Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 43 — Sous-suites adjacentes, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 43 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. \] 3. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad |u_{n+1}-u_n| \le \frac14|u_n-u_{n-1}|. \] 4. On considère les suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) définies par : \[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] a) Vérifier que : \[ \beta_n = 1+\frac1{1+\alpha_n}. \] b) Mo...

Correction des exercices 37 à 39 — Suites associées, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 37 Exercice 38 Exercice 39 Exercice 37 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=2\pi \] et : \[ u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n} + \cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right) \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0 \] et : \[ \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \] 2. Montrer que la suite \(\left(\frac1{u_n}\right)\) est arithmétique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Positivité et congruence Lire la réponse + Masquer la réponse − Montrons simultanément par récurrence que : \[ u_n\gt0 \] et : \[ \f...

Correction de l’exercice 32 — Suite homographique, contraction et suite géométrique Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 32 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=3 \] et : \[ u_{n+1} = \frac{8(u_n-1)}{u_n+2} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 2\lt u_n\lt4. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\), puis en déduire qu’elle est convergente. 3.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_{n+1} \le \frac45(4-u_n). \] 3.b) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n, \] puis déterminer la limite de \((u_n)\). 4. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ v_n= \frac{u_n-4}{u_n-2}. \...

Correction des exercices 26 à 28 — Suites récurrentes et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 26 Exercice 27 Exercice 28 Exercice 26 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=0 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt{12+u_n} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le4. \] 2.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_{n+1}\le\frac14(4-u_n). \] 2.b) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_n\le \left(\frac14\right)^{n-1}. \] 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Encadrement de la suite Lire la réponse + Masquer la réponse − La relation de récurrence contient une racine carrée. Tous les termes obtenus à partir de \(u_0\) sont donc positifs ou nuls. Montrons par récurrence que : ...