Correction du Devoir 2 — Paradoxe d’Achille et de la tortue
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Achille fait une course avec une tortue. Il part \(100\) mètres derrière elle, mais il va dix fois plus vite.
Lorsque Achille arrive au point de départ initial de la tortue, celle-ci a parcouru \(10\) mètres. Le raisonnement est ensuite répété indéfiniment.
En notant \(v\) la vitesse constante d’Achille, calculer le temps nécessaire à Achille pour dépasser la tortue.
Le manuel indique que, pendant qu’Achille parcourt les \(10\) mètres suivants, la tortue avance de \(10\) centimètres.
Cette valeur est incorrecte. Puisque la vitesse de la tortue est dix fois plus petite que celle d’Achille, elle parcourt pendant ce temps : \[ 1\ \text{mètre}. \] Les distances successives parcourues par Achille sont donc : \[ 100,\quad 10,\quad 1,\quad \frac1{10},\quad\ldots \]
1. Vitesses d’Achille et de la tortue
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On note \(v\) la vitesse constante d’Achille.
Achille allant dix fois plus vite que la tortue, la vitesse de celle-ci est :
\[ \boxed{ \frac{v}{10}. } \]2. Décomposition du mouvement
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Première étape
Achille parcourt les \(100\) mètres qui le séparent du point de départ initial de la tortue.
Le temps nécessaire est :
\[ t_0=\frac{100}{v}. \]Pendant ce temps, la tortue parcourt :
\[ \frac{v}{10}\times\frac{100}{v} = 10. \]Elle avance donc de \(10\) mètres.
Deuxième étape
Achille doit maintenant parcourir ces \(10\) mètres.
Le temps nécessaire est :
\[ t_1=\frac{10}{v}. \]Pendant ce temps, la tortue parcourt :
\[ \frac{v}{10}\times\frac{10}{v} = 1. \]Elle avance donc de \(1\) mètre.
Étapes suivantes
Achille doit ensuite parcourir successivement :
\[ 1, \qquad \frac1{10}, \qquad \frac1{100}, \qquad\ldots \]Les durées correspondantes sont :
\[ \frac1v, \qquad \frac1{10v}, \qquad \frac1{100v}, \qquad\ldots \]Les durées successives forment donc une suite géométrique de premier terme :
\[ \frac{100}{v} \]et de raison :
\[ \frac1{10}. \]Le nombre d’étapes est infini, mais les durées deviennent de plus en plus petites. Il faut donc étudier la limite de leur somme.
3. Calcul du temps total
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Après \(n+1\) étapes, le temps écoulé est :
\[ T_n = \frac{100}{v} + \frac{10}{v} + \frac1v + \cdots + \frac{100}{v} \left(\frac1{10}\right)^n. \]Donc :
\[ T_n = \frac{100}{v} \sum_{k=0}^{n} \left(\frac1{10}\right)^k. \]La somme est géométrique. Ainsi :
\[ T_n = \frac{100}{v} \times \frac{ 1-\left(\frac1{10}\right)^{n+1} }{ 1-\frac1{10} }. \]Or :
\[ 1-\frac1{10} = \frac9{10}. \]Donc :
\[ T_n = \frac{1000}{9v} \left[ 1-\left(\frac1{10}\right)^{n+1} \right]. \]Comme :
\[ 0\lt\frac1{10}\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac1{10}\right)^{n+1} \longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}T_n = \frac{1000}{9v}. } \]Achille rejoint donc la tortue après un temps égal à :
\[ \boxed{ T=\frac{1000}{9v}. } \]Il la dépasse immédiatement après cet instant.
4. Vérification des positions
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Pendant le temps :
\[ T=\frac{1000}{9v}, \]la distance parcourue par Achille est :
\[ \begin{aligned} vT &= v\times\frac{1000}{9v}\\ &= \frac{1000}{9}. \end{aligned} \]La tortue parcourt pendant le même temps :
\[ \begin{aligned} \frac{v}{10}T &= \frac{v}{10} \times \frac{1000}{9v}\\ &= \frac{100}{9}. \end{aligned} \]Comme elle avait initialement \(100\) mètres d’avance, sa position est :
\[ 100+\frac{100}{9} = \frac{1000}{9}. \]Les deux positions sont donc égales :
\[ \boxed{ vT = 100+\frac{v}{10}T = \frac{1000}{9}. } \]Le temps nécessaire à Achille pour rejoindre la tortue est : \[ \boxed{ T=\frac{1000}{9v}. } \] Lorsque \(v\) est exprimée en mètres par seconde, \(T\) est exprimé en secondes.
Cet article propose une correction détaillée du Devoir 2 de la partie Problèmes de synthèse — Se préparer aux devoirs du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid.
Modéliser les différentes étapes d’un mouvement par une suite géométrique, calculer la somme des durées successives et déterminer le temps nécessaire à Achille pour rejoindre puis dépasser la tortue.
Le raisonnement de Zénon décompose le mouvement en une infinité d’étapes. Cependant, la somme des durées de ces étapes possède une limite finie. Une infinité d’étapes ne signifie donc pas nécessairement une durée infinie.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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