Correction détaillée des exercices 79 à 82
Exercices de perfectionnement - Limites et continuité - Manuel Al Moufid
Exercice 79
Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \([a;b]\), et soient \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) des éléments distincts de \([a;b]\).
Montrer qu'il existe un réel \(c\in[a;b]\) tel que :
\[ f(c)=\frac1n\sum_{k=1}^{n}f(x_k). \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ A=\frac1n\sum_{k=1}^{n}f(x_k). \]Parmi les nombres \(f(x_1),\ldots,f(x_n)\), notons :
\[ m=\min_{1\leq k\leq n}f(x_k) \qquad\text{et}\qquad M=\max_{1\leq k\leq n}f(x_k). \]Pour tout \(k\in\{1,\ldots,n\}\), on a \(m\leq f(x_k)\leq M\). En additionnant ces inégalités, puis en divisant par \(n>0\), il vient :
\[ m\leq A\leq M. \]Il existe donc deux indices \(p,q\in\{1,\ldots,n\}\) tels que :
\[ f(x_p)=m \qquad\text{et}\qquad f(x_q)=M. \]Le nombre \(A\) est compris entre \(f(x_p)\) et \(f(x_q)\). Comme \(f\) est continue sur \([a;b]\), elle est continue sur le segment dont les extrémités sont \(x_p\) et \(x_q\).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(c\) situé entre \(x_p\) et \(x_q\), donc appartenant à \([a;b]\), tel que :
\[ f(c)=A. \]Exercice 80
Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \(\mathbb R\) telle que :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=a, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=b \qquad\text{et}\qquad ab<0. \]Montrer que :
\[ (\exists(x_0,y_0)\in\mathbb R^2)\qquad f(x_0)f(y_0)<0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
L'inégalité \(ab<0\) signifie que \(a\) et \(b\) sont non nuls et de signes contraires.
Supposons, par exemple, que \(a>0\) et \(b<0\).
Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=a>0\), il existe un réel \(x_0\) suffisamment grand tel que :
\[ f(x_0)>0. \]En effet, on peut utiliser dans la définition de la limite le nombre \(\varepsilon=\dfrac a2>0\), ce qui donne, pour \(x\) suffisamment grand :
\[ |f(x)-a|<\frac a2 \quad\Longrightarrow\quad f(x)>\frac a2>0. \]De même, comme \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=b<0\), il existe un réel \(y_0\) suffisamment petit tel que :
\[ f(y_0)<0. \]On obtient alors :
\[ f(x_0)f(y_0)<0. \]Lorsque \(a<0<b\), le même raisonnement donne deux valeurs de signes opposés en échangeant les rôles des signes.
En déduire que l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(\mathbb R\).
Lire la correction +Masquer la correction −
D'après la question précédente, il existe deux réels \(x_0\) et \(y_0\) tels que :
\[ f(x_0)f(y_0)<0. \]Ainsi, \(f(x_0)\) et \(f(y_0)\) sont de signes contraires. La fonction \(f\) étant continue sur \(\mathbb R\), elle est continue sur le segment dont les extrémités sont \(x_0\) et \(y_0\).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(c\) situé entre \(x_0\) et \(y_0\) tel que :
\[ f(c)=0. \]Exercice 81
Soit \(P\) une fonction polynomiale de degré impair.
Montrer que l'équation \(P(x)=0\) admet au moins une solution réelle.
Lire la correction +Masquer la correction −
Notons \(2p+1\) le degré impair de \(P\), et \(a\ne0\) son coefficient dominant. On peut écrire :
\[ P(x)=a x^{2p+1}+\text{termes de degrés inférieurs}. \]Au voisinage de l'infini, le terme dominant \(a x^{2p+1}\) détermine le comportement de \(P\).
Si \(a>0\), alors :
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=-\infty. \]Si \(a<0\), les deux limites sont inversées :
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=+\infty. \]Dans tous les cas, \(P\) prend des valeurs de signes contraires pour deux réels suffisamment éloignés.
Or toute fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb R\). Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l'existence d'un réel \(c\) tel que :
\[ P(c)=0. \]Exercice 82
Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \([0;1]\) telle que \(f(0)=f(1)\).
Pour tout entier \(n\geq2\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\left[0;1-\dfrac1n\right]\) par :
\[ f_n(x)=f\left(x+\frac1n\right)-f(x). \]Calculer :
\[ \sum_{k=0}^{n-1}f_n\left(\frac{k}{n}\right). \]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour tout \(k\in\{0,1,\ldots,n-1\}\), on a :
\[ f_n\left(\frac{k}{n}\right) =f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1}f_n\left(\frac{k}{n}\right) &=\sum_{k=0}^{n-1} \left[f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right]\\ &=\left(f\left(\frac1n\right)-f(0)\right) +\left(f\left(\frac2n\right)-f\left(\frac1n\right)\right)+\cdots\\ &\quad+\left(f(1)-f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right). \end{aligned} \]La somme est télescopique, donc tous les termes intermédiaires se simplifient :
\[ \sum_{k=0}^{n-1}f_n\left(\frac{k}{n}\right)=f(1)-f(0). \]Or \(f(0)=f(1)\). Ainsi :
Montrer que :
\[ (\exists x_0\in[0;1[)\qquad f(x_0)=f\left(x_0+\frac1n\right). \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f_n\) est continue sur \(\left[0;1-\dfrac1n\right]\), car elle est la différence de deux fonctions continues.
D'après la question précédente :
\[ \sum_{k=0}^{n-1}f_n\left(\frac{k}{n}\right)=0. \]Deux cas sont possibles.
Premier cas : il existe \(k\in\{0,\ldots,n-1\}\) tel que :
\[ f_n\left(\frac{k}{n}\right)=0. \]On choisit alors \(x_0=\dfrac{k}{n}\).
Deuxième cas : aucun des nombres \(f_n\left(\dfrac{k}{n}\right)\) n'est nul.
Ils ne peuvent pas être tous strictement positifs, car leur somme serait strictement positive. Ils ne peuvent pas non plus être tous strictement négatifs, car leur somme serait strictement négative.
Il existe donc deux indices \(p,q\in\{0,\ldots,n-1\}\) tels que :
\[ f_n\left(\frac{p}{n}\right)<0 \qquad\text{et}\qquad f_n\left(\frac{q}{n}\right)>0. \]La fonction \(f_n\) étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires donne un réel \(x_0\) situé entre \(\dfrac pn\) et \(\dfrac qn\) tel que :
\[ f_n(x_0)=0. \]Dans les deux cas, on obtient un réel \(x_0\in\left[0;1-\dfrac1n\right]\subset[0;1[\) vérifiant :
\[ f\left(x_0+\frac1n\right)-f(x_0)=0. \]
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