Correction détaillée des exercices 83 à 87
Exercices de perfectionnement - Limites et continuité - Manuel Al Moufid
Exercice 83
Soit \(f\) une fonction continue et strictement positive sur \(\mathbb R^+\) telle que :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}<1. \]Montrer que l'équation \(f(x)=x\) admet au moins une solution dans \(\mathbb R_+^*\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons, pour tout \(x\in\mathbb R^+\) :
\[ g(x)=f(x)-x. \]La fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb R^+\).
Comme \(f\) est strictement positive sur \(\mathbb R^+\), on a :
\[ g(0)=f(0)>0. \]Notons :
\[ \ell=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad \ell<1. \]Choisissons un réel \(q\) tel que \(\ell<q<1\). D'après la définition de la limite, il existe un réel \(A>0\) tel que, pour tout \(x\geq A\) :
\[ \frac{f(x)}{x}<q. \]En particulier :
\[ f(A)<qA<A, \]donc :
\[ g(A)=f(A)-A<0. \]Ainsi, \(g(0)>0\) et \(g(A)<0\). Comme \(g\) est continue sur le segment \([0;A]\), le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un réel \(c\in]0;A[\) tel que :
\[ g(c)=0. \]Exercice 84
Soit \(n\in\mathbb N^*\setminus\{1\}\). On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=x^{n+1}-2x^n+1. \]Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur l'intervalle :
\[ \left[0;\frac{2n}{n+1}\right]. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &=(n+1)x^n-2n x^{n-1}\\ &=x^{n-1}\big((n+1)x-2n\big). \end{aligned} \]Pour tout \(x\in\left]0;\dfrac{2n}{n+1}\right[\), on a :
\[ x^{n-1}>0 \qquad\text{et}\qquad (n+1)x-2n<0. \]Par conséquent :
\[ f'(x)<0 \qquad\text{sur}\qquad \left]0;\frac{2n}{n+1}\right[. \]En déduire que :
\[ f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(n\in\mathbb N^*\setminus\{1\}\), on a \(n\geq2\), donc :
\[ 1<\frac{2n}{n+1}. \]La fonction \(f\) étant strictement décroissante sur \(\left[0;\dfrac{2n}{n+1}\right]\), il vient :
\[ f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<f(1). \]Or :
\[ f(1)=1-2+1=0. \]Montrer qu'il existe au moins un réel :
\[ \alpha\in\left]\frac{2n}{n+1};2\right[ \]tel que \(f(\alpha)=0\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f\) est polynomiale, donc continue sur \(\mathbb R\), en particulier sur :
\[ \left[\frac{2n}{n+1};2\right]. \]D'après la question précédente :
\[ f\left(\frac{2n}{n+1}\right)<0. \]D'autre part :
\[ f(2)=2^{n+1}-2\cdot2^n+1=1>0. \]Les valeurs aux extrémités sont de signes contraires. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel :
\[ \alpha\in\left]\frac{2n}{n+1};2\right[ \]tel que :
\[ f(\alpha)=0. \]Vérifier que :
\[ \alpha^n=\frac1{2-\alpha}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Comme \(f(\alpha)=0\), on a :
\[ \alpha^{n+1}-2\alpha^n+1=0. \]Donc :
\[ \alpha^n(\alpha-2)=-1, \]puis :
\[ \alpha^n(2-\alpha)=1. \]Or \(\alpha<2\), donc \(2-\alpha>0\). On peut ainsi diviser par \(2-\alpha\) :
Exercice 85
Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \([a;b]\) telle que :
\[ f(a)<ab \qquad\text{et}\qquad b^2<f(b). \]Montrer que :
\[ (\exists\alpha\in[a;b])\qquad f(\alpha)=\alpha b. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Définissons la fonction \(g\) sur \([a;b]\) par :
\[ g(x)=f(x)-bx. \]La fonction \(g\) est continue sur \([a;b]\), car elle est la différence de deux fonctions continues.
Aux extrémités du segment :
\[ g(a)=f(a)-ab<0, \]et :
\[ g(b)=f(b)-b^2>0. \]D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(\alpha\in]a;b[\subset[a;b]\) tel que :
\[ g(\alpha)=0. \]Par conséquent :
Exercice 86
Soit \(f\) une fonction continue et strictement positive sur un intervalle \([a;b]\).
Montrer que :
\[ (\exists\alpha>0)\ ;\ (\forall x\in[a;b])\qquad f(x)\geq\alpha. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f\) est continue sur le segment \([a;b]\). Elle y atteint donc son minimum.
Il existe ainsi un réel \(c\in[a;b]\) tel que :
\[ f(c)=\min_{x\in[a;b]}f(x). \]Posons :
\[ \alpha=f(c). \]Comme \(f\) est strictement positive sur \([a;b]\), on a \(f(c)>0\), donc \(\alpha>0\).
Par définition du minimum, pour tout \(x\in[a;b]\) :
\[ f(x)\geq f(c)=\alpha. \]Soient \(g\) et \(h\) deux fonctions continues sur \([a;b]\) telles que :
\[ (\forall x\in[a;b])\qquad g(x)>h(x). \]Montrer que :
\[ (\exists\beta>0)\ ;\ (\forall x\in[a;b]) \qquad g(x)\geq h(x)+\beta. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Considérons la fonction \(u\) définie sur \([a;b]\) par :
\[ u(x)=g(x)-h(x). \]La fonction \(u\) est continue sur \([a;b]\), et l'hypothèse donne :
\[ (\forall x\in[a;b])\qquad u(x)>0. \]D'après la question 1, il existe un réel \(\beta>0\) tel que, pour tout \(x\in[a;b]\) :
\[ u(x)\geq\beta. \]Autrement dit :
\[ g(x)-h(x)\geq\beta, \]donc :
Exercice 87
Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \([a;b]\).
Montrer qu'il existe au moins un réel \(c\in]a;b[\) tel que :
\[ f(c)=\frac1{a-c}+\frac1{b-c}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Définissons sur l'intervalle \(]a;b[\) la fonction :
\[ \varphi(x)=f(x)-\frac1{a-x}-\frac1{b-x}. \]La fonction \(\varphi\) est continue sur \(]a;b[\).
Lorsque \(x\to a^+\), on a :
\[ \frac1{a-x}\to-\infty \qquad\text{et}\qquad \frac1{b-x}\to\frac1{b-a}. \]Comme \(f(x)\to f(a)\), il vient :
\[ \lim_{x\to a^+}\varphi(x)=+\infty. \]De même, lorsque \(x\to b^-\) :
\[ \frac1{a-x}\to\frac1{a-b} \qquad\text{et}\qquad \frac1{b-x}\to+\infty, \]d'où :
\[ \lim_{x\to b^-}\varphi(x)=-\infty. \]Il existe donc deux réels \(u,v\) tels que :
\[ a<u<v<b, \qquad \varphi(u)>0, \qquad \varphi(v)<0. \]La fonction \(\varphi\) est continue sur le segment \([u;v]\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \(c\in]u;v[\subset]a;b[\) tel que :
\[ \varphi(c)=0. \]
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