Correction détaillée des exercices 88 à 95
Exercices de perfectionnement - Limites et continuité - Manuel Al Moufid
Exercice 88
Calculer les limites suivantes.
Lire la correction +Masquer la correction −
On factorise par la plus petite puissance :
\[\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^2+3}=\sqrt[3]{x^2+3}\left(\sqrt[6]{x^2+3}-1\right).\]Lorsque \(x\to+\infty\), les deux facteurs tendent vers \(+\infty\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et l'expression devient :
\[\sqrt[3]{t^3+1}-\sqrt[4]{t^4-1}.\]Notons \(A=\sqrt[3]{t^3+1}\) et \(B=\sqrt[4]{t^4-1}\). On écrit :
\[A-B=(A-t)+(t-B).\]D'une part :
\[A-t=\frac{1}{A^2+At+t^2}\longrightarrow0.\]D'autre part, puisque \(t^4-B^4=1\) :
\[t-B=\frac{1}{t^3+t^2B+tB^2+B^3}\longrightarrow0.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(u=x-1\), alors \(u\to1\). On utilise :
\[\frac{\sqrt[3]u-1}{u-1}=\frac{1}{(\sqrt[3]u)^2+\sqrt[3]u+1}\longrightarrow\frac13,\]et :
\[\frac{\sqrt[4]u-1}{u-1}=\frac{1}{(\sqrt[4]u)^3+(\sqrt[4]u)^2+\sqrt[4]u+1}\longrightarrow\frac14.\]Par quotient :
Lire la correction +Masquer la correction −
On factorise \(\sqrt x\) au dénominateur :
\[\frac{\sqrt[3]x}{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt{x-1}} =\frac{x^{-1/6}}{x^{-1/4}\sqrt[4]{1+\frac1x}-\sqrt{1-\frac1x}}.\]Le numérateur tend vers \(0\) et le dénominateur vers \(-1\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(t=x-1\), avec \(t\to0^+\). Alors :
\[\frac{t^{1/4}-t^{1/3}}{t^{1/3}-t^{1/2}} =t^{-1/12}\frac{1-t^{1/12}}{1-t^{1/6}} =\frac{t^{-1/12}}{1+t^{1/12}}.\]Lire la correction +Masquer la correction −
On divise le numérateur et le dénominateur par \(x-1\).
\[\frac{\sqrt[3]x-1}{x-1}\longrightarrow\frac13.\]De même :
\[\frac{\sqrt[3]{x+63}-4}{x-1} =\frac{1}{(\sqrt[3]{x+63})^2+4\sqrt[3]{x+63}+16}\longrightarrow\frac1{48}.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(A=\sqrt[4]{x+3}\) et \(B=\sqrt[4]x\). Alors :
\[\sqrt{x+3}-\sqrt x=A^2-B^2=(A-B)(A+B).\]L'expression se réduit donc à :
\[\frac{B}{A+B}=\frac{1}{\sqrt[4]{1+\frac3x}+1}.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Pour \(x\) assez grand :
\[\sqrt[15]{x^5}=\sqrt[3]x,\qquad \sqrt[9]{(x-1)^3}=\sqrt[3]{x-1}.\]On factorise \(\sqrt[3]x\) :
\[\frac{3\sqrt[3]{1+\frac1x}-1}{2\sqrt[3]{1-\frac1x}-1}\longrightarrow\frac{3-1}{2-1}.\]Exercice 89
Résoudre les équations suivantes.
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \([-2;2]\). Posons :
\[a=\sqrt[3]{2+x},\qquad b=\sqrt[3]{2-x}.\]Alors \(a,b\geq0\) et \(\sqrt[6]{4-x^2}=\sqrt{ab}\). L'équation devient :
\[a-b=\sqrt{ab}.\]Le cas \(b=0\) ne convient pas. Pour \(b>0\), posons \(t=\dfrac ab\). On obtient :
\[t-1=\sqrt t.\]En posant \(u=\sqrt t\geq0\), on a \(u^2-u-1=0\), donc :
\[u=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad t=u^2=\frac{3+\sqrt5}{2}.\]Ainsi :
\[\frac{2+x}{2-x}=t^3=9+4\sqrt5,\]d'où :
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \([1;+\infty[\). Posons \(y=x-1\geq0\).
Pour \(y=0\), on obtient la solution \(x=1\).
Pour \(y>0\), on divise par \(y^{1/3}\) :
\[1=2^{1/6}y^{1/6}.\]En élevant à la puissance 6 :
\[1=2y,\qquad y=\frac12,\qquad x=\frac32.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \(\mathbb R^*\). Posons \(t=\sqrt[3]x\), donc \(x=t^3\) et \(t\ne0\).
\[2t^4-3t^2=20.\]En posant \(u=t^2\geq0\), on obtient :
\[2u^2-3u-20=0=(2u+5)(u-4).\]Donc \(u=4\), puis \(t=2\) ou \(t=-2\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On doit avoir \(x\ne27\). Posons \(t=\sqrt[3]x\), avec \(t\ne3\).
\[\left(\frac{1-t}{3-t}\right)^3=-125=(-5)^3.\]La fonction cube étant injective :
\[\frac{1-t}{3-t}=-5.\]Ainsi \(1-t=-15+5t\), donc \(t=\dfrac83\).
Exercice 90
Résoudre :
\[\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x(x-1)}+2\sqrt[3]{(x-1)^2}=0.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(a=\sqrt[3]x\) et \(b=\sqrt[3]{x-1}\). L'équation devient :
\[a^2-3ab+2b^2=0,\]soit :
\[(a-b)(a-2b)=0.\]Le cas \(a=b\) conduirait à \(x=x-1\), impossible.
Donc \(a=2b\). En élevant au cube :
\[x=8(x-1),\qquad x=\frac87.\]Résoudre :
\[\sqrt[3]{(1+x)^2}+4\sqrt[3]{(1-x)^2}=4\sqrt[3]{1-x^2}.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(a=\sqrt[3]{1+x}\) et \(b=\sqrt[3]{1-x}\). Alors :
\[\sqrt[3]{(1+x)^2}=a^2,\quad \sqrt[3]{(1-x)^2}=b^2,\quad \sqrt[3]{1-x^2}=ab.\]L'équation devient :
\[a^2-4ab+4b^2=0,\]soit \((a-2b)^2=0\). Ainsi \(a=2b\), puis :
\[1+x=8(1-x),\qquad 9x=7.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(A=\sqrt[4]{x+1}\) et \(B=\sqrt[4]{x-1}\). Alors :
\[A-B=\frac{A^4-B^4}{A^3+A^2B+AB^2+B^3}=\frac2{A^3+A^2B+AB^2+B^3}.\]Par conséquent :
\[x^{3/2}(A-B)=\frac{2x^{3/2}}{A^3+A^2B+AB^2+B^3}.\]En divisant le dénominateur par \(x^{3/4}\), on obtient :
\[\frac{A^3+A^2B+AB^2+B^3}{x^{3/4}}\longrightarrow4.\]Ainsi :
\[x^{3/2}(A-B)=x^{3/4}\,\frac{2}{\dfrac{A^3+A^2B+AB^2+B^3}{x^{3/4}}}\longrightarrow+\infty.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Il faut étudier séparément les deux directions.
Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[\sqrt[4]{x^4+x}=x\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}},\]et :
\[x\left(\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}-1\right) =\frac{x\cdot\frac1{x^3}}{\left(\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}\right)^3+\left(\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}\right)^2+\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}+1}\longrightarrow0.\]Donc la limite à droite vaut \(-2\).
Lorsque \(x\to-\infty\), on écrit :
\[\sqrt[4]{x^4+x}=(-x)\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}.\]Comme \(\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}\to1\), on obtient :
\[\sqrt[4]{x^4+x}-x-2=(-x)\left(\sqrt[4]{1+\frac1{x^3}}+1\right)-2\longrightarrow+\infty.\]Étudier suivant les valeurs du paramètre réel \(m\) la limite :
\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}+mx\right).\]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons \(A_x=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\). Alors :
\[A_x+mx=x\left(\sqrt[3]{1+\frac1x+\frac1{x^3}}+m\right).\]Le facteur entre parenthèses tend vers \(1+m\).
Donc, si \(m>-1\), la limite vaut \(+\infty\), et si \(m<-1\), elle vaut \(-\infty\).
Pour \(m=-1\), on utilise l'identité de différence de deux cubes :
\[A_x-x=\frac{x^2+1}{A_x^2+A_xx+x^2}.\]En divisant par \(x^2\), le quotient tend vers \(\dfrac13\).
Exercice 91
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes.
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \(x\geq-\dfrac12\). L'inéquation équivaut à :
\[\sqrt{2x+1}>3+\sqrt{x+8}.\]Les deux membres sont positifs. Après une première élévation au carré :
\[x-16>6\sqrt{x+8}.\]Il faut donc \(x>16\). On peut alors élever une seconde fois au carré :
\[(x-16)^2>36(x+8).\]Soit :
\[x^2-68x-32>0.\]Les racines sont \(34-6\sqrt{33}\) et \(34+6\sqrt{33}\). En tenant compte de \(x>16\) :
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\). L'inéquation est donc équivalente à :
\[x^2-8<(x+2)^3,\]c'est-à-dire :
\[p(x)=x^3+5x^2+12x+16>0.\]Or :
\[p'(x)=3x^2+10x+12.\]Son discriminant vaut \(100-144=-44<0\), donc \(p'(x)>0\) sur \(\mathbb R\). La fonction \(p\) est strictement croissante.
De plus, \(p(-3)=-2<0\) et \(p(-2)=4>0\). Il existe donc un unique réel \(\alpha\in]-3;-2[\) tel que \(p(\alpha)=0\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \(\mathbb R^*\). Posons \(t=\sqrt[3]x\), donc \(x=t^3\) et \(t\ne0\). L'inéquation devient :
\[t^7-3t^2-20\leq0.\]Posons \(P(t)=t^7-3t^2-20\).
Pour \(t<0\), on a immédiatement \(P(t)<0\).
Pour \(t>0\) :
\[P'(t)=t(7t^5-6).\]La fonction \(P\) décroît d'abord puis croît strictement à partir de \(\left(\dfrac67\right)^{1/5}\). Comme son minimum est négatif, \(P(1)=-22<0\) et \(P(2)=96>0\), elle admet une unique racine positive \(\beta\in]1;2[\).
Ainsi \(P(t)\leq0\) pour \(t\leq\beta\). En revenant à \(x=t^3\) et en excluant \(x=0\), on obtient :
Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \([0;+\infty[\). Posons \(u=x^{1/6}\geq0\). Alors \(x=u^6\), \(\sqrt[3]x=u^2\) et \(\sqrt x=u^3\).
L'inéquation équivaut à :
\[3u^6-3u^2-4u^3+4\geq0.\]Or :
\[3u^6-4u^3-3u^2+4=(u-1)^2(3u^4+6u^3+9u^2+8u+4).\]Les deux facteurs sont positifs ou nuls pour \(u\geq0\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction cube est strictement croissante, donc :
\[x^3-3x^2+5x-6>(x-2)^3.\]Après simplification :
\[3x^2-7x+2>0,\]soit :
\[(3x-1)(x-2)>0.\]Lire la correction +Masquer la correction −
Le domaine est \([0;+\infty[\). Posons \(u=x^{1/6}\geq0\). Alors :
\[3u^3-u^2-20\geq0.\]On factorise :
\[3u^3-u^2-20=(u-2)(3u^2+5u+10).\]Le second facteur est strictement positif, donc \(u\geq2\). Ainsi \(x=u^6\geq64\).
Exercice 92
Un marcheur parcourt \(12\,\text{km}\) en une heure.
Montrer qu'il existe au moins un intervalle de \(30\,\text{min}\) pendant lequel il parcourt exactement \(6\,\text{km}\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Notons \(s(t)\) la distance totale parcourue entre le départ et l'instant \(t\), exprimé en heures. La fonction \(s\) est continue sur \([0;1]\), et :
\[s(1)-s(0)=12.\]Définissons sur \(\left[0;\dfrac12\right]\) :
\[g(t)=s\left(t+\frac12\right)-s(t).\]La fonction \(g\) est continue. De plus :
\[g(0)+g\left(\frac12\right) =s\left(\frac12\right)-s(0)+s(1)-s\left(\frac12\right)=12.\]Les deux nombres \(g(0)\) et \(g\left(\dfrac12\right)\) ne peuvent donc pas être tous deux strictement inférieurs à \(6\), ni tous deux strictement supérieurs à \(6\). Ainsi, \(6\) est compris entre eux.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(c\in\left[0;\dfrac12\right]\) tel que :
\[g(c)=6.\]Exercice 93
Discuter suivant les valeurs des paramètres réels \(a,b,c\) et \(m\) l'existence et la valeur des limites suivantes.
Lire la correction +Masquer la correction −
Pour \(x\) assez grand, le radical est défini. On factorise \(x^{3/2}\) :
\[x^{3/2}\left(\sqrt{1+\frac ax+\frac b{x^2}+\frac c{x^3}}+m\sqrt{1+\frac2x}\right).\]Le facteur entre parenthèses tend vers \(1+m\).
Ainsi, si \(m>-1\), la limite vaut \(+\infty\), et si \(m<-1\), elle vaut \(-\infty\).
Supposons maintenant \(m=-1\). On rationalise :
\[\sqrt{x^3+ax^2+bx+c}-x\sqrt{x+2} =\frac{(a-2)x^2+bx+c}{\sqrt{x^3+ax^2+bx+c}+x\sqrt{x+2}}.\]En divisant le dénominateur par \(x^{3/2}\), on obtient une quantité qui tend vers \(2\). Le dénominateur est donc positif pour \(x\) assez grand.
Si \(a>2\), la limite vaut \(+\infty\). Si \(a<2\), elle vaut \(-\infty\). Si \(a=2\), le numérateur est \(bx+c\), donc le quotient tend vers \(0\).
Lire la correction +Masquer la correction −
On écrit :
\[\sqrt[3]{x^3+x^2+1}+mx=x\left(\sqrt[3]{1+\frac1x+\frac1{x^3}}+m\right).\]Si \(m>-1\), la limite vaut \(+\infty\). Si \(m<-1\), elle vaut \(-\infty\).
Pour \(m=-1\), posons \(A_x=\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\). Alors :
\[A_x-x=\frac{x^2+1}{A_x^2+A_xx+x^2}\longrightarrow\frac13.\]Exercice 94
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0;1]\) et à valeurs dans \([0;1]\). On suppose que :
\[(\forall x\in[0;1])\qquad f\circ f(x)=x\qquad\text{et}\qquad f(0)=0.\]Montrer que \(f\) est injective.
Lire la correction +Masquer la correction −
Soient \(x,y\in[0;1]\) tels que \(f(x)=f(y)\). En appliquant \(f\) aux deux membres :
\[f(f(x))=f(f(y)).\]Or \(f\circ f\) est l'identité de \([0;1]\). Donc \(x=y\).
Montrer que \(f\) est strictement monotone sur \([0;1]\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone sur cet intervalle.
La fonction \(f\) est continue et, d'après la question précédente, injective sur \([0;1]\).
En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\), puis que :
\[(\forall x\in[0;1])\qquad f(x)=x.\]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(f\) ne peut pas être strictement décroissante. En effet, pour tout \(x>0\), on aurait :
\[f(x)<f(0)=0,\]ce qui contredit le fait que \(f(x)\in[0;1]\). Donc \(f\) est strictement croissante.
Fixons \(x\in[0;1]\).
Si \(f(x)>x\), la croissance stricte de \(f\) donne :
\[f(f(x))>f(x),\]soit \(x>f(x)\), contradiction.
Si \(f(x)<x\), alors :
\[f(f(x))<f(x),\]soit \(x<f(x)\), contradiction.
Exercice 95
On considère la fonction \(h\) définie par :
\[h(x)=\operatorname{Arctan}\left(\frac{x^2-4x+2}{x^2-2}\right).\]Déterminer \(D_h\), le domaine de définition de \(h\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction Arctan est définie sur \(\mathbb R\). Il faut seulement que le dénominateur soit non nul :
\[x^2-2\ne0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ne-\sqrt2\text{ et }x\ne\sqrt2.\]Calculer les limites de \(h\) aux bornes de \(D_h\).
Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[R(x)=\frac{x^2-4x+2}{x^2-2}.\]Aux deux infinis, \(R(x)\to1\), donc :
\[\lim_{x\to-\infty}h(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=\operatorname{Arctan}(1)=\frac\pi4.\]Au voisinage de \(-\sqrt2\), le numérateur tend vers \(4+4\sqrt2>0\). Ainsi :
\[\lim_{x\to-\sqrt2^-}R(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\sqrt2^+}R(x)=-\infty,\]d'où :
\[\lim_{x\to-\sqrt2^-}h(x)=\frac\pi2,\qquad \lim_{x\to-\sqrt2^+}h(x)=-\frac\pi2.\]Au voisinage de \(\sqrt2\), le numérateur tend vers \(4-4\sqrt2<0\). Ainsi :
\[\lim_{x\to\sqrt2^-}R(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to\sqrt2^+}R(x)=-\infty,\]d'où :
\[\lim_{x\to\sqrt2^-}h(x)=\frac\pi2,\qquad \lim_{x\to\sqrt2^+}h(x)=-\frac\pi2.\]Montrer que \(h\) réalise une bijection de :
\[K=]\sqrt2;+\infty[\]à valeurs dans un intervalle \(L\) à déterminer.
Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction rationnelle \(R\) est dérivable sur \(K\), et :
\[R'(x)=\frac{4(x^2-2x+2)}{(x^2-2)^2}=\frac{4((x-1)^2+1)}{(x^2-2)^2}>0.\]La fonction \(R\) est donc strictement croissante sur \(K\). Comme Arctan est strictement croissante, \(h=\operatorname{Arctan}\circ R\) est strictement croissante et continue sur \(K\).
D'après les limites précédentes :
\[\lim_{x\to\sqrt2^+}h(x)=-\frac\pi2,\qquad \lim_{x\to+\infty}h(x)=\frac\pi4.\]On considère la fonction \(f\) définie sur :
\[I=]\sqrt2-1;+\infty[\]par \(f(x)=h(x+1)\).
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
Lire la correction +Masquer la correction −
L'application \(x\mapsto x+1\) réalise une bijection de \(I\) sur \(K\). Comme \(h\) réalise une bijection de \(K\) sur \(L\), la fonction \(f(x)=h(x+1)\) réalise une bijection de \(I\) sur :
\[J=L=]-\frac\pi2;\frac\pi4[.\]Soit \(y\in J\), et posons \(u=x+1>\sqrt2\). L'égalité \(y=f(x)=h(u)\) équivaut à :
\[\tan y=\frac{u^2-4u+2}{u^2-2}.\]Posons \(t=\tan y\). On obtient :
\[(t-1)u^2+4u-2(t+1)=0.\]Le discriminant vaut :
\[\Delta=16+8(t^2-1)=8(1+t^2).\]Comme \(t<1\) et \(u>\sqrt2\), la racine convenable est :
\[u=\frac{2+\sqrt2\sqrt{1+t^2}}{1-t}.\]Puisque \(x=u-1\), on obtient :
\[x=\frac{1+t+\sqrt2\sqrt{1+t^2}}{1-t}.\]
Commentaires
Enregistrer un commentaire