Correction du problème 4
Fonctions exponentielles et suites de solutions
Se préparer aux examens — Examen national 2010, session normale
La première partie étudie \(f(x)=4xe^{-x^2}\). La deuxième partie porte sur la famille \(f_n(x)=4x^ne^{-x^2}\) et sur la suite des solutions de l’équation \(f_n(x)=1\).
Problème 4 Se préparer aux examens
On considère la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=4xe^{-x^2}. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]Lire la correction Masquer la correction
Pour \(x\ge1\), on a \(x^2\ge x\). Donc :
\[ -x^2\le-x. \]La fonction exponentielle étant croissante :
\[ 0\lt e^{-x^2}\le e^{-x}. \]Ainsi :
\[ 0\le4xe^{-x^2}\le4xe^{-x}. \]Or :
\[ xe^{-x}=\frac{x}{e^x}\longrightarrow0. \]Par encadrement :
Étudier les variations de la fonction \(f\), puis dresser son tableau de variations.
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Pour \(x\ge0\), la fonction \(f\) est dérivable et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= 4e^{-x^2} - 8x^2e^{-x^2}\\ &= 4e^{-x^2}(1-2x^2). \end{aligned} \]Comme \(4e^{-x^2}>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de :
\[ 1-2x^2. \]Sur \([0,+\infty[\) :
\[ 1-2x^2=0 \iff x=\frac1{\sqrt2}. \]Ainsi :
\[ f'(x)>0 \quad\text{sur}\quad \left[0,\frac1{\sqrt2}\right[ \]et :
\[ f'(x)\lt 0 \quad\text{sur}\quad \left]\frac1{\sqrt2},+\infty\right[. \]La valeur maximale est :
\[ \begin{aligned} f\left(\frac1{\sqrt2}\right) &= \frac4{\sqrt2}e^{-1/2}\\ &= 2\sqrt{\frac2e}. \end{aligned} \]\(f\) est strictement croissante sur \(\left[0,\dfrac1{\sqrt2}\right]\), puis strictement décroissante sur \(\left[\dfrac1{\sqrt2},+\infty\right[\).
\[ \boxed{ \max f=2\sqrt{\frac2e} } \]Déterminer l’équation de la demi-tangente à la courbe \(\mathcal C\) à l’origine, puis tracer \(\mathcal C\).
On admet que le point d’abscisse \(\sqrt{\dfrac32}\) est un point d’inflexion de \(\mathcal C\).
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On a \(f(0)=0\). Calculons le nombre dérivé à droite :
\[ \begin{aligned} f'_d(0) &= \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-f(0)}x\\ &= \lim_{x\to0^+}4e^{-x^2}\\ &= 4. \end{aligned} \]La demi-tangente à l’origine a donc pour équation :
\[ y=4x. \]Pour le tracé, on utilise également :
\[ f(0)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0, \] \[ \max f = f\left(\frac1{\sqrt2}\right) = 2\sqrt{\frac2e}, \]ainsi que le point d’inflexion d’abscisse :
\[ \sqrt{\frac32}. \]La courbe part de l’origine avec la demi-tangente y = 4x, atteint son maximum pour x = 1/√2, puis tend vers l’axe des abscisses.
Pour \(n\ge2\), on considère la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ f_n(x)=4x^ne^{-x^2}. \]Montrer que, pour tout \(x>1\) :
\[ e^{-x^2}\lt e^{-x}. \]Lire la correction Masquer la correction
Si \(x>1\), alors :
\[ x^2>x. \]Donc :
\[ -x^2\lt -x. \]La fonction exponentielle étant strictement croissante :
En déduire :
\[ \lim_{x\to+\infty}f_n(x). \]Lire la correction Masquer la correction
Pour \(x>1\), la question précédente donne :
\[ 0\lt e^{-x^2}\lt e^{-x}. \]En multipliant par \(4x^n>0\) :
\[ 0\lt f_n(x)\lt 4x^ne^{-x}. \]Or :
\[ x^ne^{-x} = \frac{x^n}{e^x} \longrightarrow0. \]Par encadrement :
Étudier les variations de \(f_n\) sur \([0,+\infty[\), puis dresser son tableau de variations.
Lire la correction Masquer la correction
Pour \(x>0\) :
\[ \begin{aligned} f_n'(x) &= 4nx^{n-1}e^{-x^2} - 8x^{n+1}e^{-x^2}\\ &= 4x^{n-1}e^{-x^2} \left(n-2x^2\right). \end{aligned} \]Pour \(x>0\), le facteur \(4x^{n-1}e^{-x^2}\) est strictement positif. Le signe de \(f_n'(x)\) est donc celui de \(n-2x^2\).
\[ n-2x^2=0 \iff x=\sqrt{\frac n2}. \]Ainsi :
\[ f_n'(x)>0 \quad\text{sur}\quad \left]0,\sqrt{\frac n2}\right[ \]et :
\[ f_n'(x)\lt 0 \quad\text{sur}\quad \left]\sqrt{\frac n2},+\infty\right[. \]Le maximum vaut :
\[ f_n\left(\sqrt{\frac n2}\right) = 4 \left(\frac n2\right)^{n/2} e^{-n/2}. \]\(f_n\) croît sur \(\left[0,\sqrt{\dfrac n2}\right]\), puis décroît sur \(\left[\sqrt{\dfrac n2},+\infty\right[\).
Montrer qu’il existe un unique réel \(u_n\in]0,1[\) tel que :
\[ f_n(u_n)=1. \]Lire la correction Masquer la correction
Sur l’intervalle \([0,1]\), on a :
\[ n-2x^2\ge n-2\ge0. \]La fonction \(f_n\) est donc strictement croissante sur \([0,1]\).
De plus :
\[ f_n(0)=0\lt 1 \]et :
\[ f_n(1)=\frac4e>1. \]D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(u_n\in]0,1[\) tel que \(f_n(u_n)=1\). La stricte croissance sur \([0,1]\) assure l’unicité.
Vérifier que, pour tout \(n\ge2\) :
\[ f_{n+1}(u_n)=u_n. \]Lire la correction Masquer la correction
Comme \(f_n(u_n)=1\), on a :
\[ 4u_n^ne^{-u_n^2}=1. \]Alors :
\[ \begin{aligned} f_{n+1}(u_n) &= 4u_n^{n+1}e^{-u_n^2}\\ &= u_n \left( 4u_n^ne^{-u_n^2} \right)\\ &= u_n. \end{aligned} \]Montrer que la suite \((u_n)_{n\ge2}\) est strictement croissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
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On sait que :
\[ 0\lt u_n\lt 1. \]D’après la question précédente :
\[ f_{n+1}(u_n)=u_n\lt 1. \]Or :
\[ f_{n+1}(u_{n+1})=1. \]La fonction \(f_{n+1}\) est strictement croissante sur \([0,1]\). Par conséquent :
\[ f_{n+1}(u_n)\lt f_{n+1}(u_{n+1}) \]implique :
\[ u_n\lt u_{n+1}. \]Ainsi, la suite \((u_n)\) est strictement croissante. Comme \(u_n\lt 1\), elle est majorée par \(1\).
On pose :
\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]Montrer que :
\[ 0\lt \ell\le1. \]Lire la correction Masquer la correction
La suite \((u_n)\) est strictement croissante. Donc, pour tout \(n\ge2\) :
\[ u_n\ge u_2>0. \]En passant à la limite :
\[ \ell\ge u_2>0. \]D’autre part, \(u_n\lt 1\) pour tout \(n\), donc :
\[ \ell\le1. \]Montrer que, pour tout \(n\ge2\) :
\[ -\frac{\ln4}{n} \lt \ln u_n \lt \frac1n-\frac{\ln4}{n}. \]Lire la correction Masquer la correction
La relation \(f_n(u_n)=1\) s’écrit :
\[ 4u_n^ne^{-u_n^2}=1. \]Tous les facteurs étant strictement positifs, on applique le logarithme népérien :
\[ \ln4+n\ln u_n-u_n^2=0. \]Donc :
\[ \ln u_n = \frac{u_n^2-\ln4}{n}. \]Or \(0\lt u_n\lt 1\), donc :
\[ 0\lt u_n^2\lt 1. \]En soustrayant \(\ln4\), puis en divisant par \(n>0\) :
\[ -\frac{\ln4}{n} \lt \frac{u_n^2-\ln4}{n} \lt \frac{1-\ln4}{n}. \]Par conséquent :
\[ -\frac{\ln4}{n} \lt \ln u_n \lt \frac1n-\frac{\ln4}{n}. \]Les deux bornes tendent vers \(0\). Ainsi :
\[ \ln u_n\longrightarrow0. \]Par continuité de la fonction exponentielle :
\[ u_n\longrightarrow1. \]Résultats essentiels
\[ \max_{x\ge0}4xe^{-x^2} = 2\sqrt{\frac2e}. \] \[ f_n(x)=4x^ne^{-x^2}, \qquad 0\lt u_n\lt 1, \qquad f_n(u_n)=1. \] \[ -\frac{\ln4}{n} \lt \ln u_n \lt \frac1n-\frac{\ln4}{n}. \] \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=1 }. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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