Correction détaillée des exercices 74 à 78 - Limites et continuité - Manuel Al Moufid

Correction détaillée des exercices 74 à 78

Exercices de perfectionnement - Limites et continuité - Manuel Al Moufid

Chaque énoncé reste visible et sa correction détaillée peut être affichée séparément.

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Exercice 74

Question 1

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0;1]\) telles que :

\[ \bigl(f(0)-g(0)\bigr)\bigl(f(1)-g(1)\bigr)\leq 0. \]

Montrer qu'il existe \(c\in[0;1]\) tel que \(f(c)=g(c)\).

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Considérons la fonction \(h\) définie sur \([0;1]\) par :

\[ h(x)=f(x)-g(x). \]

Les fonctions \(f\) et \(g\) étant continues sur \([0;1]\), la fonction \(h=f-g\) est continue sur cet intervalle.

L'hypothèse s'écrit :

\[ h(0)h(1)\leq 0. \]

Si \(h(0)=0\), on choisit \(c=0\). Si \(h(1)=0\), on choisit \(c=1\).

Dans le cas restant, \(h(0)\) et \(h(1)\) sont de signes contraires. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe alors \(c\in]0;1[\) tel que :

\[ h(c)=0. \]

Ainsi, il existe \(c\in[0;1]\) tel que \(\boxed{f(c)=g(c)}\).

Question 2

On suppose dans cette question que :

\[ f(0)=g(1)=0 \qquad\text{et}\qquad f(1)=g(0)=1. \]

Montrer que :

\[ (\forall\lambda\in\mathbb R_+^*)\;(\exists\alpha\in[0;1])\qquad f(\alpha)=\lambda g(\alpha). \]

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Soit \(\lambda\in\mathbb R_+^*\), donc \(\lambda>0\). Considérons la fonction :

\[ h_\lambda(x)=f(x)-\lambda g(x). \]

La fonction \(h_\lambda\) est continue sur \([0;1]\). De plus :

\[ h_\lambda(0)=f(0)-\lambda g(0)=0-\lambda=-\lambda<0, \] et \[ h_\lambda(1)=f(1)-\lambda g(1)=1-0=1>0. \]

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(\alpha\in]0;1[\) tel que :

\[ h_\lambda(\alpha)=0. \]

Pour tout \(\lambda\in\mathbb R_+^*\), il existe \(\alpha\in[0;1]\) tel que \(\boxed{f(\alpha)=\lambda g(\alpha)}\).

Exercice 75

Question unique

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\), et soient \(p\) et \(q\) deux réels strictement positifs.

Montrer qu'il existe un réel \(c\in[a;b]\) tel que :

\[ pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c). \]

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Posons :

\[ L=\frac{pf(a)+qf(b)}{p+q}. \]

Comme \(p>0\), \(q>0\) et \(p+q>0\), le nombre \(L\) est une moyenne pondérée de \(f(a)\) et \(f(b)\).

Supposons, par exemple, que \(f(a)\leq f(b)\). Alors :

\[ L-f(a)=\frac{q\bigl(f(b)-f(a)\bigr)}{p+q}\geq0, \] et \[ f(b)-L=\frac{p\bigl(f(b)-f(a)\bigr)}{p+q}\geq0. \]

Donc :

\[ f(a)\leq L\leq f(b). \]

Si \(f(b)\leq f(a)\), on obtient de même \(f(b)\leq L\leq f(a)\). Dans tous les cas, \(L\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

La fonction \(f\) étant continue sur \([a;b]\), le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence de \(c\in[a;b]\) tel que :

\[ f(c)=L=\frac{pf(a)+qf(b)}{p+q}. \]

En multipliant par \(p+q\), on obtient :

\(\boxed{pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c)}\).

Exercice 76

Question unique

Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \(\mathbb R\) telle que :

\[ (\exists a\in\mathbb R)\qquad (f\circ f)(a)=a. \]

Montrer que :

\[ (\exists c\in\mathbb R)\qquad f(c)=c. \]

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Il existe \(a\in\mathbb R\) tel que :

\[ f(f(a))=a. \]

Posons \(b=f(a)\). On a alors :

\[ f(a)=b \qquad\text{et}\qquad f(b)=a. \]

Considérons la fonction continue \(h\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ h(x)=f(x)-x. \]

On obtient :

\[ h(a)=b-a \qquad\text{et}\qquad h(b)=a-b=-h(a). \]

Si \(a=b\), alors \(f(a)=a\), et le résultat est immédiat.

Si \(a\ne b\), les nombres \(h(a)\) et \(h(b)\) sont de signes contraires. La fonction \(h\) étant continue sur le segment d'extrémités \(a\) et \(b\), le théorème des valeurs intermédiaires donne un réel \(c\) situé entre \(a\) et \(b\) tel que :

\[ h(c)=0. \]

Il existe donc \(c\in\mathbb R\) tel que \(\boxed{f(c)=c}\).

Exercice 77

Question unique

Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\). On suppose que \(f\) ne s'annule pas sur \(I\).

Montrer que \(f\) garde un signe constant sur \(I\).

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Raisonnons par l'absurde. Supposons que \(f\) ne garde pas un signe constant sur \(I\).

Puisque \(f\) ne s'annule pas, il existerait alors deux réels \(x_1,x_2\in I\) tels que, par exemple :

\[ f(x_1)<0 \qquad\text{et}\qquad f(x_2)>0. \]

L'ensemble \(I\) étant un intervalle, le segment d'extrémités \(x_1\) et \(x_2\) est inclus dans \(I\). La fonction \(f\) est donc continue sur ce segment.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(c\) situé entre \(x_1\) et \(x_2\) tel que :

\[ f(c)=0. \]

Cela contredit l'hypothèse selon laquelle \(f\) ne s'annule pas sur \(I\).

Ainsi, ou bien \(f(x)>0\) pour tout \(x\in I\), ou bien \(f(x)<0\) pour tout \(x\in I\). La fonction \(f\) garde donc un signe constant sur \(I\).

Exercice 78

Question 1

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies de \([0;1]\) dans \([0;1]\), continues sur \([0;1]\), et telles que :

\[ f\circ g=g\circ f. \]

Montrer que si un réel \(a\) est solution de l'équation \(f(x)=x\), alors \(g(a)\) est aussi solution de cette équation.

Correction typographique : dans le manuel, l'expression « solution de cette solution » doit se lire « solution de cette équation ».

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Supposons que \(a\in[0;1]\) soit une solution de l'équation \(f(x)=x\). On a donc :

\[ f(a)=a. \]

Comme \(f\circ g=g\circ f\), on obtient :

\[ f(g(a))=g(f(a)). \]

Or \(f(a)=a\), donc :

\[ f(g(a))=g(a). \]

De plus, \(g(a)\in[0;1]\), puisque \(g\) est définie de \([0;1]\) dans \([0;1]\).

Ainsi, \(\boxed{g(a)}\) est aussi une solution de l'équation \(f(x)=x\).

Question 2

Montrer qu'il existe un réel \(a\in[0;1]\) tel que :

\[ f(a)=g(a). \]

On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

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Commençons par montrer que \(f\) possède au moins un point invariant dans \([0;1]\).

Considérons la fonction :

\[ \varphi(x)=f(x)-x. \]

Elle est continue sur \([0;1]\). Comme \(f([0;1])\subset[0;1]\), on a :

\[ \varphi(0)=f(0)\geq0 \qquad\text{et}\qquad \varphi(1)=f(1)-1\leq0. \]

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'ensemble :

\[ F=\{x\in[0;1]\mid f(x)=x\} \]

est non vide. Il est fermé dans le segment \([0;1]\), car \(F=\varphi^{-1}(\{0\})\). Il admet donc un plus petit élément \(m\) et un plus grand élément \(M\).

Raisonnons maintenant par l'absurde et supposons que :

\[ (\forall x\in[0;1])\qquad f(x)\ne g(x). \]

La fonction \(f-g\) est continue et ne s'annule pas sur \([0;1]\). D'après l'exercice 77, elle garde un signe constant.

Premier cas : pour tout \(x\in[0;1]\), \(f(x)>g(x)\).

Comme \(m\in F\), on a \(f(m)=m\). D'après la question 1, \(g(m)\in F\). Mais :

\[ m=f(m)>g(m), \]

ce qui contredit le fait que \(m\) est le plus petit élément de \(F\).

Deuxième cas : pour tout \(x\in[0;1]\), \(f(x)<g(x)\).

Comme \(M\in F\), on a \(f(M)=M\). D'après la question 1, \(g(M)\in F\). Mais :

\[ M=f(M)<g(M), \]

ce qui contredit le fait que \(M\) est le plus grand élément de \(F\).

Les deux cas conduisent à une contradiction. L'hypothèse selon laquelle \(f(x)\ne g(x)\) pour tout \(x\in[0;1]\) est donc fausse.

Il existe au moins un réel \(a\in[0;1]\) tel que \(\boxed{f(a)=g(a)}\).

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