Correction détaillée du problème 10 fonctions exponentielles

Correction détaillée du problème 10

Fonctions exponentielles — Manuel Al Moufid

2e Bac Sciences Mathématiques

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1. Asymptote 2. Variations 3. Solution unique 4. Courbe

Énoncé du problème 10

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R_+^*\) par :

\[ f(x)=2x-e^{-x^2}. \]

On note \(\mathcal C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Question 1 — Branche infinie

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr), \]

puis interpréter graphiquement le résultat.

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Pour tout \(x\gt0\),

\[ f(x)-2x=-e^{-x^2}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(-x^2\to-\infty\), donc :

\[ e^{-x^2}\longrightarrow0. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-2x\bigr)=0.} \]

La droite : \[ \boxed{D:y=2x} \] est une asymptote oblique à la courbe \(\mathcal C_f\) au voisinage de \(+\infty\).

De plus :

\[ f(x)-2x=-e^{-x^2}\lt0. \]

La courbe \(\mathcal C_f\) est donc toujours située au-dessous de l'asymptote \(D\).

Question 2 — Dérivée et variations

Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\), puis étudier les variations de \(f\).

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Pour tout \(x\gt0\),

\[ \begin{aligned} f'(x) &=2-\left(-2xe^{-x^2}\right)\\ &=2+2xe^{-x^2}. \end{aligned} \]

Comme \(x\gt0\) et \(e^{-x^2}\gt0\),

\[ f'(x)\gt2\gt0. \]

La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

Aux bornes du domaine :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Ainsi, \(f\) croît strictement de \(-1\), valeur non atteinte, vers \(+\infty\).

Question 3 — Existence et unicité de α

Montrer que l'équation :

\[ f(x)=0 \]

admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb R_+^*\), puis vérifier que :

\[ 0\lt\alpha\lt1. \]

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La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

De plus :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-1\lt0. \]

D'autre part :

\[ f(1)=2-e^{-1}\gt0. \]

Le théorème des valeurs intermédiaires donne donc l'existence d'un réel \(\alpha\in]0;1[\) tel que \(f(\alpha)=0\).

La stricte croissance de \(f\) assure l'unicité de cette solution.

\[ \boxed{0\lt\alpha\lt1.} \]

Une valeur numérique utile pour la construction est :

\[ \alpha\approx0{,}419. \]

Question 4 — Représentation graphique

Tracer la courbe \(\mathcal C_f\).

Lire la réponse + Masquer la réponse −

Pour construire la courbe, on utilise les résultats suivants :

• \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-1\), mais \(0\) n'appartient pas au domaine ;
• \(f\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\) ;
• la courbe coupe l'axe des abscisses au point \((\alpha;0)\), avec \(\alpha\approx0{,}419\) ;
• la droite \(y=2x\) est une asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\) ;
• la courbe reste au-dessous de cette asymptote.

La courbe est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\), part au voisinage du point exclu \((0;-1)\), coupe l'axe des abscisses en \(\alpha\approx0{,}419\), puis se rapproche par-dessous de l'asymptote \(y=2x\).

Méthodes et résultats essentiels

• L'étude de \(f(x)-2x\) permet d'identifier directement l'asymptote oblique.
• La dérivée \(f'(x)=2+2xe^{-x^2}\) est strictement positive sur tout le domaine.
• La continuité, la stricte croissance et un changement de signe donnent l'existence et l'unicité de la solution.
• La limite finie en \(0^+\) ne donne pas une asymptote verticale : le point limite \((0;-1)\) est simplement exclu du domaine.

Source : manuel Al Moufid, chapitre « Fonctions exponentielles », problème 10, page imprimée 241. Examen national 2008 — session normale.

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