 1 — Coefficient de température
Déterminer le coefficient de température :
\[ k(T)=\frac1{R(T)}\frac{dR}{dT}(T), \]puis le calculer à \(300\,\mathrm K\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(T)=a\left(\frac1T-\frac1{T_1}\right). \]Alors :
\[ u'(T)=-\frac a{T^2}. \]Comme \(R(T)=R_1e^{u(T)}\),
\[ R'(T)=R(T)u'(T)=-\frac a{T^2}R(T). \]Par conséquent :
\[ \boxed{k(T)=-\frac a{T^2}.} \]À \(T=300\,\mathrm K\) :
\[ k(300) =-\frac{4000}{300^2} =-\frac2{45}\ \mathrm K^{-1} \approx-4{,}44\times10^{-2}\ \mathrm K^{-1}. \]Question 2 — Variation détectable
La résistance est mesurée avec une précision de \(0{,}1\%\). Quelle variation de température peut-on détecter au voisinage de \(300\,\mathrm K\) ?
On utilisera :
\[ \Delta T=\left|\frac1k\right|\frac{|\Delta R|}{R}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Une précision de \(0{,}1\%\) signifie :
\[ \frac{|\Delta R|}{R}=0{,}001. \]Au voisinage de \(300\,\mathrm K\),
\[ \left|\frac1{k(300)}\right| =\frac{300^2}{4000} =22{,}5\ \mathrm K. \]Ainsi :
\[ \Delta T=22{,}5\times0{,}001=0{,}0225\ \mathrm K. \]Exercice 37
On considère des constantes strictement positives \(E\), \(R\) et \(C\).
Question 1-a — Demi-tangente de \(u\)
Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ u(t)= \begin{cases} E\left(1-e^{-t/(RC)}\right),&t\ge0,\\ 0,&t\lt0. \end{cases} \]Déterminer l’équation de la demi-tangente à droite en \(0\) à la courbe \(\mathcal C_u\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a \(u(0)=0\). Pour \(t>0\),
\[ u'(t)=\frac E{RC}e^{-t/(RC)}. \]Donc :
\[ u'_d(0)=\frac E{RC}. \]Question 1-b — Intersection avec l’asymptote
Déterminer les coordonnées du point d’intersection \(A\) de cette demi-tangente et de l’asymptote horizontale à \(\mathcal C_u\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Lorsque \(t\to+\infty\),
\[ u(t)\to E. \]L’asymptote horizontale est donc \(y=E\). Son intersection avec la demi-tangente vérifie :
\[ \frac E{RC}t=E. \]Comme \(E>0\), on obtient \(t=RC\).
Question 2-a — Demi-tangente de \(i\)
Soit \(i\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ i(t)= \begin{cases} \dfrac ER\,e^{-t/(RC)},&t\ge0,\\ 0,&t\lt0. \end{cases} \]Donner l’équation de la demi-tangente à droite en \(0\) à la courbe \(\mathcal C_i\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On a :
\[ i(0)=\frac ER. \]Pour \(t>0\),
\[ i'(t) =-\frac E{R^2C}e^{-t/(RC)}. \]Donc :
\[ i'_d(0)=-\frac E{R^2C}. \]Question 2-b — Intersection avec l’axe des abscisses
Donner les coordonnées du point d’intersection \(B\) de cette demi-tangente et de l’axe des abscisses.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Sur l’axe des abscisses, \(y=0\). Il faut donc résoudre :
\[ \frac ER\left(1-\frac t{RC}\right)=0. \]Comme \(E/R>0\),
\[ 1-\frac t{RC}=0 \iff t=RC. \]Méthodes et repères utiles
- Pour les branches infinies, on étudie successivement la limite de la fonction puis, lorsque cela est utile, le quotient \(f(x)/x\).
- Pour une fonction puissance \(u(x)^{v(x)}\), on utilise l’écriture \(\exp(v(x)\ln u(x))\) lorsque \(u(x)>0\).
- Le coefficient relatif \(R'(T)/R(T)\) simplifie directement les modèles exponentiels.
- Une demi-tangente à droite en \(0\) utilise la dérivée à droite et la valeur de la fonction en \(0\).
Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », exercices 33 à 37, page 228.
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