Parcours Maths Maroc

Correction du Devoir 4 — Suite récurrente, expression explicite et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 4 Premiers termes Question 1 Question 2 Question 3 Rappel de l’énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=-2 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ u_{n+1}=u_n+n^2-n. \] 1. Montrer que, pour tout entier \(n\ge3\) : \[ u_n\gt n. \] 2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\). 3. On donne : \[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2 \] et : \[ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \] Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis retrouver la limite de \((u_n)\). Rectification nécessaire : La propriété demandée dans la première question est fausse au rang \(n=3\). En effet : \[ u_1=-2,\qquad u_2=-2,\qquad u_3=0. \] Donc : \[ u...

Correction du Devoir 3 — Moyennes arithmétiques et convergence des suites Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 3 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite réelle. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ S_n=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}. \] 1. On suppose que \(u_n\longrightarrow0\). a) Soit \(\varepsilon\gt0\). Montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\) : \[ |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n}+\varepsilon, \] où \(M\) est une constante dépendant des premiers termes de la suite. b) En déduire que : \[ S_n\longrightarrow0. \] 2. On considère la suite définie par : \[ u_n=(-1)^n. \] Étudier la convergence de \((S_n)\) et comparer avec celle de \((u_n)\). 3. On suppose que : \[ u_n\longrightarrow\ell. \] Montrer que : \[ ...

Correction du Devoir 2 — Paradoxe d’Achille et de la tortue Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 2 Vitesses Étapes du mouvement Temps total Vérification Rappel de l’énoncé : Achille fait une course avec une tortue. Il part \(100\) mètres derrière elle, mais il va dix fois plus vite. Lorsque Achille arrive au point de départ initial de la tortue, celle-ci a parcouru \(10\) mètres. Le raisonnement est ensuite répété indéfiniment. En notant \(v\) la vitesse constante d’Achille, calculer le temps nécessaire à Achille pour dépasser la tortue. Rectification de l’énoncé : Le manuel indique que, pendant qu’Achille parcourt les \(10\) mètres suivants, la tortue avance de \(10\) centimètres. Cette valeur est incorrecte. Puisque la vitesse de la tortue est dix fois plus petite que celle d’Achille, elle parcourt pendant ce temps : \[ 1\ \text{mètre}. ...

Correction du Devoir 1 — Problèmes de synthèse sur les suites numériques Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 1 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 1 — Sommes contenant des puissances de \(x\) Rappel de la question : Pour \(x\in]0;1[\), calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}x^k \] et : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − 1. Première limite Posons : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}x^k. \] Comme \(x\ne1\), la somme géométrique donne : \[ S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}. \] Or : \[ 0\lt x\lt1. \] Donc : \[ x^{n+1}\longrightarrow0. \] Par conséquent : \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac1{1-x}. } \] 2. Deuxième limite Posons : \[ T_n=\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] ...

Correction du devoir 5 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Limite symétrique 2. Dérivabilité de g 3. Fonction partie entière Prolongement 1) Limite symétrique et dérivabilité Soit \(f\) une fonction dérivable en un point \(x_0\). a) Montrer que : \[ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0). \] b) Réciproquement, si la limite précédente existe, peut-on dire que \(f\) est dérivable en \(x_0\) ? a) Montrer la limite Lire la réponse + Masquer la réponse − On écrit : \[ f(x_0+h)-f(x_0-h) = \bigl(f(x_0+h)-f(x_0)\bigr) + \bigl(f(x_0)-f(x_0-h)\bigr). \] Donc, pour \(h\neq0\) : \[ \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} = \frac12 \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} + \frac12 \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}. \] Dans le deuxième quotient, on pose \(u=-h\). Lorsque \(h\to0\), on a aussi \(u\to0\), et : \[ \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h} = \frac{f(x_0)-f(x_0+u)}{-u} = \frac{f(x_0+u)-f(x_0)}{u}. \] Comme \(f\) est dérivable en \...

Correction du devoir 4 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir Partie A — Étude de f Partie B — Approximation de α Partie A — Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) par : \[ f(x)=x^3+4x^2+6x-1. \] 1) Calculer \(f(0)\), \(f\left(\dfrac12\right)\), \(f(1)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule directement : \[ f(0)=0+0+0-1=-1. \] Ensuite : \[ f\left(\frac12\right) = \left(\frac12\right)^3 + 4\left(\frac12\right)^2 + 6\left(\frac12\right) - 1. \] Donc : \[ f\left(\frac12\right) = \frac18+1+3-1 = \frac18+3 = \frac{25}{8}. \] De même : \[ f(1)=1+4+6-1=10. \] Enfin, lorsque \(x\to+\infty\), le terme dominant est \(x^3\). Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \] \[ f(0)=-1,\qquad f\left(\frac12\right)=\frac{25}{8},\qquad f(1)=10, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \] 2) Calcu...