Correction des exercices 40 à 42 — Racines d’équations, suites adjacentes et convergence — Al Moufid
Correction des exercices 40 à 42 — Racines d’équations, suites adjacentes et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 40
Pour tout entier \(n\ge1\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f_n(x)=x^3+nx-1. \] 1. Montrer que l’équation : \[ f_n(x)=0 \] admet une unique solution \(x_n\) dans \(]0,1[\).
2.a) Montrer que la suite \((x_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante.
2.b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente.
3. Montrer que : \[ 0\lt x_n\lt\frac1n, \] puis déterminer la limite de \((x_n)\).
1. Existence et unicité de \(x_n\)
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Pour tout entier \(n\ge1\), la fonction \(f_n\) est un polynôme. Elle est donc continue sur \(\mathbb R\).
Sa dérivée est :
\[ f_n'(x)=3x^2+n. \]Comme \(n\ge1\), on a :
\[ 3x^2+n\gt0 \qquad(\forall x\in\mathbb R). \]Ainsi :
\[ \boxed{ f_n\text{ est strictement croissante sur }\mathbb R. } \]De plus :
\[ f_n(0)=-1\lt0 \]et :
\[ f_n(1)=1+n-1=n\gt0. \]La fonction \(f_n\) est continue sur \([0,1]\). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f_n(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]0,1[\).
Comme \(f_n\) est strictement croissante, cette solution est unique.
On la note \(x_n\). Ainsi :
\[ \boxed{ (\forall n\ge1)\qquad 0\lt x_n\lt1. } \]2.a) Monotonie de la suite \((x_n)\)
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Comme \(x_n\) est solution de l’équation \(f_n(x)=0\), on a :
\[ x_n^3+nx_n-1=0. \]Calculons \(f_{n+1}(x_n)\) :
\[ \begin{aligned} f_{n+1}(x_n) &= x_n^3+(n+1)x_n-1\\ &= \left( x_n^3+nx_n-1 \right) +x_n\\ &= x_n. \end{aligned} \]Or :
\[ x_n\gt0. \]Donc :
\[ f_{n+1}(x_n)\gt0. \]Par ailleurs :
\[ f_{n+1}(x_{n+1})=0. \]Comme \(f_{n+1}\) est strictement croissante :
\[ f_{n+1}(x_{n+1}) \lt f_{n+1}(x_n) \]implique :
\[ x_{n+1}\lt x_n. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (x_n)_{n\ge1}\text{ est strictement décroissante}. } \]2.b) Convergence de la suite
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La suite \((x_n)\) est strictement décroissante. De plus :
\[ x_n\gt0. \]Elle est donc minorée par \(0\).
D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (x_n)\text{ est convergente}. } \]3. Encadrement et limite
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L’égalité :
\[ f_n(x_n)=0 \]donne :
\[ x_n^3+nx_n=1. \]Comme \(x_n\gt0\), on a :
\[ x_n^3\gt0. \]Par conséquent :
\[ nx_n\lt1. \]Comme \(n\gt0\) :
\[ x_n\lt\frac1n. \]Ainsi :
\[ \boxed{ 0\lt x_n\lt\frac1n. } \]Or :
\[ \frac1n\longrightarrow0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}x_n=0. } \]Exercice 41
La version imprimée définit deux fois \(u_{n+1}\) et ne définit pas \(v_{n+1}\). La deuxième relation correcte est : \[ \boxed{ v_{n+1} = \frac{u_n+4v_n}{5}. } \] La correction ci-dessous utilise cette relation cohérente avec toutes les questions suivantes de l’exercice.
On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \[ u_0=-1, \qquad v_0=2 \] et : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{u_n+v_n}{2},\\[7pt] v_{n+1} = \dfrac{u_n+4v_n}{5}, \end{cases} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\lt v_n. \] 1.b) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.
2. On pose : \[ t_n=u_n+\alpha v_n \] et : \[ s_n=u_n+\beta v_n. \] a) Déterminer deux réels distincts \(\alpha\) et \(\beta\) pour lesquels les suites \((t_n)\) et \((s_n)\) sont géométriques.
b) Exprimer \(t_n\) et \(s_n\) en fonction de \(n\).
3. Déterminer la limite commune des suites \((u_n)\) et \((v_n)\).
1.a) Comparaison de \(u_n\) et \(v_n\)
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Calculons la différence :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-u_{n+1} &= \frac{u_n+4v_n}{5} - \frac{u_n+v_n}{2}\\ &= \frac{ 2u_n+8v_n-5u_n-5v_n }{10}\\ &= \frac3{10}(v_n-u_n). \end{aligned} \]Au rang \(0\) :
\[ v_0-u_0 = 2-(-1) = 3\gt0. \]La relation :
\[ v_{n+1}-u_{n+1} = \frac3{10}(v_n-u_n) \]montre, par récurrence, que :
\[ v_n-u_n\gt0. \]Donc :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\lt v_n. } \]De plus, la suite \((v_n-u_n)\) est géométrique de premier terme \(3\) et de raison \(\frac3{10}\). Ainsi :
\[ \boxed{ v_n-u_n = 3\left(\frac3{10}\right)^n. } \]1.b) Adjacence des deux suites
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Pour la suite \((u_n)\) :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{u_n+v_n}{2}-u_n\\ &= \frac{v_n-u_n}{2}. \end{aligned} \]Comme \(v_n-u_n\gt0\) :
\[ u_{n+1}-u_n\gt0. \]Donc :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante}. } \]Pour la suite \((v_n)\) :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= \frac{u_n+4v_n}{5}-v_n\\ &= \frac{u_n-v_n}{5}. \end{aligned} \]Comme \(u_n-v_n\lt0\) :
\[ v_{n+1}-v_n\lt0. \]Donc :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est strictement décroissante}. } \]Enfin :
\[ v_n-u_n = 3\left(\frac3{10}\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac3{10}\right)^n \longrightarrow0. \]Donc :
\[ v_n-u_n\longrightarrow0. \]Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont donc adjacentes.
\[ \boxed{ (u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont convergentes et ont la même limite}. } \]2.a) Détermination de \(\alpha\) et \(\beta\)
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Considérons une suite de la forme :
\[ w_n=u_n+\lambda v_n. \]Alors :
\[ \begin{aligned} w_{n+1} &= u_{n+1}+\lambda v_{n+1}\\ &= \frac{u_n+v_n}{2} + \lambda \frac{u_n+4v_n}{5}\\ &= \left( \frac12+\frac{\lambda}{5} \right)u_n + \left( \frac12+\frac{4\lambda}{5} \right)v_n. \end{aligned} \]Pour que \((w_n)\) soit géométrique, il faut qu’il existe un réel \(q\) tel que :
\[ w_{n+1}=q(u_n+\lambda v_n). \]On doit donc avoir :
\[ q = \frac12+\frac{\lambda}{5} \]et :
\[ q\lambda = \frac12+\frac{4\lambda}{5}. \]En remplaçant \(q\) :
\[ \lambda \left( \frac12+\frac{\lambda}{5} \right) = \frac12+\frac{4\lambda}{5}. \]Après simplification :
\[ 2\lambda^2-3\lambda-5=0. \]Or :
\[ 2\lambda^2-3\lambda-5 = (2\lambda-5)(\lambda+1). \]Donc :
\[ \lambda=-1 \qquad\text{ou}\qquad \lambda=\frac52. \]On choisit :
\[ \boxed{\alpha=-1} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\beta=\frac52}. \]Ainsi :
\[ t_n=u_n-v_n \]et :
\[ s_n=u_n+\frac52v_n. \]2.b) Expressions de \(t_n\) et \(s_n\)
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Pour :
\[ t_n=u_n-v_n, \]on a :
\[ t_{n+1} = \frac3{10}t_n. \]Son premier terme vaut :
\[ t_0=u_0-v_0=-1-2=-3. \]Donc :
\[ \boxed{ t_n = -3\left(\frac3{10}\right)^n. } \]Pour :
\[ s_n=u_n+\frac52v_n, \]la raison obtenue est :
\[ q=1. \]Ainsi :
\[ s_{n+1}=s_n. \]La suite \((s_n)\) est constante. Son premier terme est :
\[ s_0 = -1+\frac52\times2 = 4. \]Donc :
\[ \boxed{s_n=4.} \]3. Limite commune
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Notons \(\ell\) la limite commune des suites \((u_n)\) et \((v_n)\).
Comme :
\[ u_n+\frac52v_n=4, \]en passant à la limite :
\[ \ell+\frac52\ell=4. \]Donc :
\[ \frac72\ell=4. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \ell=\frac87. } \]Les relations : \[ u_n-v_n = -3\left(\frac3{10}\right)^n \] et : \[ u_n+\frac52v_n=4 \] donnent : \[ \boxed{ u_n = \frac87 - \frac{15}{7} \left(\frac3{10}\right)^n } \] et : \[ \boxed{ v_n = \frac87 + \frac67 \left(\frac3{10}\right)^n. } \]
Exercice 42
Pour tout entier \(n\ge1\) et tout réel \(x\gt0\), on pose : \[ P_n(x) = x^n+x^{n-1}+\cdots+x^2+x-1. \] 1. Montrer que l’équation : \[ P_n(x)=0 \] admet une unique solution positive \(\alpha_n\).
2. Montrer que la suite \((\alpha_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante, puis qu’elle est convergente.
3. Déterminer la limite de la suite \((\alpha_n)\).
1. Existence et unicité de \(\alpha_n\)
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La fonction \(P_n\) est un polynôme. Elle est donc continue sur \(]0,+\infty[\).
Pour tout réel \(x\gt0\), sa dérivée vaut :
\[ P_n'(x) = nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} +\cdots+ 2x+1. \]Tous les termes sont strictement positifs. Donc :
\[ P_n'(x)\gt0 \qquad(\forall x\gt0). \]Ainsi :
\[ \boxed{ P_n\text{ est strictement croissante sur }]0,+\infty[. } \]De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}P_n(x)=-1. \]Pour \(n=1\) :
\[ P_1(x)=x-1. \]Donc :
\[ \boxed{\alpha_1=1.} \]Pour \(n\ge2\) :
\[ P_n(1) = 1+1+\cdots+1-1 = n-1 \gt0. \]D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(P_n(x)=0\) admet une solution dans \(]0,1[\).
La stricte croissance de \(P_n\) garantit l’unicité.
Ainsi :
\[ \boxed{ \alpha_1=1 } \]et, pour tout \(n\ge2\) :
\[ \boxed{ 0\lt\alpha_n\lt1. } \]2. Monotonie et convergence de \((\alpha_n)\)
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Comme :
\[ P_n(\alpha_n)=0, \]on a :
\[ \begin{aligned} P_{n+1}(\alpha_n) &= P_n(\alpha_n)+\alpha_n^{n+1}\\ &= \alpha_n^{n+1}. \end{aligned} \]Or :
\[ \alpha_n^{n+1}\gt0. \]Donc :
\[ P_{n+1}(\alpha_n)\gt0. \]Par ailleurs :
\[ P_{n+1}(\alpha_{n+1})=0. \]Comme \(P_{n+1}\) est strictement croissante :
\[ P_{n+1}(\alpha_{n+1}) \lt P_{n+1}(\alpha_n) \]implique :
\[ \alpha_{n+1}\lt\alpha_n. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\alpha_n)_{n\ge1} \text{ est strictement décroissante}. } \]De plus :
\[ \alpha_n\gt0. \]La suite est donc minorée par \(0\). D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (\alpha_n)\text{ est convergente}. } \]3. Détermination de la limite
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Pour \(n\ge2\), on a :
\[ 0\lt\alpha_n\lt1. \]L’égalité :
\[ P_n(\alpha_n)=0 \]donne :
\[ \alpha_n + \alpha_n^2 +\cdots+ \alpha_n^n = 1. \]Comme \(\alpha_n\ne1\), on utilise la somme géométrique :
\[ \frac{ \alpha_n(1-\alpha_n^n) }{ 1-\alpha_n } = 1. \]En multipliant par \(1-\alpha_n\) :
\[ \alpha_n-\alpha_n^{n+1} = 1-\alpha_n. \]Ainsi :
\[ \boxed{ 2\alpha_n-1 = \alpha_n^{n+1}. } \]Comme :
\[ \alpha_n^{n+1}\gt0, \]on obtient :
\[ 2\alpha_n-1\gt0. \]Donc :
\[ \boxed{ \alpha_n\gt\frac12. } \]Pour tout \(n\ge2\), la décroissance donne :
\[ 0\lt\alpha_n\le\alpha_2\lt1. \]Par conséquent :
\[ 0 \le \alpha_n^{n+1} \le \alpha_2^{n+1}. \]Or :
\[ \alpha_2^{n+1} \longrightarrow0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \alpha_n^{n+1} \longrightarrow0. \]L’identité :
\[ 2\alpha_n-1 = \alpha_n^{n+1} \]donne alors :
\[ 2\alpha_n-1\longrightarrow0. \]Finalement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}\alpha_n = \frac12. } \]La formule de la somme géométrique est utilisée pour \(n\ge2\), car dans ce cas : \[ 0\lt\alpha_n\lt1. \] Le cas \(n=1\), pour lequel \(\alpha_1=1\), a été traité séparément.
Cet article propose une correction détaillée des exercices 40 à 42 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Les exercices portent sur des suites définies par les solutions d’équations dépendant de \(n\), sur deux suites couplées adjacentes et sur une suite de racines positives de polynômes.
Savoir utiliser la continuité, la stricte monotonie et le théorème des valeurs intermédiaires pour définir une suite de solutions, comparer les solutions obtenues à deux rangs successifs, établir l’adjacence de deux suites et introduire des combinaisons auxiliaires géométriques.
- Montrer qu’une équation possède une solution unique.
- Comparer \(f_{n+1}(x_n)\) à \(0\) pour étudier la monotonie d’une suite de solutions.
- Vérifier les trois conditions d’adjacence.
- Construire des combinaisons linéaires géométriques.
- Utiliser une somme géométrique pour transformer une équation polynomiale.
- Encadrer une puissance dépendant simultanément de la base et de l’exposant.
Pour étudier une suite formée par les solutions d’équations, il est souvent efficace de comparer la fonction du rang \(n+1\) en la solution du rang \(n\). Pour deux suites couplées, l’étude de leur différence et de combinaisons linéaires adaptées permet d’obtenir l’adjacence, les expressions explicites et la limite commune.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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