Correction des exercices 44 à 47 — Sommes partielles, comparaison et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 44
Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}, \] \[ v_n=u_n-2\sqrt{n+1} \] et : \[ w_n=u_n-2\sqrt n. \] 1. Étudier la monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\).
2. Montrer que les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont adjacentes.
3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1. Monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\)
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Pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ u_{n+1} = u_n+\frac1{\sqrt{n+1}}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-2\sqrt{n+2} - \left( u_n-2\sqrt{n+1} \right)\\ &= \frac1{\sqrt{n+1}} - 2\left( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \right). \end{aligned} \]Rationalisons la différence :
\[ \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} = \frac1{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}. \]Ainsi :
\[ v_{n+1}-v_n = \frac1{\sqrt{n+1}} - \frac2{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}. \]Or :
\[ \sqrt{n+2} \gt \sqrt{n+1}. \]Donc :
\[ \sqrt{n+2}+\sqrt{n+1} \gt 2\sqrt{n+1}. \]Les deux membres étant strictement positifs :
\[ \frac2{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \lt \frac1{\sqrt{n+1}}. \]Par conséquent :
\[ v_{n+1}-v_n\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est strictement croissante}. } \]Monotonie de la suite \((w_n)\)
On a :
\[ \begin{aligned} w_{n+1}-w_n &= u_{n+1}-2\sqrt{n+1} - \left( u_n-2\sqrt n \right)\\ &= \frac1{\sqrt{n+1}} - 2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt n \right). \end{aligned} \]Or :
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt n = \frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \]Donc :
\[ w_{n+1}-w_n = \frac1{\sqrt{n+1}} - \frac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \]Comme :
\[ \sqrt n \lt \sqrt{n+1}, \]on a :
\[ \sqrt{n+1}+\sqrt n \lt 2\sqrt{n+1}. \]Donc :
\[ \frac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \gt \frac1{\sqrt{n+1}}. \]Ainsi :
\[ w_{n+1}-w_n\lt0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (w_n)\text{ est strictement décroissante}. } \]2. Adjacence de \((v_n)\) et \((w_n)\)
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Calculons la différence :
\[ \begin{aligned} w_n-v_n &= u_n-2\sqrt n - \left( u_n-2\sqrt{n+1} \right)\\ &= 2\left( \sqrt{n+1}-\sqrt n \right). \end{aligned} \]En rationalisant :
\[ w_n-v_n = \frac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \]Cette quantité est strictement positive. Donc :
\[ \boxed{ v_n\lt w_n. } \]De plus :
\[ \sqrt{n+1}+\sqrt n \longrightarrow+\infty. \]Ainsi :
\[ \frac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n} \longrightarrow0. \]Donc :
\[ w_n-v_n\longrightarrow0. \]La suite \((v_n)\) est croissante, la suite \((w_n)\) est décroissante et leur différence tend vers zéro.
Par conséquent :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ et }(w_n)\text{ sont adjacentes}. } \]Elles convergent donc vers une même limite réelle, que l’on note \(\ell\).
3. Limite de la suite \((u_n)\)
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D’après la définition de \(w_n\) :
\[ u_n=w_n+2\sqrt n. \]Or :
\[ w_n\longrightarrow\ell \]et :
\[ 2\sqrt n\longrightarrow+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. } \]La convergence de \((w_n)\) donne : \[ u_n-2\sqrt n\longrightarrow\ell. \] La suite \(u_n\) se comporte donc comme \(2\sqrt n\), à une constante additive près.
Exercice 45
Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n = 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n. \] 1. Montrer que : \[ u_{2n}\ge u_n+\frac12. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3. Montrer que : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. \]
1. Comparaison de \(u_{2n}\) et \(u_n\)
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On a :
\[ u_{2n}-u_n = \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k. \]Pour tout entier \(k\) tel que :
\[ n+1\le k\le2n, \]on a :
\[ k\le2n. \]Les deux membres étant strictement positifs :
\[ \frac1k\ge\frac1{2n}. \]La somme :
\[ \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k \]contient exactement \(n\) termes. Donc :
\[ \begin{aligned} u_{2n}-u_n &\ge n\times\frac1{2n}\\ &= \frac12. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ u_{2n}\ge u_n+\frac12. } \]2. Monotonie
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Pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ u_{n+1} = u_n+\frac1{n+1}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac1{n+1}. \]Or :
\[ \frac1{n+1}\gt0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante}. } \]3. Divergence vers \(+\infty\)
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Raisonnons par l’absurde.
Supposons que la suite \((u_n)\) soit majorée. Comme elle est croissante, elle serait convergente.
Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]La suite \((u_{2n})\), qui est une sous-suite de \((u_n)\), convergerait également vers \(\ell\).
Or :
\[ u_{2n}\ge u_n+\frac12. \]En passant à la limite :
\[ \ell\ge\ell+\frac12. \]Cette inégalité est impossible.
La suite \((u_n)\) n’est donc pas majorée. Comme elle est croissante :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. } \]Cette démonstration établit la divergence de la suite harmonique sans utiliser d’intégrales. La comparaison est réalisée par blocs de \(n\) termes compris entre les rangs \(n+1\) et \(2n\).
Exercice 46
Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n=\frac{n^2}{2^n}. \] 1. Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}, \] puis montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que : \[ (\forall n\ge n_0)\qquad u_{n+1}\lt\frac34u_n. \] 2.a) Montrer que : \[ (\forall n\ge n_0)\qquad 0\lt u_n \le \left(\frac34\right)^{n-n_0}u_{n_0}. \] 2.b) En déduire : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2^n}. \]
1. Étude du quotient de deux termes consécutifs
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Pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{ \dfrac{(n+1)^2}{2^{n+1}} }{ \dfrac{n^2}{2^n} }\\ &= \frac{(n+1)^2}{2n^2}\\ &= \frac12 \left( \frac{n+1}{n} \right)^2\\ &= \frac12 \left( 1+\frac1n \right)^2. \end{aligned} \]Or :
\[ 1+\frac1n\longrightarrow1. \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac12. } \]Comme :
\[ \frac12\lt\frac34, \]d’après la définition de la limite, il existe un entier naturel \(n_0\) tel que :
\[ (\forall n\ge n_0)\qquad \frac{u_{n+1}}{u_n} \lt \frac34. \]Comme \(u_n\gt0\), on peut multiplier par \(u_n\) :
\[ \boxed{ (\forall n\ge n_0)\qquad u_{n+1}\lt\frac34u_n. } \]2.a) Majoration géométrique
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Montrons par récurrence que, pour tout entier \(n\ge n_0\) :
\[ 0\lt u_n \le \left(\frac34\right)^{n-n_0}u_{n_0}. \]Pour \(n=n_0\) :
\[ u_{n_0} = \left(\frac34\right)^0u_{n_0}. \]La propriété est donc vraie au rang \(n_0\).
Supposons que, pour un certain entier \(n\ge n_0\), on ait :
\[ u_n \le \left(\frac34\right)^{n-n_0}u_{n_0}. \]D’après la question précédente :
\[ u_{n+1} \lt \frac34u_n. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} u_{n+1} &\lt \frac34u_n\\ &\le \frac34 \left(\frac34\right)^{n-n_0} u_{n_0}\\ &= \left(\frac34\right)^{n+1-n_0} u_{n_0}. \end{aligned} \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\ge n_0)\qquad 0\lt u_n \le \left(\frac34\right)^{n-n_0}u_{n_0}. } \]2.b) Limite de la suite
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Comme :
\[ 0\lt\frac34\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac34\right)^{n-n_0} u_{n_0} \longrightarrow0. \]De plus :
\[ 0\lt u_n \le \left(\frac34\right)^{n-n_0} u_{n_0}. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. } \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{2^n}=0. } \]Le quotient des termes consécutifs tend vers un nombre strictement inférieur à \(1\). À partir d’un certain rang, la suite est donc dominée par une suite géométrique convergeant vers zéro.
Exercice 47
Soit \((u_n)\) une suite positive telle que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le\frac1{2^n}. \] Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose : \[ S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k. \] Montrer que la suite \((S_n)\) est convergente.
Convergence de la suite \((S_n)\)
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Monotonie de la suite \((S_n)\)
Pour tout entier \(n\in\mathbb N\) :
\[ S_{n+1} = S_n+u_{n+1}. \]Donc :
\[ S_{n+1}-S_n=u_{n+1}. \]La suite \((u_n)\) étant positive :
\[ u_{n+1}\ge0. \]Ainsi :
\[ S_{n+1}-S_n\ge0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (S_n)\text{ est croissante}. } \]Majoration de la suite \((S_n)\)
Pour tout entier \(k\in\mathbb N\) :
\[ 0\le u_k\le\frac1{2^k}. \]En sommant de \(k=0\) à \(k=n\) :
\[ 0 \le \sum_{k=0}^{n}u_k \le \sum_{k=0}^{n}\frac1{2^k}. \]Donc :
\[ 0\le S_n \le \sum_{k=0}^{n} \left(\frac12\right)^k. \]La somme du membre de droite est géométrique :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} \left(\frac12\right)^k &= \frac{ 1-\left(\frac12\right)^{n+1} }{ 1-\frac12 }\\ &= 2 \left[ 1-\left(\frac12\right)^{n+1} \right]. \end{aligned} \]Comme :
\[ \left(\frac12\right)^{n+1}\gt0, \]on obtient :
\[ 2 \left[ 1-\left(\frac12\right)^{n+1} \right] \lt2. \]Ainsi :
\[ \boxed{ 0\le S_n\lt2. } \]La suite \((S_n)\) est donc majorée par \(2\).
Conclusion
La suite \((S_n)\) est croissante et majorée.
D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (S_n)\text{ est convergente}. } \]La positivité de \((u_n)\) permet de démontrer la croissance des sommes partielles. La majoration : \[ u_n\le\frac1{2^n} \] permet ensuite de les comparer aux sommes partielles d’une suite géométrique.
Cet article propose une correction détaillée des exercices 44 à 47 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Les exercices portent sur les sommes partielles, les suites adjacentes, les comparaisons par paquets, les majorations géométriques et le théorème de convergence monotone.
Savoir encadrer une somme à l’aide de deux suites adjacentes, démontrer la divergence d’une suite croissante, comparer une suite à une suite géométrique et établir la convergence d’une suite de sommes partielles positives.
- Rationaliser une différence de racines carrées.
- Vérifier les trois conditions d’adjacence.
- Comparer plusieurs termes d’une somme à une même quantité.
- Utiliser une sous-suite pour obtenir une contradiction.
- Étudier le quotient de deux termes consécutifs.
- Majorer une suite par une suite géométrique convergeant vers zéro.
- Majorer des sommes partielles par une somme géométrique.
Les comparaisons de sommes et les majorations géométriques permettent d’étudier la convergence sans calculer nécessairement une expression explicite. Le théorème de convergence monotone reste l’outil central lorsque la monotonie et une borne sont établies.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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