Correction du Devoir 4 — Suite récurrente, expression explicite et limite
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=-2 \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ u_{n+1}=u_n+n^2-n. \] 1. Montrer que, pour tout entier \(n\ge3\) : \[ u_n\gt n. \] 2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
3. On donne : \[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2 \] et : \[ \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6. \] Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis retrouver la limite de \((u_n)\).
La propriété demandée dans la première question est fausse au rang \(n=3\). En effet : \[ u_1=-2,\qquad u_2=-2,\qquad u_3=0. \] Donc : \[ u_3=0\not\gt3. \] La propriété correcte est : \[ \boxed{ (\forall n\ge4)\qquad u_n\gt n. } \] La correction qui suit utilise cette formulation rectifiée.
Calcul des premiers termes
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Pour \(n=0\) :
\[ \begin{aligned} u_1 &= u_0+0^2-0\\ &= -2. \end{aligned} \]Pour \(n=1\) :
\[ \begin{aligned} u_2 &= u_1+1^2-1\\ &= -2. \end{aligned} \]Pour \(n=2\) :
\[ \begin{aligned} u_3 &= u_2+2^2-2\\ &= 0. \end{aligned} \]Pour \(n=3\) :
\[ \begin{aligned} u_4 &= u_3+3^2-3\\ &= 6. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ u_3=0\not\gt3 \]tandis que :
\[ u_4=6\gt4. \]1. Montrer que \(u_n\gt n\) pour tout \(n\ge4\)
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Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\ge4)\qquad u_n\gt n. \]Initialisation
Au rang \(n=4\) :
\[ u_4=6. \]Donc :
\[ u_4\gt4. \]La propriété est vraie au rang \(4\).
Hérédité
Soit \(n\ge4\). Supposons que :
\[ u_n\gt n. \]D’après la relation de récurrence :
\[ u_{n+1}=u_n+n^2-n. \]En utilisant l’hypothèse de récurrence :
\[ \begin{aligned} u_{n+1} &\gt n+n^2-n\\ &= n^2. \end{aligned} \]Or, pour tout \(n\ge4\) :
\[ n^2\gt n+1. \]En effet :
\[ n^2-(n+1) = n^2-n-1 \gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}\gt n+1. \]La propriété est donc héréditaire.
Conclusion
Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\ge4)\qquad u_n\gt n. } \]L’hypothèse \(u_n\gt n\) permet de minorer \(u_{n+1}\) par \(n^2\), puis on compare \(n^2\) à \(n+1\).
2. Limite de la suite \((u_n)\)
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Pour tout entier \(n\ge4\) :
\[ u_n\gt n. \]Or :
\[ n\longrightarrow+\infty. \]D’après le théorème de comparaison :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. } \]3. Expression de \(u_n\) en fonction de \(n\)
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Pour tout entier naturel \(k\) :
\[ u_{k+1}-u_k=k^2-k. \]Pour \(n\ge1\), sommons cette égalité de \(k=0\) à \(k=n-1\) :
\[ \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k) = \sum_{k=0}^{n-1}(k^2-k). \]La somme du membre de gauche est télescopique :
\[ \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k) = u_n-u_0. \]Ainsi :
\[ u_n-u_0 = \sum_{k=0}^{n-1}k^2 - \sum_{k=0}^{n-1}k. \]Les termes correspondant à \(k=0\) étant nuls :
\[ u_n-u_0 = \sum_{k=1}^{n-1}k^2 - \sum_{k=1}^{n-1}k. \]En utilisant les sommes données :
\[ \sum_{k=1}^{n-1}k = \frac{n(n-1)}2 \]et :
\[ \sum_{k=1}^{n-1}k^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}6. \]Comme \(u_0=-2\), on obtient :
\[ u_n+2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}6 - \frac{n(n-1)}2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} u_n &= -2+ \frac{n(n-1)(2n-1)}6 - \frac{3n(n-1)}6\\ &= -2+ \frac{n(n-1)(2n-4)}6\\ &= -2+ \frac{n(n-1)(n-2)}3. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n = \frac{n(n-1)(n-2)}3-2. } \]Retrouver la limite
En développant l’expression de \(u_n\) :
\[ \begin{aligned} u_n &= \frac{n(n-1)(n-2)}3-2\\ &= \frac13n^3-n^2+\frac23n-2. \end{aligned} \]Le terme de plus haut degré est :
\[ \frac13n^3. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. } \]On retrouve bien la limite obtenue à la question 2.
Cet article propose une correction détaillée du Devoir 4 de la partie Problèmes de synthèse — Se préparer aux devoirs du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid.
Utiliser un raisonnement par récurrence pour comparer une suite à la suite \((n)\), en déduire sa limite, puis déterminer son expression explicite à l’aide d’une somme télescopique et des sommes usuelles.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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