Correction des exercices 05 et 06 — Équations logarithmiques — Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Correction des exercices 05 et 06
Équations logarithmiques — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose une correction détaillée des exercices 05 et 06 du chapitre Logarithme népérien. Chaque équation est rappelée avant sa résolution et les conditions d’existence sont établies avant toute transformation.
- Déterminer les conditions d’existence.
- Utiliser les propriétés du logarithme seulement sur le domaine obtenu.
- Résoudre l’équation algébrique obtenue.
- Vérifier que les solutions trouvées appartiennent au domaine.
- Donner l’ensemble solution dans un encadré.
Exercice 05 Résoudre des équations logarithmiques directes
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Or :
\[ \ln x=0\iff x=e^0. \]Donc :
\[ x=1. \]La condition d’existence est \(x\gt0\). Puis :
\[ \ln x=1\iff x=e^1. \]Ainsi :
\[ x=e. \]La condition d’existence est \(x\gt0\). On a :
\[ \ln x=5\iff x=e^5. \]La condition d’existence est \(x\gt0\).
Comme :
\[ 3\ln2=\ln(2^3)=\ln8, \]l’équation devient :
\[ \ln x=\ln8. \]La fonction \(\ln\) étant injective sur \(]0,+\infty[\), on obtient :
\[ x=8. \]La condition d’existence est \(x\gt0\).
On utilise :
\[ \ln3+\ln27=\ln(3\times27)=\ln81. \]Or :
\[ \ln81=\ln(9^2)=2\ln9. \]L’équation devient donc :
\[ 2\ln x=2\ln9. \]Ainsi :
\[ \ln x=\ln9, \]d’où :
\[ x=9. \]La condition d’existence est \(x\gt0\).
En divisant par \(7\), on obtient :
\[ \ln x=-\frac37. \]Par conséquent :
\[ x=e^{-\frac37}. \]La présence de \(\ln x\) impose :
\[ x\gt0. \]Pour tout \(x\gt0\), on a :
\[ \ln(x^2)=2\ln x. \]L’égalité est donc vérifiée pour tout réel strictement positif.
La condition d’existence est \(x\gt0\).
L’écriture \(\ln^2x\) désigne \((\ln x)^2\). Ainsi :
\[ (\ln x)^2=4 \iff \ln x=2 \quad\text{ou}\quad \ln x=-2. \]Donc :
\[ x=e^2 \quad\text{ou}\quad x=e^{-2}. \]Exercice 06 Résoudre des équations logarithmiques composées
Les conditions d’existence sont :
\[ \begin{cases} x^2-x\gt0,\\ x+1\gt0. \end{cases} \]Or :
\[ x^2-x=x(x-1), \]donc :
\[ x^2-x\gt0 \iff x\lt0 \quad\text{ou}\quad x\gt1. \]Avec \(x\gt-1\), le domaine de résolution est :
\[ D=]-1,0[\cup]1,+\infty[. \]Sur ce domaine, l’injectivité de \(\ln\) donne :
\[ x^2-x=x+1. \]Ainsi :
\[ x^2-2x-1=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=8. \]Les deux racines sont :
\[ x=1-\sqrt2 \quad\text{ou}\quad x=1+\sqrt2. \]Elles appartiennent toutes les deux au domaine.
Les conditions d’existence sont :
\[ 7x-1\gt0 \quad\text{et}\quad 5x+1\gt0. \]On obtient :
\[ x\gt\frac17. \]Sur ce domaine :
\[ \ln(7x-1)=\ln(5x+1) \iff 7x-1=5x+1. \]Donc :
\[ x=1. \]Cette valeur appartient au domaine.
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Posons :
\[ X=\ln x. \]L’équation devient :
\[ 3X^2-7X+10=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=49-120=-71. \]Comme \(\Delta\lt0\), cette équation n’admet aucune solution réelle \(X\).
Les conditions d’existence sont :
\[ x\gt0 \quad\text{et}\quad 1+2\ln x\neq0. \]Posons :
\[ X=\ln x, \qquad X\neq-\frac12. \]L’équation devient :
\[ \frac{8+X}{1+2X}=X. \]Comme \(1+2X\neq0\), on obtient :
\[ 8+X=X(1+2X). \]Donc :
\[ 2X^2=8, \]d’où :
\[ X=2 \quad\text{ou}\quad X=-2. \]Ces deux valeurs sont autorisées. Ainsi :
\[ x=e^2 \quad\text{ou}\quad x=e^{-2}. \]Les conditions d’existence sont :
\[ x-1\gt0, \qquad x+3\gt0, \qquad x^2+4x+9\gt0. \]Or :
\[ x^2+4x+9=(x+2)^2+5\gt0. \]Le domaine est donc :
\[ x\gt1. \]Sur ce domaine :
\[ \ln(x-1)+\ln(x+3) = \ln\big((x-1)(x+3)\big). \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ (x-1)(x+3)=x^2+4x+9. \]En développant :
\[ x^2+2x-3=x^2+4x+9. \]Donc :
\[ x=-6. \]Mais \(-6\notin]1,+\infty[\). Cette valeur est interdite.
Les conditions d’existence donnent :
\[ \frac32\lt x\lt2. \]Posons :
\[ t=2-x. \]Alors :
\[ 0\lt t\lt\frac12 \qquad\text{et}\qquad 2x-3=1-2t. \]L’équation devient :
\[ 2\ln(1-2t)-3\ln t=0. \]Donc :
\[ \ln\big((1-2t)^2\big)=\ln(t^3). \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ (1-2t)^2=t^3. \]Après développement :
\[ t^3-4t^2+4t-1=0. \]Or :
\[ t^3-4t^2+4t-1 = (t-1)(t^2-3t+1). \]Les solutions possibles sont :
\[ t=1, \qquad t=\frac{3-\sqrt5}{2}, \qquad t=\frac{3+\sqrt5}{2}. \]La seule valeur appartenant à \(]0,\frac12[\) est :
\[ t=\frac{3-\sqrt5}{2}. \]Comme \(x=2-t\), on obtient :
\[ x=\frac{1+\sqrt5}{2}. \]Les conditions d’existence sont :
\[ \frac{x+5}{x+2}\gt0, \qquad x+2\gt0, \qquad 3x+9\gt0. \]La condition \(x+2\gt0\) donne \(x\gt-2\). Sur cet intervalle, les deux autres arguments sont également strictement positifs.
Le domaine est donc :
\[ x\gt-2. \]Sur ce domaine :
\[ 2\ln(x+2)=\ln\big((x+2)^2\big). \]Le membre de gauche devient alors :
\[ \ln\big((x+5)(x+2)\big). \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ (x+5)(x+2)=3x+9. \]Donc :
\[ x^2+4x+1=0. \]Les racines sont :
\[ x=-2-\sqrt3 \quad\text{ou}\quad x=-2+\sqrt3. \]Seule la seconde appartient au domaine \(x\gt-2\).
La condition d’existence est :
\[ x\gt0. \]Posons :
\[ X=\sqrt[3]{\ln x}. \]Alors :
\[ \sqrt[3]{\ln^2x}=X^2. \]L’équation devient :
\[ X^2-5X+6=0. \]On factorise :
\[ (X-2)(X-3)=0. \]Donc :
\[ X=2 \quad\text{ou}\quad X=3. \]Comme \(X^3=\ln x\), on obtient :
\[ \ln x=8 \quad\text{ou}\quad \ln x=27. \]Ainsi :
\[ x=e^8 \quad\text{ou}\quad x=e^{27}. \]La condition d’existence est :
\[ x\gt-3. \]L’équation donne :
\[ \ln(x+3)=5 \quad\text{ou}\quad \ln(x+3)=-5. \]Donc :
\[ x=e^5-3 \quad\text{ou}\quad x=e^{-5}-3. \]Ces deux valeurs sont strictement supérieures à \(-3\).
La présence de \(\ln x\) impose :
\[ x\gt0. \]Cette condition assure aussi \(2x+1\gt0\).
Comme :
\[ \ln\left(\sqrt{2x+1}\right) = \frac12\ln(2x+1), \]l’équation devient :
\[ \ln(2x+1)=-\ln x. \]Or :
\[ -\ln x=\ln\left(\frac1x\right). \]Par injectivité de \(\ln\) :
\[ 2x+1=\frac1x. \]Comme \(x\gt0\), on obtient :
\[ 2x^2+x-1=0. \]On factorise :
\[ (2x-1)(x+1)=0. \]Les solutions algébriques sont \(x=\frac12\) et \(x=-1\). Seule la première appartient au domaine.
Méthodes à retenir
- Les conditions d’existence doivent être déterminées avant toute simplification.
- Si \(u\gt0\) et \(v\gt0\), alors \(\ln u=\ln v\iff u=v\).
- Une substitution comme \(X=\ln x\) peut ramener l’équation à une équation du second degré.
- Chaque solution algébrique doit être confrontée au domaine initial.
- Une équation peut devenir une identité sur tout son domaine, comme dans l’exercice 05, question 7.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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