Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 44 à 47 — Sommes partielles, comparaison et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 44 Exercice 45 Exercice 46 Exercice 47 Exercice 44 Énoncé : Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}, \] \[ v_n=u_n-2\sqrt{n+1} \] et : \[ w_n=u_n-2\sqrt n. \] 1. Étudier la monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\). 2. Montrer que les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont adjacentes. 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour tout entier \(n\ge1\) : \[ u_{n+1} = u_n+\frac1{\sqrt{n+1}}. \] Donc : \[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-2\sqrt{n+2} - \left( u_n-2\sqrt{n+1} \right)\\ &= \frac1{\sqrt{n+1}} - 2\left( ...

Correction des exercices 40 à 42 — Racines d’équations, suites adjacentes et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 40 Exercice 41 Exercice 42 Exercice 40 Énoncé : Pour tout entier \(n\ge1\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f_n(x)=x^3+nx-1. \] 1. Montrer que l’équation : \[ f_n(x)=0 \] admet une unique solution \(x_n\) dans \(]0,1[\). 2.a) Montrer que la suite \((x_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante. 2.b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente. 3. Montrer que : \[ 0\lt x_n\lt\frac1n, \] puis déterminer la limite de \((x_n)\). 1. Existence et unicité de \(x_n\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour tout entier \(n\ge1\), la fonction \(f_n\) est un polynôme. Elle est donc continue sur \(\mathbb R\). Sa dérivée est : \[ f_n...

Correction de l’exercice 32 — Suite homographique, contraction et suite géométrique Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 32 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=3 \] et : \[ u_{n+1} = \frac{8(u_n-1)}{u_n+2} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 2\lt u_n\lt4. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\), puis en déduire qu’elle est convergente. 3.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_{n+1} \le \frac45(4-u_n). \] 3.b) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 4-u_n \le \left(\frac45\right)^n, \] puis déterminer la limite de \((u_n)\). 4. On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ v_n= \frac{u_n-4}{u_n-2}. \...

Correction des exercices 29 à 31 — Suites récurrentes et transformations Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 29 Exercice 30 Exercice 31 Exercice 29 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0\in[0,1] \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt{\frac{1+u_n}{2}} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1. \] 2. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente. 3.a) On pose : \[ u_0=\cos\theta, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \] Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n= \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right). \] 3.b) En déduire la limite de la suite \((u_n)\). 1. Encadrement de la suite Lire la réponse + Masquer la réponse − Montrons par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le...