Correction Examen national 2026 — Mathématiques — Sciences Mathématiques A/B

Examen national 2026 — Session ordinaire : correction détaillée

2e Bac Sciences Mathématiques A/B · Option française · Mathématiques · 20 points

Cette correction de l’examen national unifié de mathématiques 2026, session ordinaire, s’adresse aux élèves de deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques A et B. Les quatre exercices mobilisent le raisonnement en analyse, le calcul intégral, les suites numériques, la géométrie complexe, l’arithmétique, les probabilités et les structures algébriques. Chaque question est présentée avec son énoncé complet et son barème, puis une correction que vous pouvez ouvrir séparément. Avant les calculs, la méthode indique la notion à reconnaître et les conditions qui permettent d’utiliser le résultat du cours. Les démonstrations détaillent les transformations et conduisent à une conclusion identifiable. Pour progresser, cherchez d’abord la question sans consulter la solution, puis vérifiez chaque justification et les dépendances entre les questions.

Conseil de travail. Les 56 corrections sont fermées par défaut. Repérez d’abord la propriété du cours, vérifiez ses hypothèses, puis ouvrez la correction pour comparer votre démarche.

Ressources utiles

Énoncé national 2026 SM · PDF de la correction · Examens nationaux SM

Accès rapide aux quatre exercices

Exercice 1 — Analyse — exponentielle, intégrales, fonctions et suites Exercice 2 — Nombres complexes et géométrie Exercice 3 — Arithmétique et probabilités Exercice 4 — Structures algébriques et matrices

Répartition des points

Exercice 1 : 10 points · Exercice 2 : 3,5 points · Exercice 3 : 3 points · Exercice 4 : 3,5 points. Total : 20 points.

Exercice 1 — Analyse — exponentielle, intégrales, fonctions et suites

Repère de cours — Analyse et calcul intégral

Une fonction continue sur un intervalle peut être étudiée à l’aide des signes de sa dérivée. À une borne, continuité et dérivabilité sont contrôlées par des limites unilatérales. Pour encadrer une intégrale, on compare ses intégrandes sur un même segment orienté ; pour calculer une intégrale de produit, l’intégration par parties est pertinente. Le théorème des accroissements finis permet d’obtenir une majoration des écarts d’une suite définie par itération, après vérification des hypothèses.

Partie I

Question 1-a — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in\mathbb R,\qquad 1+x\le e^x. \]

Afficher la correction

Méthode. Pour établir une inégalité exponentielle valable sur ℝ, étudier la différence entre ses deux membres. Le signe de sa dérivée et sa valeur en 0 donnent un minimum global.

Résolution.

On considère la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ \varphi(x)=e^x-x-1. \] Elle est dérivable sur \(\mathbb R\), et : \[ \varphi'(x)=e^x-1. \] Donc : \[ \varphi'(x)\lt 0 \text{ si } x\lt 0, \qquad \varphi'(0)=0, \qquad \varphi'(x)\gt 0 \text{ si } x\gt 0. \] Ainsi, \(\varphi\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\) et croissante sur \([0,+\infty[\). Donc \(\varphi\) admet un minimum en \(0\). Or : \[ \varphi(0)=0. \] Donc : \[ \forall x\in\mathbb R, \qquad \varphi(x)\ge0. \] D'où : \[ \forall x\in\mathbb R, \qquad 1+x\le e^x. \]

\[\boxed{\forall x\in\mathbb R, \quad 1+x\le e^x}\]

Interprétation. La méthode fournit aussi le cas d'égalité : la différence est nulle lorsque x=0.

Question 1-b — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad \frac{x^2}{2}+1+x\le e^x. \]

Afficher la correction

Méthode. Sur [0,x] avec x positif, l'inégalité précédente reste vraie en remplaçant x par t. Intégrer membre à membre, en respectant l'ordre des bornes.

Résolution.

Pour tout \(t\in[0,x]\), d'après la question précédente : \[ 1+t\le e^t. \] Comme \(x\ge0\), on intègre sur \([0,x]\) : \[ \int_0^x(1+t)\,dt\le \int_0^x e^t\,dt. \] Donc : \[ x+\frac{x^2}{2}\le e^x-1. \] Ainsi : \[ \frac{x^2}{2}+1+x\le e^x. \]

\[\boxed{\forall x\in[0,+\infty[,\quad \frac{x^2}{2}+1+x\le e^x}\]

Interprétation. L'intégration sert ici à renforcer une inégalité ponctuelle en faisant apparaître le terme quadratique.

Question 2-a — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad I(x)\le \frac{x^2}{2}. \]

Afficher la correction

Méthode. Pour majorer une intégrale positive, encadrer d'abord son intégrande. Sur [0,x], e⁻ᵗ est compris entre 0 et 1 ; la multiplication par t≥0 conserve l'ordre.

Résolution.

Pour tout \(t\in[0,x]\), on a : \[ 0\lt e^{-t}\le1. \] Comme \(t\ge0\), on obtient : \[ 0\le te^{-t}\le t. \] En intégrant sur \([0,x]\), on obtient : \[ 0\le I(x)\le \int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}. \]

\[\boxed{\forall x\in[0,+\infty[,\quad I(x)\le\dfrac{x^2}{2}}\]

Question 2-b — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad I(x)=-xe^{-x}-e^{-x}+1. \]

Afficher la correction

Méthode. Reconnaître une intégrale d'un produit t·e⁻ᵗ. L'intégration par parties s'applique sur [0,x] à deux fonctions de classe C¹.

Résolution.

Par intégration par parties, avec \(u(t)=t\) et \(v'(t)=e^{-t}\), on peut prendre \(v(t)=-e^{-t}\). Donc : \[ I(x)=\left[-te^{-t}\right]_0^x+\int_0^x e^{-t}\,dt. \] Ainsi : \[ I(x)=-xe^{-x}+\left[-e^{-t}\right]_0^x=-xe^{-x}-e^{-x}+1. \]

\[\boxed{\forall x\in[0,+\infty[,\quad I(x)=-xe^{-x}-e^{-x}+1}\]

Question 3-a — 0.5 pt

Énoncé

En utilisant les résultats des questions \(1\)-b) et \(2\)-b) de la partie I, montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad \frac12\le g(x)\le \frac{e^x}{2}. \]

Afficher la correction

Méthode. Réutiliser la minoration de la question 1-b et l'expression obtenue pour I(x). Diviser uniquement par x² strictement positif pour construire un double encadrement.

Résolution.

D'après la question 1-b), pour \(x\gt 0\) : \[ \frac{x^2}{2}\le e^x-x-1. \] En divisant par \(x^2\gt 0\), on obtient : \[ \frac12\le g(x). \] D'autre part, d'après la question 2-b) : \[ I(x)=1-(x+1)e^{-x}. \] Donc : \[ e^xI(x)=e^x-x-1. \] Or, d'après la question 2-a) : \[ I(x)\le\frac{x^2}{2}. \] Donc : \[ e^x-x-1\le \frac{e^xx^2}{2}. \] En divisant par \(x^2\gt 0\), on obtient : \[ g(x)\le\frac{e^x}{2}. \]

\[\boxed{\forall x\in]0,+\infty[, \quad \frac12\le g(x)\le\frac{e^x}{2}}\]

Question 3-b — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que : \[ \lim_{x\to0^+}g(x)=\frac12. \]

Afficher la correction

Méthode. La limite de g à droite en 0 se déduit directement des deux bornes établies. Vérifier que celles-ci ont la même limite.

Résolution.

Pour tout \(x\gt 0\), on a : \[ \frac12\le g(x)\le \frac{e^x}{2}. \] Or : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x}{2}=\frac12. \] D'après le théorème d'encadrement : \[ \lim_{x\to0^+}g(x)=\frac12. \]

\[\boxed{\lim_{x\to0^+}g(x)=\frac12}\]

Interprétation. La limite découle de l'encadrement, sans formule de développement limité.

Partie II

Données de l’énoncé

Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie sur \([0,+\infty[\) par : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad f(x)=\frac{x}{e^x-e^{-x}}, \qquad f(0)=\frac12. \] Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

Question 1 — 0.5 pt

Énoncé

Calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x), \] puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Afficher la correction

Méthode. Pour x>0, mettre eˣ en facteur au dénominateur, puis utiliser les limites usuelles de x/eˣ et de e⁻²ˣ. La limite nulle caractérise une asymptote horizontale.

Résolution.

Pour \(x\gt0\), on écrit : \[ f(x)=\frac{x}{e^x-e^{-x}} = \frac{x}{e^x(1-e^{-2x})} = \frac{x}{e^x}\cdot\frac1{1-e^{-2x}}. \] Lorsque \(x\to+\infty\), on a : \[ e^{-2x}\to0 \quad\text{donc}\quad 1-e^{-2x}\to1. \] Ainsi : \[ \frac1{1-e^{-2x}}\to1. \] De plus, d'après la limite usuelle du cours : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty. \] Donc, par passage à l'inverse : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0. \] Par produit des limites, on obtient : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \] Graphiquement, l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à \((C)\) au voisinage de \(+\infty\).

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}\]

Question 2 — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).

Afficher la correction

Méthode. La continuité à droite impose de retrouver f(0) par une limite. Réécrire le quotient pour faire apparaître la limite usuelle (eˣ−1)/x.

Résolution.

Pour \(x\gt 0\), on écrit : \[ f(x)=\frac{1}{\frac{e^x-e^{-x}}{x}}. \] On étudie : \[ \frac{e^x-e^{-x}}{x}. \] On ajoute et on retranche \(1\) : \[ \frac{e^x-e^{-x}}{x}=\frac{e^x-1}{x}+\frac{1-e^{-x}}{x}. \] On sait que : \[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1. \] Pour le deuxième terme : \[ \frac{1-e^{-x}}{x}=e^{-x}\frac{e^x-1}{x}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{1-e^{-x}}{x}=1. \] Ainsi : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-e^{-x}}{x}=2. \] Par conséquent : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac12=f(0). \] Donc \(f\) est continue à droite en \(0\).

\[\boxed{f\ \text{est continue à droite en }0}\]

Interprétation. La limite à droite rejoint exactement la valeur choisie au point 0.

Question 3-a — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad \frac{f(x)-f(0)}{x} = -e^{-x}f(x)\left(\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}\right). \]

Afficher la correction

Méthode. Calculer le taux d'accroissement de f en 0 à partir de sa définition, puis mettre les deux expressions au même dénominateur. Vérifier l'identité pour x>0.

Résolution.

Pour \(x\gt 0\) : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x}= \frac{\frac{x}{e^x-e^{-x}}-\frac12}{x} =\frac{2x-(e^x-e^{-x})}{2x(e^x-e^{-x})}. \] D'autre part : \[ -e^{-x}f(x)\left(\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}\right) =\frac{2x-e^x+e^{-x}}{2x(e^x-e^{-x})}. \] Les deux expressions sont donc égales.

\[\boxed{\frac{f(x)-f(0)}{x}=-e^{-x}f(x)\left(\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}\right)}\]

Question 3-b — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad \frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2} = 2g(2x)-\frac{e^x-1}{x}. \]

Afficher la correction

Méthode. Développer g(2x) en utilisant sa définition, puis réduire au même dénominateur. Cette identité prépare le calcul de la dérivée à droite.

Résolution.

On a : \[ g(2x)=\frac{e^{2x}-2x-1}{4x^2}. \] Donc : \[ 2g(2x)-\frac{e^x-1}{x} =\frac{e^{2x}-2x-1}{2x^2}-\frac{2x(e^x-1)}{2x^2}. \] Ainsi : \[ 2g(2x)-\frac{e^x-1}{x} =\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}. \]

\[\boxed{\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}=2g(2x)-\frac{e^x-1}{x}}\]

Question 3-c — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et que : \[ f'_d(0)=0. \]

Afficher la correction

Méthode. Lier le taux d'accroissement à g(2x) grâce aux deux questions précédentes. Vérifier la limite de chaque facteur avant de conclure sur la dérivabilité à droite.

Résolution.

D'après la question précédente : \[ \frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}=2g(2x)-\frac{e^x-1}{x}. \] On pose \(X=2x\). Lorsque \(x\to0^+\), alors \(X\to0^+\). D'après la Partie I : \[ \lim_{X\to0^+}g(X)=\frac12. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}g(2x)=\frac12. \] De plus : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1. \] Ainsi : \[ \lim_{x\to0^+}\left(2g(2x)-\frac{e^x-1}{x}\right)=2\cdot\frac12-1=0. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}=0. \] Or : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = -e^{-x}f(x)\left(\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}\right). \] Comme \(e^{-x}\to1\) et \(f(x)\to\frac12\), on obtient : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0. \] Ainsi, \(f\) est dérivable à droite en \(0\), et : \[ f'_d(0)=0. \]

\[\boxed{f'_d(0)=0}\]

Interprétation. La demi-tangente au point d'abscisse 0 est horizontale, puisque la dérivée à droite vaut zéro.

Question 4-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad 0\le I(x)\le J(x). \]

Afficher la correction

Méthode. Sur [0,x], comparer te⁻ᵗ et teᵗ puisque t≥0. L'intégration conserve les inégalités et fournit un encadrement de I par J.

Résolution.

Pour tout \(t\in[0,x]\), on a : \[ t\ge0\quad\text{et}\quad e^{-t}\le e^t. \] Donc : \[ 0\le te^{-t}\le te^t. \] En intégrant : \[ 0\le I(x)\le J(x). \]

\[\boxed{0\le I(x)\le J(x)}\]

Question 4-b — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad J(x)=(x-1)e^x+1. \]

Afficher la correction

Méthode. Choisir une intégration par parties de t·eᵗ, avec la primitive eᵗ. Évaluer les termes aux bornes 0 et x.

Résolution.

Par intégration par parties : \[ J(x)=\int_0^x te^t\,dt=\left[te^t\right]_0^x-\int_0^x e^t\,dt. \] Donc : \[ J(x)=xe^x-(e^x-1)=(x-1)e^x+1. \]

\[\boxed{J(x)=(x-1)e^x+1}\]

Question 4-c — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad f'(x)=\frac{I(x)-J(x)}{(e^x-e^{-x})^2}. \]

Afficher la correction

Méthode. Dériver f par la règle du quotient pour x>0. Identifier ensuite le numérateur obtenu à I(x)−J(x) à l'aide de leurs expressions explicites.

Résolution.

Pour \(x\gt 0\), on dérive : \[ f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}-x(e^x+e^{-x})}{(e^x-e^{-x})^2}. \] Or : \[ I(x)-J(x)=e^x-e^{-x}-x(e^x+e^{-x}). \] Donc : \[ f'(x)=\frac{I(x)-J(x)}{(e^x-e^{-x})^2}. \]

\[\boxed{f'(x)=\frac{I(x)-J(x)}{(e^x-e^{-x})^2}}\]

Question 4-d — 0.25 pt

Énoncé

En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\).

Afficher la correction

Méthode. Le dénominateur de f' est positif sur ]0,+∞[. La comparaison stricte des intégrandes de I et J pour t>0 donne le signe de I−J et donc les variations.

Résolution.

Pour \(x\gt 0\), et pour tout \(t\in]0,x]\), on a : \[ t\gt 0 \quad\text{et}\quad e^{-t}\lt e^t, \] car la fonction exponentielle est strictement croissante et \(-t\lt t\). Donc : \[ te^{-t}\lt te^t. \] Ainsi : \[ I(x)\lt J(x). \] D'après la question précédente : \[ f'(x)=\frac{I(x)-J(x)}{(e^x-e^{-x})^2}. \] Or : \[ I(x)-J(x)\lt 0 \quad\text{et}\quad (e^x-e^{-x})^2\gt 0. \] Donc : \[ f'(x)\lt 0 \quad\text{pour tout }x\gt 0. \] La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \([0,+\infty[\).

\[\boxed{f\ \text{est strictement décroissante sur }[0,+\infty[}\]

Interprétation. La fonction décroît dès l'origine et reste positive ; ces deux propriétés seront utilisées ensuite.

Question 5 — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que la fonction \(f\) réalise une bijection de \([0,+\infty[\) vers un intervalle à déterminer. On note \(f^{-1}\) la bijection réciproque de la fonction \(f\).

Afficher la correction

Méthode. Pour montrer que f est bijective, réunir continuité, stricte monotonie et valeurs aux extrémités. Déterminer son image en tenant compte du fait que la limite 0 n'est pas atteinte.

Résolution.

La fonction \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\) et strictement décroissante. De plus : \[ f(0)=\frac12, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \] Donc : \[ f([0,+\infty[)=]0,\frac12]. \] Ainsi, \(f\) réalise une bijection de \([0,+\infty[\) vers \(]0,\frac12]\).

\[\boxed{f\text{ réalise une bijection de }[0,+\infty[\text{ vers }]0,\frac12]}\]

Interprétation. La stricte décroissance garantit qu'une même valeur de l'image ne possède qu'un seul antécédent.

Question 6-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que l'équation \[ f(x)=x \] admet une unique solution \(\alpha\), à déterminer dans \([0,+\infty[\).

Afficher la correction

Méthode. Isoler d'abord le cas x=0, qui ne convient pas. Pour x>0, diviser par x puis poser X=eˣ>0 afin de résoudre une équation du second degré.

Résolution.

Si \(x=0\), on a : \[ f(0)=\frac12\ne0. \] Donc une solution éventuelle est strictement positive. Pour \(x\gt 0\), l'équation \(f(x)=x\) devient : \[ \frac{x}{e^x-e^{-x}}=x. \] Comme \(x\gt 0\), on divise par \(x\) : \[ e^x-e^{-x}=1. \] On pose : \[ X=e^x. \] Alors \(X\gt 0\) et \(e^{-x}=\frac1X\). Donc : \[ X-\frac1X=1. \] En multipliant par \(X\gt 0\) : \[ X^2-X-1=0. \] Cette équation admet deux solutions : \[ X_1=\frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad X_2=\frac{1-\sqrt5}{2}. \] Comme \(X=e^x\gt 0\), on garde seulement : \[ X=\frac{1+\sqrt5}{2}. \] Ainsi : \[ x=\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right). \] Donc l'unique solution est : \[ \alpha=\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right). \]

\[\boxed{\alpha=\ln\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)}\]

Question 6-b — 0.5 pt

Énoncé

Représenter graphiquement la courbe \((C)\) et la courbe \((C')\) de la fonction \(f^{-1}\) dans le repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\). On prendra : \[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=2\,\mathrm{cm}. \] On admet que le point \(P(x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion pour la courbe \((C)\), avec : \[ x_0\simeq1,6 \qquad\text{et}\qquad f(x_0)\simeq0,3. \]

Afficher la correction

Méthode. Utiliser les variations, le point initial et l'asymptote pour tracer C. La courbe de f⁻¹ est l'image de C par la symétrie d'axe y=x : inverser les coordonnées des points.

Résolution.

La courbe \((C')\) est la symétrique de \((C)\) par rapport à la droite \(y=x\). Pour tracer \((C)\), on utilise : \[ f(0)=\frac12, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0, \] le fait que \(f\) est strictement décroissante, ainsi que le point d'inflexion admis : \[ P(x_0,f(x_0)), \qquad x_0\simeq1,6, \qquad f(x_0)\simeq0,3. \]

Représentation de \((C)\), de \((C')\) et de la droite \(y=x\)

\[\boxed{(C')\text{ est la symétrique de }(C)\text{ par rapport à la droite }y=x}\]

Interprétation. Le point d'intersection avec y=x reste inchangé par la symétrie donnant la courbe réciproque.

Question 7-a — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad 0\le u_n\le \frac12. \]

Afficher la correction

Méthode. On étudie la stabilité de [0,1/2] sous f. Initialiser au rang 0, puis exploiter la positivité et la décroissance de f pour réaliser la récurrence.

Résolution.

On procède par récurrence. Pour \(n=0\), \(u_0=0\), donc \(0\le u_0\le\frac12\). Supposons que \(0\le u_n\le\frac12\). Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\), que \(f\) est positive et décroissante, on a : \[ 0\le u_{n+1}\le f(0)=\frac12. \] Donc, par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N, \quad 0\le u_n\le\frac12. \]

\[\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad 0\le u_n\le\frac12}\]

Question 7-b — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_{n+1}-\alpha|\le \frac12 |u_n-\alpha|. \] On admet que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad -\frac12\lt f'(x)\lt 0. \]

Afficher la correction

Méthode. Appliquer le théorème des accroissements finis à f entre uₙ et son point fixe α. L'intervalle est inclus dans [0,1/2], et l'estimation donnée de f' contrôle l'écart après itération.

Résolution.

On a : \[ u_{n+1}=f(u_n) \quad\text{et}\quad \alpha=f(\alpha). \] Donc : \[ |u_{n+1}-\alpha|=|f(u_n)-f(\alpha)|. \] D'après le théorème des accroissements finis appliqué entre \(u_n\) et \(\alpha\), il existe un réel \(c_n\) entre \(u_n\) et \(\alpha\) tel que : \[ f(u_n)-f(\alpha)=f'(c_n)(u_n-\alpha). \] En prenant les valeurs absolues : \[ |f(u_n)-f(\alpha)|=|f'(c_n)|\,|u_n-\alpha|. \] D'après l'indication donnée dans l'énoncé : \[ |f'(c_n)|\le\frac12. \] Donc : \[ |u_{n+1}-\alpha|\le\frac12|u_n-\alpha|. \]

\[\boxed{|u_{n+1}-\alpha|\le\frac12 |u_n-\alpha|}\]

Question 7-c — 0.5 pt

Énoncé

Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_n-\alpha|\le \left(\frac12\right)^n. \]

Afficher la correction

Méthode. Pour une majoration géométrique, établir d'abord l'initialisation, puis utiliser l'inégalité de contraction précédente dans l'hérédité de la récurrence.

Résolution.

On justifie d'abord que : \[ 0\lt \alpha\lt \frac12. \] En effet, \(\alpha\gt 0\), car \(0\) n'est pas solution de \(f(x)=x\). Comme \(f\) est strictement décroissante et \(\alpha\gt 0\), on a : \[ f(\alpha)\lt f(0). \] Or : \[ f(\alpha)=\alpha \quad\text{et}\quad f(0)=\frac12. \] Donc : \[ 0\lt \alpha\lt \frac12. \] On procède par récurrence. Pour \(n=0\) : \[ |u_0-\alpha|=\alpha\le1=\left(\frac12\right)^0. \] Supposons que : \[ |u_n-\alpha|\le\left(\frac12\right)^n. \] D'après la question précédente : \[ |u_{n+1}-\alpha|\le\frac12|u_n-\alpha|. \] Donc : \[ |u_{n+1}-\alpha|\le\frac12\left(\frac12\right)^n=\left(\frac12\right)^{n+1}. \] Donc, par le principe de récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N, \qquad |u_n-\alpha|\le\left(\frac12\right)^n. \]

\[\boxed{\forall n\in\mathbb N, \quad |u_n-\alpha|\le\left(\frac12\right)^n}\]

Question 7-d — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) converge vers \(\alpha\).

Afficher la correction

Méthode. Une valeur absolue non négative, majorée par une suite géométrique de raison 1/2, tend vers zéro par encadrement. Interpréter cette limite en termes de convergence.

Résolution.

On a : \[ 0\le |u_n-\alpha|\le\left(\frac12\right)^n. \] Or : \[ \left|\frac12\right|\lt 1. \] Donc, d'après le cours sur les suites géométriques : \[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^n=0. \] Par le théorème d'encadrement : \[ \lim_{n\to+\infty}|u_n-\alpha|=0. \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha. \]

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha}\]

Interprétation. L'estimation géométrique quantifie aussi la vitesse de rapprochement de uₙ vers α.

Partie III

Données de l’énoncé

On considère la fonction \(F\), définie sur \([0,+\infty[\) par : \[ F(x)=\int_x^{2x}f(t)\,dt. \]

Question 1-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad 0\le F(x)\le xf(x). \]

Afficher la correction

Méthode. Sur [x,2x], la fonction f est positive et décroissante pour x≥0. En intégrant 0≤f(t)≤f(x), on obtient l'encadrement de F.

Résolution.

Pour \(t\in[x,2x]\), on a \(t\ge x\). Comme \(f\) est décroissante et positive : \[ 0\le f(t)\le f(x). \] En intégrant sur \([x,2x]\), on obtient : \[ 0\le F(x)\le \int_x^{2x}f(x)\,dt=xf(x). \]

\[\boxed{0\le F(x)\le xf(x)}\]

Question 1-b — 0.25 pt

Énoncé

En déduire : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x). \]

Afficher la correction

Méthode. Appliquer l'encadrement précédent. Montrer que x·f(x) tend vers zéro en factorisant eˣ ; le théorème d'encadrement donne la limite de F.

Résolution.

On a : \[ 0\le F(x)\le xf(x)=\frac{x^2}{e^x-e^{-x}}. \] Pour \(x\gt0\), on écrit : \[ \frac{x^2}{e^x-e^{-x}} = \frac{x^2}{e^x(1-e^{-2x})} = \frac{x^2}{e^x}\cdot\frac1{1-e^{-2x}}. \] Lorsque \(x\to+\infty\), on a : \[ e^{-2x}\to0 \quad\text{donc}\quad 1-e^{-2x}\to1. \] Ainsi : \[ \frac1{1-e^{-2x}}\to1. \] Or, d'après la limite usuelle : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty. \] Donc, par passage à l'inverse : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}=0. \] Par produit des limites : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x-e^{-x}}=0. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=0. \]

\[\boxed{\lim_{x\to+\infty}F(x)=0}\]

Question 1-c — 0.25 pt

Énoncé

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Afficher la correction

Méthode. Traduire la limite finie de F en +∞ dans le langage géométrique des asymptotes horizontales.

Résolution.

La courbe représentative de \(F\) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).

\[\boxed{\text{L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de }F\text{ au voisinage de }+\infty}\]

Interprétation. La courbe de F se rapproche de l'axe horizontal lorsque x devient grand.

Question 2-a — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que \(F\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).

Afficher la correction

Méthode. La continuité de f et la dérivabilité des fonctions bornes x et 2x sont les hypothèses du théorème de dérivation d'une intégrale à bornes variables.

Résolution.

La fonction \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\). On pose : \[ u(x)=x, \qquad v(x)=2x. \] Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]0,+\infty[\), et pour tout \(x\in]0,+\infty[\) : \[ u(x)\in]0,+\infty[, \qquad v(x)\in]0,+\infty[. \] D'après le théorème de dérivation d'une intégrale à bornes variables, la fonction \[ x\longmapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt \] est dérivable sur \(]0,+\infty[\).

\[\boxed{F\ \text{est dérivable sur } ]0,+\infty[}\]

Question 2-b — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad F'(x)=\frac{-f(x)}{e^{2x}+1}\left(e^{2x}-4e^x+1\right). \]

Afficher la correction

Méthode. Dériver F(x)=∫ₓ²ˣ f(t)dt, puis transformer 2f(2x)−f(x) en factorisant f(x). Le signe de la dérivée devient alors facile à étudier.

Résolution.

D'après la formule de dérivation d'une intégrale à bornes variables, rappelée à la question précédente : \[ F'(x)=2f(2x)-f(x). \] Pour \(x\gt 0\), on a : \[ 2f(2x)=\frac{4x}{e^{2x}-e^{-2x}}. \] Or : \[ e^{2x}-e^{-2x}=\frac{(e^{2x}-1)(e^{2x}+1)}{e^{2x}}. \] Donc : \[ 2f(2x)=\frac{4xe^{2x}}{(e^{2x}-1)(e^{2x}+1)}. \] D'autre part : \[ f(x)=\frac{x}{e^x-e^{-x}}=\frac{xe^x}{e^{2x}-1}. \] Ainsi : \[ F'(x)=\frac{4xe^{2x}}{(e^{2x}-1)(e^{2x}+1)}-\frac{xe^x}{e^{2x}-1}. \] On met en facteur : \[ \frac{xe^x}{e^{2x}-1}=f(x). \] Donc : \[ F'(x)=f(x)\left(\frac{4e^x}{e^{2x}+1}-1\right) =\frac{-f(x)}{e^{2x}+1}(e^{2x}-4e^x+1). \]

\[\boxed{F'(x)=\frac{-f(x)}{e^{2x}+1}(e^{2x}-4e^x+1)}\]

Question 2-c — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ F\left(\ln(2+\sqrt3)\right) \] est un extremum de la fonction \(F\) sur \([0,+\infty[\).

Afficher la correction

Méthode. Pour identifier l'extremum, étudier le signe de e²ˣ−4eˣ+1 en posant X=eˣ>1. Le signe de F' est opposé à celui du trinôme car f(x)>0.

Résolution.

Le signe de \(F'(x)\) dépend de : \[ e^{2x}-4e^x+1. \] Posons \(y=e^x\), avec \(y\ge1\). On résout : \[ y^2-4y+1=0. \] On obtient : \[ y=2-\sqrt3\quad\text{ou}\quad y=2+\sqrt3. \] Comme \(2-\sqrt3\lt 1\), seule la valeur \(y=2+\sqrt3\) convient. Donc : \[ x=\ln(2+\sqrt3). \] On en déduit que \(F\) est croissante sur \[ \left[0,\ln(2+\sqrt3)\right] \] et décroissante sur \[ \left[\ln(2+\sqrt3),+\infty\right[. \] Donc \(F\) admet un maximum sur \([0,+\infty[\), atteint pour \[ x=\ln(2+\sqrt3). \]

\[\boxed{F(\ln(2+\sqrt3))\ \text{est le maximum de }F\text{ sur }[0,+\infty[}\]

Interprétation. La dérivée change de signe de positif à négatif : l'extremum est donc un maximum.

Exercice 2 — Nombres complexes et géométrie

Repère de cours — Nombres complexes et géométrie

Les écritures algébrique et exponentielle d’un complexe permettent de calculer les modules, les arguments et les transformations du plan. Le quotient de deux affixes de vecteurs est réel pour des directions colinéaires et imaginaire pur pour des directions perpendiculaires, à condition que le dénominateur soit non nul. Une rotation de centre O et d’angle π/2 correspond à la multiplication par i.

Données de l’énoncé

Soit le nombre complexe : \[ m=\sqrt2e^{i\theta} \qquad\text{où}\qquad \theta\in\mathbb R-\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}. \]

Partie I

Données de l’énoncé

On considère, dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\), l'équation \((E_m)\) d'inconnue \(z\) : \[ (E_m):\qquad \overline m z^2-2z+m=0. \]

Question 1 — 0.25 pt

Énoncé

Étant donné que le nombre complexe : \[ z_1=\frac{m(1-i)}2 \] est une solution de l'équation \((E_m)\), déduire que sa deuxième solution est : \[ z_2=\frac{m(1+i)}2. \]

Afficher la correction

Méthode. Dans une équation du second degré à coefficient dominant non nul, le produit des racines vaut c/a. Il suffit d'en déduire la racine manquante et de rationaliser.

Résolution.

L'équation est : \[ \overline m z^2-2z+m=0. \] Ses coefficients sont : \[ a=\overline m, \qquad c=m. \] D'après le produit des racines : \[ z_1z_2=\frac ca=\frac{m}{\overline m}. \] Or : \[ m\overline m=|m|^2=2. \] Donc : \[ \frac{m}{\overline m}=\frac{m^2}{m\overline m}=\frac{m^2}{2}. \] Ainsi : \[ z_1z_2=\frac{m^2}{2}. \] Comme : \[ z_1=\frac{m(1-i)}2, \] on obtient : \[ z_2=\frac{\frac{m^2}{2}}{\frac{m(1-i)}2}=\frac{m}{1-i}. \] Or : \[ \frac1{1-i}=\frac{1+i}{2}. \] Donc : \[ z_2=\frac{m(1+i)}2. \]

\[\boxed{z_2=\frac{m(1+i)}2}\]

Interprétation. Le produit des racines permet de trouver z₂ sans résoudre à nouveau tout le polynôme.

Question 2 — 0.25 pt

Énoncé

Écrire \(z_1\) sous forme exponentielle.

Afficher la correction

Méthode. Combiner la forme exponentielle de m et celle de 1−i. Les modules se multiplient et les arguments s'additionnent.

Résolution.

On a : \[ m=\sqrt2e^{i\theta}. \] De plus : \[ 1-i=\sqrt2e^{-i\frac\pi4}. \] Donc : \[ z_1=\frac{m(1-i)}2 = \frac{\sqrt2e^{i\theta}\cdot\sqrt2e^{-i\frac\pi4}}2. \] Ainsi : \[ z_1=e^{i(\theta-\frac\pi4)}. \]

\[\boxed{z_1=e^{i(\theta-\frac\pi4)}}\]

Partie II

Données de l’énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A,B,M,M_1\) et \(M_2\), d'affixes respectives : \[ a=1,\qquad b=-1,\qquad m,\qquad z_1,\qquad z_2. \] Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

Question 1 — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ R(M_1)=M_2. \]

Afficher la correction

Méthode. Une rotation de centre O et d'angle π/2 multiplie les affixes par i. Comparer l'affixe obtenue avec celle de M₂.

Résolution.

La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac\pi2\) multiplie les affixes par \(i\). Or : \[ iz_1=ie^{i(\theta-\frac\pi4)}=e^{i(\theta+\frac\pi4)}=z_2. \] Donc : \[ R(M_1)=M_2. \]

\[\boxed{R(M_1)=M_2}\]

Question 2-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ (MM_1)\perp(OM_1) \qquad\text{et}\qquad (MM_2)\perp(OM_2). \]

Afficher la correction

Méthode. Utiliser z₁+z₂=m pour exprimer les affixes des vecteurs. Un quotient d'affixes imaginaire pur non nul traduit la perpendicularité.

Résolution.

On a : \[ z_1+z_2=m. \] Donc : \[ m-z_1=z_2, \qquad m-z_2=z_1. \] Un vecteur directeur de \((MM_1)\) a pour affixe \(m-z_1=z_2\), et un vecteur directeur de \((OM_1)\) a pour affixe \(z_1\). Or : \[ \frac{z_2}{z_1}=i, \] qui est imaginaire pur. Donc : \[ (MM_1)\perp(OM_1). \] De même : \[ \frac{z_1}{z_2}=-i, \] donc : \[ (MM_2)\perp(OM_2). \]

\[\boxed{(MM_1)\perp(OM_1)\quad\text{et}\quad(MM_2)\perp(OM_2)}\]

Question 2-b — 0.25 pt

Énoncé

Vérifier que : \[ OM_1=OM_2=1. \]

Afficher la correction

Méthode. La distance à l'origine est le module de l'affixe. Les expressions exponentielles de z₁ et z₂ donnent directement le module 1.

Résolution.

D'après les formes exponentielles : \[ z_1=e^{i(\theta-\frac\pi4)}, \qquad z_2=e^{i(\theta+\frac\pi4)}. \] Donc : \[ |z_1|=|z_2|=1. \] Ainsi : \[ OM_1=OM_2=1. \]

\[\boxed{OM_1=OM_2=1}\]

Question 2-c — 0.25 pt

Énoncé

Déterminer la nature du quadrilatère \(OM_1MM_2\).

Afficher la correction

Méthode. Montrer que les côtés opposés définissent les mêmes vecteurs : on obtient un parallélogramme. Ajouter perpendicularité et égalité de deux côtés consécutifs.

Résolution.

On a : \[ m=z_1+z_2, \] donc : \[ m-z_2=z_1 \quad\text{et}\quad m-z_1=z_2. \] Ainsi : \[ \overrightarrow{OM_1}=\overrightarrow{M_2M} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{OM_2}=\overrightarrow{M_1M}. \] Donc \(OM_1MM_2\) est un parallélogramme. De plus, on a déjà établi que : \[ OM_1=OM_2=1. \] Et comme \(z_2=iz_1\), les droites \((OM_1)\) et \((OM_2)\) sont perpendiculaires. Ainsi, ce parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires. Donc \(OM_1MM_2\) est un carré.

\[\boxed{OM_1MM_2\ \text{est un carré}}\]

Interprétation. Le quadrilatère possède à la fois la propriété d'un rectangle et celle d'un losange : c'est un carré.

Question 3-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \operatorname{Re}(m-\overline h)=0 \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Re}(1-h\overline m)=0. \]

Afficher la correction

Méthode. Calculer séparément les parties réelles de m, h et h·conj(m). L'hypothèse sin θ≠0 garantit que les quotients intervenant dans h sont définis.

Résolution.

On a : \[ m=\sqrt2e^{i\theta}, \] donc : \[ \operatorname{Re}(m)=\sqrt2\cos\theta. \] D'autre part : \[ h=\frac{-i}{\sqrt2\sin\theta}e^{2i\theta} = \frac{-i(\cos2\theta+i\sin2\theta)}{\sqrt2\sin\theta}. \] Ainsi : \[ h=\frac{\sin2\theta}{\sqrt2\sin\theta} -i\frac{\cos2\theta}{\sqrt2\sin\theta}. \] Comme \(\sin\theta\ne0\), on obtient : \[ \operatorname{Re}(h)=\frac{\sin2\theta}{\sqrt2\sin\theta}=\sqrt2\cos\theta. \] Donc : \[ \operatorname{Re}(m-\overline h) = \operatorname{Re}(m)-\operatorname{Re}(\overline h). \] Or : \[ \operatorname{Re}(\overline h)=\operatorname{Re}(h). \] Ainsi : \[ \operatorname{Re}(m-\overline h)=\operatorname{Re}(m)-\operatorname{Re}(h)=0. \] De plus : \[ h\overline m=\frac{-i}{\sqrt2\sin\theta}e^{2i\theta}\cdot\sqrt2e^{-i\theta} =\frac{-ie^{i\theta}}{\sin\theta}. \] Or : \[ -ie^{i\theta}=\sin\theta-i\cos\theta. \] Donc : \[ h\overline m=1-i\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. \] Par conséquent : \[ 1-h\overline m=i\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, \] qui est imaginaire pur. Donc : \[ \operatorname{Re}(1-h\overline m)=0. \]

\[\boxed{\operatorname{Re}(m-\overline h)=0\quad\text{et}\quad\operatorname{Re}(1-h\overline m)=0}\]

Question 3-b — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{a-h}{m+1}\right)=0. \]

Afficher la correction

Méthode. Rationaliser par multiplication par le conjugué de m+1, dont le module n'est pas nul. Réutiliser ensuite les deux parties réelles nulles de la question précédente.

Résolution.

Comme \(a=1\), il suffit de montrer que : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{1-h}{m+1}\right)=0. \] On a \(m+1\ne0\), car \(|m|=\sqrt2\) alors que \(|-1|=1\). On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : \[ \overline{m+1}=\overline m+1. \] Donc : \[ \frac{1-h}{m+1}=\frac{(1-h)(\overline m+1)}{|m+1|^2}. \] Comme \(|m+1|^2\in\mathbb R_+^*\), et puisque, pour \(\lambda\in\mathbb R\), \[ \operatorname{Re}(\lambda z)=\lambda\operatorname{Re}(z), \] il suffit de montrer que : \[ \operatorname{Re}((1-h)(\overline m+1))=0. \] Or : \[ (1-h)(\overline m+1)=1+\overline m-h\overline m-h =(1-h\overline m)+(\overline m-h). \] En utilisant aussi : \[ \operatorname{Re}(z+z')=\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Re}(z'), \] on obtient : \[ \operatorname{Re}((1-h)(\overline m+1)) = \operatorname{Re}(1-h\overline m)+\operatorname{Re}(\overline m-h). \] On a déjà établi que : \[ \operatorname{Re}(1-h\overline m)=0. \] De plus : \[ \operatorname{Re}(\overline m-h)=\operatorname{Re}(m)-\operatorname{Re}(h)=0. \] Donc : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{a-h}{m+1}\right)=0. \]

\[\boxed{\operatorname{Re}\left(\frac{a-h}{m+1}\right)=0}\]

Question 3-c — 0.5 pt

Énoncé

En déduire que : \[ (MH)\perp(AB) \qquad\text{et}\qquad (AH)\perp(MB). \]

Afficher la correction

Méthode. Identifier les affixes des vecteurs de chaque droite. Une différence ou un quotient de partie réelle nulle fournit le critère de perpendicularité.

Résolution.

La droite \((AB)\) est l'axe réel car \(a=1\) et \(b=-1\). Comme \(\operatorname{Re}(m-h)=0\), le vecteur \(\overrightarrow{HM}\) est dirigé par un imaginaire pur. Donc : \[ (MH)\perp(AB). \] D'autre part : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{a-h}{m-b}\right)=0 \] car \(m-b=m+1\). Donc le quotient des affixes des vecteurs \(\overrightarrow{HA}\) et \(\overrightarrow{BM}\) est imaginaire pur. Ainsi : \[ (AH)\perp(MB). \]

\[\boxed{(MH)\perp(AB)\quad\text{et}\quad(AH)\perp(MB)}\]

Interprétation. Les deux droites obtenues sont deux hauteurs du triangle géométrique étudié.

Question 4-a — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \frac{h-z_1}{z_2-z_1} = \frac12\left(1-\operatorname{cotan}(\theta)\right). \]

Afficher la correction

Méthode. Écrire z₂−z₁ et simplifier le quotient. Exprimer eⁱᶿ/sin θ sous la forme cotan θ+i en utilisant sin θ≠0.

Résolution.

On a : \[ z_2-z_1=im. \] Donc : \[ \frac{h-z_1}{z_2-z_1}=\frac{h}{im}-\frac{z_1}{im}. \] Or : \[ \frac{h}{im}=-\frac{e^{i\theta}}{2\sin\theta}, \qquad \frac{z_1}{im}=-\frac{1+i}{2}. \] Donc : \[ \frac{h-z_1}{z_2-z_1} = -\frac{e^{i\theta}}{2\sin\theta}+\frac{1+i}{2}. \] Comme : \[ \frac{e^{i\theta}}{\sin\theta}=\operatorname{cotan}\theta+i, \] on obtient : \[ \frac{h-z_1}{z_2-z_1}=\frac12(1-\operatorname{cotan}\theta). \]

\[\boxed{\frac{h-z_1}{z_2-z_1}=\frac12(1-\operatorname{cotan}\theta)}\]

Question 4-b — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que les points \(H,M_1\) et \(M_2\) sont alignés.

Afficher la correction

Méthode. Un quotient (h−z₁)/(z₂−z₁) réel caractérise la colinéarité des deux vecteurs correspondants, car z₂≠z₁.

Résolution.

Le nombre : \[ \frac{h-z_1}{z_2-z_1} \] est réel. Donc les vecteurs \(\overrightarrow{M_1H}\) et \(\overrightarrow{M_1M_2}\) sont colinéaires. Ainsi, les points \(H,M_1,M_2\) sont alignés.

\[\boxed{H,\ M_1\text{ et }M_2\text{ sont alignés}}\]

Interprétation. Le caractère réel du quotient conclut directement à l'alignement demandé.

Exercice 3 — Arithmétique et probabilités

Repère de cours — Arithmétique et probabilités

Le théorème de Bézout et le lemme de Gauss sont utilisés dans les équations diophantiennes. Dans les congruences modulo un nombre premier, le petit théorème de Fermat réduit les exposants lorsqu’il y a coprimalité. En probabilités, un dénombrement nécessite d’identifier un univers équiprobable ; avec remise, la probabilité d’au moins un succès se calcule facilement par l’événement contraire.

Partie I

Données de l’énoncé

A. On considère, dans \(\mathbb Z^2\), l'équation suivante : \[ (F):\qquad 5u-9v=1. \]

Question 1 — 0.25 pt

Énoncé

Donner une solution particulière \((u_0,v_0)\in\mathbb N^2\) de \((F)\).

Afficher la correction

Méthode. Chercher deux entiers naturels u et v tels que 5u−9v=1. Une substitution directe suffit pour trouver une solution particulière.

Résolution.

On a : \[ 5\times2-9\times1=1. \] Donc : \[ (u_0,v_0)=(2,1). \]

\[\boxed{(u_0,v_0)=(2,1)}\]

Question 2 — 0.25 pt

Énoncé

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation \((F)\).

Afficher la correction

Méthode. Soustraire la solution particulière à une solution générale. Utiliser la coprimalité de 5 et 9 et le lemme de Gauss, puis vérifier la réciproque.

Résolution.

On a : \[ 5u-9v=1 \] et : \[ 5\cdot2-9\cdot1=1. \] En soustrayant : \[ 5(u-2)-9(v-1)=0. \] Donc : \[ 5(u-2)=9(v-1). \] Ainsi : \[ 9\mid 5(u-2). \] Or : \[ \gcd(9,5)=1. \] Donc, d'après le théorème de Gauss : \[ 9\mid (u-2). \] Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que : \[ u=2+9k. \] En remplaçant dans l'équation, on obtient : \[ v=1+5k. \] Réciproquement, tout couple de cette forme vérifie bien \((F)\).

\[\boxed{S=\{(2+9k,1+5k)\mid k\in\mathbb Z\}}\]

Interprétation. La paramétrisation décrit toutes les solutions entières, et pas seulement un couple particulier.

Question 3 — 0.25 pt

Énoncé

Vérifier que : \[ 5^{u_0}\equiv 6\ [19]. \]

Afficher la correction

Méthode. Remplacer u₀ par sa valeur connue puis effectuer une division euclidienne modulo 19.

Résolution.

Comme \(u_0=2\), on a : \[ 5^{u_0}=5^2=25\equiv6\ [19]. \]

\[\boxed{5^{u_0}\equiv6\ [19]}\]

Données de l’énoncé

B. On considère dans \(\mathbb Z^*\) l'équation suivante : \[ (E):\qquad x^{2026}\equiv 5\ [19]. \] Soit \(x\) une solution de l'équation \((E)\).

Question 1-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que \(x\) et \(19\) sont premiers entre eux et que : \[ x^{18}\equiv1\ [19]. \]

Afficher la correction

Méthode. La congruence imposée exclut les multiples de 19. Le petit théorème de Fermat s'applique alors car 19 est premier et x est premier avec 19.

Résolution.

Supposons par l'absurde que \(x\) et \(19\) ne sont pas premiers entre eux. Comme \(19\) est premier, cela signifie que : \[ 19\mid x. \] Donc : \[ x\equiv0\ [19]. \] Ainsi : \[ x^{2026}\equiv0\ [19]. \] Mais \(x\) est solution de \((E)\), donc : \[ x^{2026}\equiv5\ [19]. \] On obtient donc \(0\equiv5\ [19]\), ce qui est impossible car \(19\nmid5\). Donc : \[ \gcd(x,19)=1. \] Comme \(19\) est premier, le petit théorème de Fermat donne : \[ x^{18}\equiv1\ [19]. \]

\[\boxed{x^{18}\equiv1\ [19]}\]

Question 1-b — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ x^{10}\equiv5\ [19]. \]

Afficher la correction

Méthode. Décomposer 2026 en un multiple de 18 plus un reste. Exploiter la congruence x¹⁸≡1 modulo 19.

Résolution.

On a : \[ 2026=18\times112+10. \] Donc : \[ x^{2026}=(x^{18})^{112}x^{10}\equiv x^{10}\ [19]. \] Comme \(x^{2026}\equiv5\ [19]\), on obtient : \[ x^{10}\equiv5\ [19]. \]

\[\boxed{x^{10}\equiv5\ [19]}\]

Question 1-c — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que : \[ x^2\equiv6\ [19]. \] On pourra utiliser les résultats de la partie A.

Afficher la correction

Méthode. Élever la congruence précédente à la puissance u₀=2, puis réduire l'exposant grâce à x¹⁸≡1. On obtient une congruence quadratique.

Résolution.

On élève \(x^{10}\equiv5\ [19]\) à la puissance \(u_0=2\) : \[ x^{20}\equiv25\equiv6\ [19]. \] Or \(x^{18}\equiv1\ [19]\), donc : \[ x^{20}\equiv x^2\ [19]. \] Ainsi : \[ x^2\equiv6\ [19]. \]

\[\boxed{x^2\equiv6\ [19]}\]

Question 1-d — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que : \[ x\equiv5\ [19] \qquad\text{ou}\qquad x\equiv-5\ [19]. \]

Afficher la correction

Méthode. Écrire x²−25 comme produit (x−5)(x+5). Le caractère premier du module 19 permet d'appliquer le lemme d'Euclide.

Résolution.

Comme \(5^2=25\equiv6\ [19]\), on a : \[ x^2\equiv5^2\ [19]. \] Donc : \[ (x-5)(x+5)\equiv0\ [19]. \] Comme \(19\) est premier : \[ x\equiv5\ [19] \quad\text{ou}\quad x\equiv-5\ [19]. \]

\[\boxed{x\equiv5\ [19]\quad\text{ou}\quad x\equiv-5\ [19]}\]

Question 2 — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que si : \[ x\equiv5\ [19] \qquad\text{ou}\qquad x\equiv-5\ [19], \] alors \(x\) est solution de l'équation \((E)\).

Afficher la correction

Méthode. Pour établir la réciproque, élever ±5 à la puissance paire 2026, réduire l'exposant modulo 18 et calculer la puissance restante modulo 19.

Résolution.

Si \(x\equiv\pm5\ [19]\), alors, comme \(2026\) est pair : \[ x^{2026}\equiv5^{2026}\ [19]. \] Or \(2026=18\times112+10\), donc : \[ 5^{2026}\equiv5^{10}\ [19]. \] Et : \[ 5^{10}=(5^2)^5\equiv6^5\ [19]. \] Comme \(6^2\equiv-2\ [19]\), alors \(6^4\equiv4\ [19]\), donc : \[ 6^5\equiv24\equiv5\ [19]. \] Ainsi : \[ x^{2026}\equiv5\ [19]. \]

\[\boxed{x\equiv5\ [19]\text{ ou }x\equiv-5\ [19]\Longrightarrow x\text{ est solution de }(E)}\]

Interprétation. Les deux classes de congruence suffisent et sont aussi nécessaires pour résoudre l'équation.

Partie II

Données de l’énoncé

On considère une urne contenant \(100\) boules numérotées de \(1\) à \(100\), indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard de cette urne. On considère l'événement : \[ V:\ \text{« Le numéro de la boule tirée est solution de l'équation }(E)\text{ »}. \]

Question 1 — 0.25 pt

Énoncé

Montrer que la probabilité de l'événement \(V\) est : \[ p=0,11. \]

Afficher la correction

Méthode. Compter dans {1,…,100} les entiers congrus à 5 ou à −5 modulo 19. Ces deux classes disjointes définissent les cas favorables dans une situation équiprobable.

Résolution.

D'après la Partie I, on a : \[ x \text{ solution de }(E) \Longleftrightarrow x\equiv5\ [19] \quad\text{ou}\quad x\equiv-5\ [19]. \] Or \(-5\equiv14\ [19]\). Posons : \[ A=\{x\in\{1,\ldots,100\}\mid x\equiv5\ [19]\}, \] et : \[ B=\{x\in\{1,\ldots,100\}\mid x\equiv14\ [19]\}. \] Alors : \[ V=A\cup B. \] De plus, \(A\cap B=\varnothing\), car un entier ne peut pas être congru à la fois à \(5\) et à \(14\) modulo \(19\). Si \(x\equiv5\ [19]\), alors \(x=5+19k\), avec \(k\in\mathbb Z\). Comme \(1\le x\le100\), on a : \[ 1\le5+19k\le100, \] donc : \[ -\frac4{19}\le k\le5. \] Ainsi \(k\in\{0,1,2,3,4,5\}\), ce qui donne les \(6\) valeurs : \[ 5,\ 24,\ 43,\ 62,\ 81,\ 100. \] Si \(x\equiv14\ [19]\), alors \(x=14+19k\). De même : \[ 1\le14+19k\le100, \] donc : \[ -\frac{13}{19}\le k\le\frac{86}{19}. \] Ainsi \(k\in\{0,1,2,3,4\}\), ce qui donne les \(5\) valeurs : \[ 14,\ 33,\ 52,\ 71,\ 90. \] Donc les numéros possibles sont : \[ 5,\ 14,\ 24,\ 33,\ 43,\ 52,\ 62,\ 71,\ 81,\ 90,\ 100. \] Comme \(A\cap B=\varnothing\), on a : \[ P(V)=P(A\cup B)=P(A)+P(B). \] Donc : \[ P(V)=\frac6{100}+\frac5{100}=\frac{11}{100}=0,11. \]

\[\boxed{p=0,11}\]

Interprétation. Sur 100 numéros équiprobables, les 11 numéros admissibles donnent une probabilité de 11/100.

Question 2 — 0.25 pt

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb N^*\). On effectue \(n\) tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne. Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité de réalisation de l'événement \(V\) au moins une fois soit strictement supérieure à \(0,95\).

Afficher la correction

Méthode. Avec remise, les tirages sont indépendants et la probabilité d'aucun succès vaut 0,89ⁿ. Résoudre 1−0,89ⁿ>0,95 en inversant le sens de l'inégalité après division par ln(0,89)<0.

Résolution.

On note \(V_i\) l'événement : « l'événement \(V\) se réalise au \(i^e\) tirage ». Comme les tirages se font avec remise, les événements \(V_1,V_2,\ldots,V_n\) sont indépendants. Leurs complémentaires sont aussi indépendants. On a : \[ P(V)=0,11, \qquad P(\overline V)=0,89. \] L'événement « \(V\) ne se réalise jamais pendant les \(n\) tirages » est : \[ \overline{V_1}\cap\overline{V_2}\cap\cdots\cap\overline{V_n}. \] Par indépendance : \[ P(\overline{V_1}\cap\cdots\cap\overline{V_n})=P(\overline{V_1})\cdots P(\overline{V_n})=(0,89)^n. \] Donc : \[ P(\text{au moins une réalisation de }V)=1-(0,89)^n. \] On cherche : \[ 1-(0,89)^n\gt 0,95. \] Cela équivaut à : \[ (0,89)^n\lt 0,05. \] En passant au logarithme : \[ n\ln(0,89)\lt \ln(0,05). \] Comme \(\ln(0,89)\lt 0\), on obtient : \[ n\gt \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,89)}\simeq25,68. \] La plus petite valeur entière est donc : \[ n=26. \]

\[\boxed{n_{\min}=26}\]

Interprétation. Avec 25 tirages, le seuil n'est pas atteint ; 26 est le premier entier qui convient.

Exercice 4 — Structures algébriques et matrices

Repère de cours — Matrices et structures algébriques

Pour vérifier un homomorphisme, on contrôle la compatibilité avec les lois. Un groupe exige stabilité, associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Un corps commutatif possède deux lois compatibles, avec une multiplication distributive sur l’addition et des inverses pour les éléments non nuls. Les identités matricielles doivent être établies avant d’être réutilisées.

Données de l’énoncé

On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire et non commutatif, de zéro la matrice : \[ O= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \] et d'unité la matrice : \[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]

Données de l’énoncé

On considère l'ensemble : \[ E=\left\{ M(x)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ x^2&1-x&x\\ x^2+2x&-x&x+1 \end{pmatrix} \ \middle|\ x\in\mathbb R \right\}. \]

Question 1 — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad M(x)\times M(y)=M(x+y). \]

Afficher la correction

Méthode. Calculer le produit des deux matrices ligne par colonne. Regrouper les coefficients selon x+y et reconnaître la matrice M(x+y).

Résolution.

Soient \(x,y\in\mathbb R\). On calcule le produit ligne par colonne. La première ligne de \(M(x)\) est \((1,0,0)\), donc la première ligne du produit est : \[ (1,0,0). \] Pour la deuxième ligne : \[ x^2\cdot1+(1-x)y^2+x(y^2+2y) =x^2+y^2+2xy=(x+y)^2, \] \[ x^2\cdot0+(1-x)(1-y)+x(-y) =1-x-y=1-(x+y), \] \[ x^2\cdot0+(1-x)y+x(y+1)=x+y. \] Pour la troisième ligne : \[ (x^2+2x)\cdot1+(-x)y^2+(x+1)(y^2+2y)=(x+y)^2+2(x+y), \] \[ (x^2+2x)\cdot0+(-x)(1-y)+(x+1)(-y)=-(x+y), \] \[ (x^2+2x)\cdot0+(-x)y+(x+1)(y+1)=x+y+1. \] Donc : \[ M(x)M(y)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ (x+y)^2&1-(x+y)&x+y\\ (x+y)^2+2(x+y)&-(x+y)&x+y+1 \end{pmatrix}=M(x+y). \]

\[\boxed{M(x)M(y)=M(x+y)}\]

Interprétation. La relation matricielle transforme un produit en addition des paramètres : c'est la clé de la suite.

Données de l’énoncé

On considère l'application \(\varphi\) définie de \(\mathbb R\) vers \(M_3(\mathbb R)\) par : \[ \forall x\in\mathbb R,\qquad \varphi(x)=M(x). \]

Question 2-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((M_3(\mathbb R),\times)\) et que : \[ \varphi(\mathbb R)=E. \]

Afficher la correction

Méthode. Un homomorphisme doit conserver les lois : comparer φ(x+y) et φ(x)φ(y). Pour l'image, utiliser explicitement la définition de E.

Résolution.

Pour tous \(x,y\in\mathbb R\) : \[ \varphi(x+y)=M(x+y)=M(x)M(y)=\varphi(x)\varphi(y). \] Donc \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((M_3(\mathbb R),\times)\). De plus, par définition : \[ \varphi(\mathbb R)=\{M(x)\mid x\in\mathbb R\}=E. \]

\[\boxed{\varphi\text{ est un homomorphisme et }\varphi(\mathbb R)=E}\]

Question 2-b — 0.25 pt

Énoncé

En déduire que \((E,\times)\) est un groupe commutatif.

Afficher la correction

Méthode. L'image d'un groupe commutatif par un homomorphisme est un groupe commutatif pour sa loi image. On peut aussi vérifier directement la commutativité avec M(x+y)=M(y+x).

Résolution.

On sait que \((\mathbb R,+)\) est un groupe commutatif usuel. D'après la question précédente, \(\varphi\) est un homomorphisme et : \[ \varphi(\mathbb R)=E. \] Par la propriété du cours, l'image d'un groupe par un homomorphisme est un groupe pour la loi induite. Donc \((E,\times)\) est un groupe. De plus, la commutativité se déduit de celle de \((\mathbb R,+)\). En effet, pour tous \(x,y\in\mathbb R\) : \[ M(x)M(y)=M(x+y)=M(y+x)=M(y)M(x). \] Ainsi : \[ (E,\times) \] est un groupe commutatif.

\[\boxed{(E,\times)\ \text{est un groupe commutatif}}\]

Données de l’énoncé

On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\) définie par : \[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad M(x)\,T\,M(y)=M(2xy). \]

Question 3-a — 0.75 pt

Énoncé

Montrer que \((E-\{I\},T)\) est un groupe commutatif.

Afficher la correction

Méthode. Vérifier successivement la stabilité sur x≠0, l'associativité, le neutre M(1/2), les symétriques et la commutativité de la loi T définie par M(x)T M(y)=M(2xy).

Résolution.

On sait que \(I=M(0)\). Donc : \[ E-\{I\}=\{M(x)\mid x\in\mathbb R^*\}. \] Stabilité. Soient \(x,y\in\mathbb R^*\). Alors \(2xy\in\mathbb R^*\), donc : \[ M(x)\,T\,M(y)=M(2xy)\in E-\{I\}. \] Associativité. Soient \(x,y,z\in\mathbb R^*\). On a : \[ (M(x)\,T\,M(y))\,T\,M(z)=M(2xy)\,T\,M(z)=M(2(2xy)z)=M(4xyz). \] Et : \[ M(x)\,T\,(M(y)\,T\,M(z))=M(x)\,T\,M(2yz)=M(2x(2yz))=M(4xyz). \] Donc \(T\) est associative. Élément neutre. On cherche \(M(e)\in E-\{I\}\) tel que : \[ M(x)\,T\,M(e)=M(x). \] Cela donne : \[ M(2xe)=M(x). \] En comparant par exemple le coefficient de la deuxième ligne et troisième colonne, on obtient : \[ 2xe=x. \] Comme \(x\ne0\), on obtient : \[ e=\frac12. \] L'élément neutre pour \(T\) est donc : \[ M\left(\frac12\right). \] Symétrique. Soit \(M(x)\in E-\{I\}\), avec \(x\ne0\). On cherche \(M(y)\in E-\{I\}\) tel que : \[ M(x)\,T\,M(y)=M\left(\frac12\right). \] Donc : \[ M(2xy)=M\left(\frac12\right), \] d'où : \[ 2xy=\frac12, \qquad y=\frac1{4x}. \] Ainsi, le symétrique de \(M(x)\) pour \(T\) est : \[ M\left(\frac1{4x}\right). \] Commutativité. Pour \(x,y\in\mathbb R^*\), on a : \[ M(x)\,T\,M(y)=M(2xy)=M(2yx)=M(y)\,T\,M(x). \] Donc \((E-\{I\},T)\) est un groupe commutatif.

\[\boxed{(E-\{I\},T)\ \text{est un groupe commutatif}}\]

Question 3-b — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que \((E,\times,T)\) est un corps commutatif.

Afficher la correction

Méthode. Pour reconnaître un corps commutatif, on combine les deux structures de groupe, puis il reste à démontrer la distributivité de T sur la multiplication matricielle.

Résolution.

On sait que \((E,\times)\) est un groupe commutatif, de neutre \(I=M(0)\). On sait aussi que \((E-\{I\},T)\) est un groupe commutatif. Il reste à vérifier la distributivité. Pour tous \(x,y,z\in\mathbb R\) : \[ M(x)T(M(y)\times M(z))=M(x)T M(y+z)=M(2x(y+z)). \] Or : \[ 2x(y+z)=2xy+2xz. \] Donc : \[ M(2x(y+z))=M(2xy+2xz)=M(2xy)\times M(2xz). \] Ainsi : \[ M(x)T(M(y)\times M(z))=(M(x)T M(y))\times(M(x)T M(z)). \] La distributivité à droite se déduit de la commutativité de \(T\). Donc \((E,\times,T)\) est un corps commutatif.

\[\boxed{(E,\times,T)\text{ est un corps commutatif}}\]

Interprétation. La loi T joue le rôle de la multiplication et la loi matricielle × celui de l'addition dans le corps.

Données de l’énoncé

Soit \(x\in\mathbb R\). On pose : \[ (M(x))^n= \underbrace{M(x)\times M(x)\times\cdots\times M(x)}_{n\ \text{fois}}, \qquad n\in\mathbb N^*. \]

Question 4-a — 0.5 pt

Énoncé

Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*),\qquad (M(x))^n=M(nx). \]

Afficher la correction

Méthode. Effectuer une récurrence sur n≥1. La relation M(nx)M(x)=M((n+1)x) fournit immédiatement l'hérédité.

Résolution.

On procède par récurrence sur \(n\in\mathbb N^*\). Pour \(n=1\), on a : \[ (M(x))^1=M(x)=M(1x). \] La propriété est vraie au rang \(1\). Soit \(n\in\mathbb N^*\). Supposons que : \[ (M(x))^n=M(nx). \] Alors : \[ (M(x))^{n+1}=(M(x))^nM(x)=M(nx)M(x). \] D'après la question 1 : \[ M(nx)M(x)=M(nx+x)=M((n+1)x). \] La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Donc, par le principe de récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N^*,\qquad (M(x))^n=M(nx). \]

\[\boxed{\forall n\in\mathbb N^*,\quad (M(x))^n=M(nx)}\]

Question 4-b — 0.5 pt

Énoncé

Résoudre dans \(E\) l'équation : \[ X^3-X^2= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 5&1&-1\\ 3&1&-1 \end{pmatrix}. \]

Afficher la correction

Méthode. Écrire X=M(x), exprimer X³ et X² grâce à la question précédente, puis identifier les coefficients matriciels. Vérifier que le paramètre obtenu satisfait toutes les égalités.

Résolution.

Comme \(X\in E\), il existe \(x\in\mathbb R\) tel que : \[ X=M(x). \] D'après la question précédente : \[ X^3=M(3x) \quad\text{et}\quad X^2=M(2x). \] Donc : \[ X^3-X^2=M(3x)-M(2x). \] On calcule : \[ M(3x)-M(2x)= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 5x^2&-x&x\\ 5x^2+2x&-x&x \end{pmatrix}. \] On identifie avec la matrice donnée : \[ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 5x^2&-x&x\\ 5x^2+2x&-x&x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 5&1&-1\\ 3&1&-1 \end{pmatrix}. \] On obtient le système : \[ \begin{cases} 5x^2=5,\\ -x=1,\\ x=-1,\\ 5x^2+2x=3. \end{cases} \] De \(-x=1\), on obtient : \[ x=-1. \] On vérifie que cette valeur satisfait les autres équations : \[ 5(-1)^2=5, \qquad 5(-1)^2+2(-1)=3. \] Toutes les équations sont donc compatibles et donnent \(x=-1\). Ainsi : \[ X=M(-1). \]

\[\boxed{X=M(-1)}\]

Interprétation. L'identification matricielle donne une valeur unique du paramètre, et la substitution confirme son admissibilité.

À retenir

Une correction complète ne se limite pas à un calcul : on choisit le résultat du cours, on vérifie ses hypothèses, on justifie la transformation algébrique et on interprète la conclusion. Dans ce sujet, les exercices s’enchaînent autour de relations déjà établies : inégalités intégrales et variations, points fixes et convergence, quotients d’affixes et propriétés géométriques, congruences et probabilités, puis identités matricielles et structures algébriques.

Retour au menu des exercices

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)