Correction des exercices 26 à 28 — Suites récurrentes et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 26
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=0 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt{12+u_n} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le4. \] 2.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_{n+1}\le\frac14(4-u_n). \] 2.b) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_n\le \left(\frac14\right)^{n-1}. \] 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1. Encadrement de la suite
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La relation de récurrence contient une racine carrée. Tous les termes obtenus à partir de \(u_0\) sont donc positifs ou nuls.
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le4. \]Pour \(n=0\) :
\[ u_0=0\le4. \]La propriété est vraie au rang \(0\).
Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ u_n\le4. \]Alors :
\[ 12+u_n\le16. \]La fonction racine carrée est croissante sur \([0,+\infty[\). On obtient donc :
\[ \sqrt{12+u_n}\le\sqrt{16}. \]Or :
\[ u_{n+1}=\sqrt{12+u_n}. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}\le4. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le4. } \]Le nombre \(4\) n’est pas choisi au hasard. Il vérifie : \[ 4=\sqrt{12+4}. \] Il constitue donc un point fixe de la fonction \(f(x)=\sqrt{12+x}\).
2.a) Contraction de l’écart à \(4\)
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ 4-u_{n+1} = 4-\sqrt{12+u_n}. \]Rationalisons cette expression :
\[ \begin{aligned} 4-u_{n+1} &= \frac{ \left(4-\sqrt{12+u_n}\right) \left(4+\sqrt{12+u_n}\right) }{ 4+\sqrt{12+u_n} }\\ &= \frac{ 16-(12+u_n) }{ 4+\sqrt{12+u_n} }\\ &= \frac{ 4-u_n }{ 4+u_{n+1} }. \end{aligned} \]Comme \(u_{n+1}\ge0\), on a :
\[ 4+u_{n+1}\ge4. \]Donc :
\[ \frac1{4+u_{n+1}}\le\frac14. \]De plus, \(4-u_n\ge0\). Par conséquent :
\[ \boxed{ 4-u_{n+1} \le \frac14(4-u_n). } \]2.b) Encadrement de \(4-u_n\)
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Montrons par récurrence que :
\[ 0\le 4-u_n \le 4\left(\frac14\right)^n. \]Pour \(n=0\) :
\[ 4-u_0=4 = 4\left(\frac14\right)^0. \]Supposons que :
\[ 4-u_n \le 4\left(\frac14\right)^n. \]D’après la question précédente :
\[ \begin{aligned} 4-u_{n+1} &\le \frac14(4-u_n)\\ &\le \frac14 \times 4\left(\frac14\right)^n\\ &= 4\left(\frac14\right)^{n+1}. \end{aligned} \]Par récurrence :
\[ \boxed{ 0\le 4-u_n \le 4\left(\frac14\right)^n. } \]Comme :
\[ 4\left(\frac14\right)^n = \left(\frac14\right)^{n-1}, \]on retrouve l’écriture demandée dans le manuel :
\[ \boxed{ 0\le 4-u_n \le \left(\frac14\right)^{n-1}. } \]3. Limite de la suite
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On a :
\[ 0\le 4-u_n \le 4\left(\frac14\right)^n. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty} 4\left(\frac14\right)^n = 0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty}(4-u_n)=0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=4. } \]Exercice 27
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ \begin{cases} u_0=2,\\[3pt] u_{n+1}=\dfrac23u_n-n-\dfrac83, \qquad n\in\mathbb N. \end{cases} \] 1. Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose : \[ v_n=u_n+\alpha n-1, \qquad \alpha\in\mathbb R. \] Déterminer la valeur de \(\alpha\) pour laquelle la suite \((v_n)\) est géométrique.
Dans la suite, on prend pour \(\alpha\) la valeur trouvée à la question 1.
2. Calculer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Exprimer : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n \] en fonction de \(n\), puis calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \] 4. Exprimer : \[ T_n=u_0+u_1+\cdots+u_n \] en fonction de \(n\).
1. Détermination de \(\alpha\)
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Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ v_{n+1} = u_{n+1}+\alpha(n+1)-1. \]En utilisant la relation de récurrence :
\[ v_{n+1} = \frac23u_n-n-\frac83 + \alpha n+\alpha-1. \]Or :
\[ v_n=u_n+\alpha n-1. \]Donc :
\[ u_n=v_n-\alpha n+1. \]En remplaçant \(u_n\) :
\[ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac23 \left(v_n-\alpha n+1\right) -n-\frac83+\alpha n+\alpha-1\\ &= \frac23v_n + \left( -\frac{2\alpha}{3}-1+\alpha \right)n + \frac23-\frac83+\alpha-1\\ &= \frac23v_n + \left( \frac{\alpha}{3}-1 \right)n + (\alpha-3). \end{aligned} \]Pour que la suite \((v_n)\) soit géométrique, il faut supprimer le terme dépendant de \(n\) et le terme constant.
On doit donc avoir :
\[ \frac{\alpha}{3}-1=0. \]Ainsi :
\[ \boxed{\alpha=3}. \]Pour cette valeur, on a également :
\[ \alpha-3=0. \]La relation devient :
\[ \boxed{ v_{n+1}=\frac23v_n. } \]La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison :
\[ \boxed{q=\frac23}. \]2. Expressions de \(v_n\) et \(u_n\)
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Pour \(\alpha=3\), on a :
\[ v_n=u_n+3n-1. \]Le premier terme de la suite \((v_n)\) est :
\[ v_0=u_0-1=2-1=1. \]Comme \((v_n)\) est géométrique de premier terme \(v_0=1\) et de raison \(\frac23\), on obtient :
\[ \boxed{ v_n= \left(\frac23\right)^n. } \]Or :
\[ u_n=v_n-3n+1. \]Donc :
\[ \boxed{ u_n= \left(\frac23\right)^n-3n+1. } \]La suite auxiliaire permet de transformer une relation de récurrence non homogène en une relation géométrique simple : \[ v_{n+1}=\frac23v_n. \]
3. Calcul de \(S_n\) et de sa limite
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On a :
\[ S_n = v_0+v_1+\cdots+v_n. \]Comme :
\[ v_k= \left(\frac23\right)^k, \]on obtient :
\[ S_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\frac23\right)^k. \]Il s’agit d’une somme géométrique de raison \(\frac23\ne1\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} S_n &= \frac{ 1-\left(\frac23\right)^{n+1} }{ 1-\frac23 }\\ &= 3\left[ 1-\left(\frac23\right)^{n+1} \right]. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ S_n= 3\left[ 1-\left(\frac23\right)^{n+1} \right]. } \]Comme :
\[ \left(\frac23\right)^{n+1} \longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=3. } \]4. Expression de \(T_n\)
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On a :
\[ T_n = \sum_{k=0}^{n}u_k. \]Or :
\[ u_k=v_k-3k+1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} T_n &= \sum_{k=0}^{n} \left(v_k-3k+1\right)\\ &= \sum_{k=0}^{n}v_k - 3\sum_{k=0}^{n}k + \sum_{k=0}^{n}1. \end{aligned} \]On utilise :
\[ \sum_{k=0}^{n}v_k=S_n, \] \[ \sum_{k=0}^{n}k = \frac{n(n+1)}2 \]et :
\[ \sum_{k=0}^{n}1=n+1. \]Ainsi :
\[ T_n = S_n - \frac{3n(n+1)}2 + (n+1). \]En remplaçant \(S_n\) :
\[ \boxed{ T_n = 3\left[ 1-\left(\frac23\right)^{n+1} \right] - \frac{3n(n+1)}2 + n+1. } \]Exercice 28
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=2 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n^2}{3}+2} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\ge\sqrt3. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite.
1. Minoration de la suite
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Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\ge\sqrt3. \]Pour \(n=0\) :
\[ u_0=2. \]Or :
\[ 2\ge\sqrt3. \]La propriété est donc vraie au rang \(0\).
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ u_n\ge\sqrt3. \]Comme les deux membres sont positifs :
\[ u_n^2\ge3. \]Donc :
\[ \frac{u_n^2}{3}+2 \ge 1+2 = 3. \]La fonction racine carrée étant croissante :
\[ \sqrt{ \frac{u_n^2}{3}+2 } \ge \sqrt3. \]Or :
\[ u_{n+1} = \sqrt{ \frac{u_n^2}{3}+2 }. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}\ge\sqrt3. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\ge\sqrt3. } \]2. Monotonie de la suite
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ u_{n+1}^2 = \frac{u_n^2}{3}+2. \]Calculons la différence :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}^2-u_n^2 &= \frac{u_n^2}{3}+2-u_n^2\\ &= 2-\frac{2u_n^2}{3}\\ &= \frac23(3-u_n^2). \end{aligned} \]D’après la question précédente :
\[ u_n\ge\sqrt3. \]Donc :
\[ u_n^2\ge3. \]Ainsi :
\[ 3-u_n^2\le0. \]Par conséquent :
\[ u_{n+1}^2-u_n^2\le0. \]Comme \(u_n\ge0\) et \(u_{n+1}\ge0\), on en déduit :
\[ u_{n+1}\le u_n. \]Donc :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est décroissante}. } \]3. Convergence et limite
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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(\sqrt3\).
D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]Comme \(u_n\ge\sqrt3\), on a :
\[ \ell\ge\sqrt3. \]La fonction :
\[ x\longmapsto \sqrt{\frac{x^2}{3}+2} \]est continue. En passant à la limite dans la relation de récurrence :
\[ \ell = \sqrt{\frac{\ell^2}{3}+2}. \]Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré :
\[ \ell^2 = \frac{\ell^2}{3}+2. \]Donc :
\[ \frac23\ell^2=2. \]Ainsi :
\[ \ell^2=3. \]Comme \(\ell\ge0\) :
\[ \boxed{\ell=\sqrt3}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt3. } \]Cet article propose une correction détaillée des exercices 26 à 28 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Les exercices portent sur les suites récurrentes, la contraction de l’écart à une limite, l’utilisation d’une suite auxiliaire géométrique et le théorème de convergence monotone.
Savoir reconnaître et utiliser plusieurs méthodes classiques pour étudier une suite récurrente : encadrement par récurrence, contraction, transformation en suite géométrique, monotonie, minoration et détermination d’un point fixe.
- Montrer que les termes de la suite restent dans un intervalle adapté.
- Contrôler l’écart entre \(u_n\) et la limite attendue.
- Introduire une suite auxiliaire lorsque la récurrence n’est pas homogène.
- Établir la monotonie et l’existence d’une borne.
- Utiliser la continuité de la fonction de récurrence pour calculer la limite.
| Exercice | Méthode principale | Résultat essentiel |
|---|---|---|
| 26 | Contraction de l’écart au point fixe | \(u_n\to4\) |
| 27 | Suite auxiliaire géométrique | \(v_n=\left(\frac23\right)^n\) |
| 28 | Décroissance et minoration | \(u_n\to\sqrt3\) |
L’équation du point fixe permet seulement de déterminer les valeurs possibles de la limite. Il faut d’abord démontrer la convergence, soit par encadrement, soit par contraction, soit à l’aide du théorème de convergence monotone.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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