Correction détaillée du devoir 3 fonctions exponentielles

Correction détaillée du devoir 3

Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid

2e Bac Sciences Mathématiques

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1-a Parité1-b Variations1-c Point fixe1-d Dérivée2-a Encadrement2-b Contraction2-c Convergence

Énoncé du devoir 3

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+1}.\]

Question 1-a — Parité

Montrer que la fonction \(f\) est paire.

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Pour tout \(x\in\mathbb R\),

\[f(-x)=\frac{e^{-x}}{e^{-2x}+1}=\frac{e^x}{e^{2x}+1}=f(x).\]

La fonction \(f\) est paire.

Question 1-b — Variations et courbe

Étudier les variations de \(f\), puis tracer l'allure de sa courbe.

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\[f'(x)=\frac{e^x(1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}.\]

Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-e^{2x}\). Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;0]\), puis strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\qquad f(0)=\frac12,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0.\]

Le maximum absolu de \(f\) est \(1/2\), atteint en \(0\).

La courbe est paire, admet un maximum égal à \(1/2\) en \(0\), et possède l'asymptote horizontale \(y=0\) aux deux extrémités.

Question 1-c — Point fixe positif

Montrer qu'il existe un unique réel positif \(\ell\) tel que \(f(\ell)=\ell\), puis justifier que \(0\le\ell\le1/2\).

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Sur \(\mathbb R_+\), posons \(h(x)=f(x)-x\). La fonction \(h\) est continue et strictement décroissante.

\[h(0)=\frac12>0.\]

Comme \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R_+\),

\[f\left(\frac12\right)donc \(h(1/2)<0\). Le théorème des valeurs intermédiaires donne un unique \(\ell\in]0;1/2[\) tel que \(h(\ell)=0\).

\[\boxed{f(\ell)=\ell\qquad\text{et}\qquad0<\ell<\frac12.}\]

Question 1-d — Majoration de la dérivée

Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\), \(|f'(x)|\le1/2\).

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Pour \(x>0\), posons \(t=e^x>1\). Alors :

\[|f'(x)|=\frac{t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}.\]

Or \(t^2-1\[2t(t^2-1)\le(t^2+1)^2.\]

\[\boxed{|f'(x)|\le\frac12.}\]

Étude de la suite

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[u_0=0\qquad ext{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n).\]

Question 2-a — Stabilité de l'intervalle

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n\in[0;1/2]\).

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On a \(u_0=0\in[0;1/2]\). Supposons \(u_n\in[0;1/2]\). Comme \(0\[u_{n+1}=f(u_n)\in\left[0;\frac12\right].\]

Le résultat est établi par récurrence.

Question 2-b — Contraction

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(|u_{n+1}-\ell|\le\frac12|u_n-\ell|\).

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Les nombres \(u_n\) et \(\ell\) appartiennent à \([0;1/2]\). Le théorème des accroissements finis donne un réel \(c_n\) entre \(u_n\) et \(\ell\) tel que :

\[u_{n+1}-\ell=f'(c_n)(u_n-\ell).\]

Comme \(|f'(c_n)|\le1/2\),

\[\boxed{|u_{n+1}-\ell|\le\frac12|u_n-\ell|.}\]

Question 2-c — Convergence

En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

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Par récurrence sur l'inégalité précédente :

\[|u_n-\ell|\le\left(\frac12\right)^n|u_0-\ell|.\]

Le membre de droite tend vers \(0\). Donc :

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.}\]

Méthodes et résultats essentiels

• Utiliser la parité pour réduire l'étude.
• Étudier \(f(x)-x\) pour établir l'existence et l'unicité d'un point fixe.
• Majorer \(|f'|\) afin d'obtenir une contraction.
• Exploiter la contraction pour obtenir la convergence géométrique de la suite.

Source : manuel Al Moufid, devoir 3, page imprimée 234.

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