Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 44 à 47 — Sommes partielles, comparaison et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 44 Exercice 45 Exercice 46 Exercice 47 Exercice 44 Énoncé : Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}, \] \[ v_n=u_n-2\sqrt{n+1} \] et : \[ w_n=u_n-2\sqrt n. \] 1. Étudier la monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\). 2. Montrer que les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont adjacentes. 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour tout entier \(n\ge1\) : \[ u_{n+1} = u_n+\frac1{\sqrt{n+1}}. \] Donc : \[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-2\sqrt{n+2} - \left( u_n-2\sqrt{n+1} \right)\\ &= \frac1{\sqrt{n+1}} - 2\left( ...

Correction de l’exercice 43 — Sous-suites adjacentes, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 43 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. \] 3. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad |u_{n+1}-u_n| \le \frac14|u_n-u_{n-1}|. \] 4. On considère les suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) définies par : \[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] a) Vérifier que : \[ \beta_n = 1+\frac1{1+\alpha_n}. \] b) Mo...

Correction des exercices 40 à 42 — Racines d’équations, suites adjacentes et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 40 Exercice 41 Exercice 42 Exercice 40 Énoncé : Pour tout entier \(n\ge1\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f_n(x)=x^3+nx-1. \] 1. Montrer que l’équation : \[ f_n(x)=0 \] admet une unique solution \(x_n\) dans \(]0,1[\). 2.a) Montrer que la suite \((x_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante. 2.b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente. 3. Montrer que : \[ 0\lt x_n\lt\frac1n, \] puis déterminer la limite de \((x_n)\). 1. Existence et unicité de \(x_n\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour tout entier \(n\ge1\), la fonction \(f_n\) est un polynôme. Elle est donc continue sur \(\mathbb R\). Sa dérivée est : \[ f_n...

Correction des exercices 35 à 36 — Continuité, puissances de 2 et suites adjacentes Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 35 Exercice 36 Exercice 35 Énoncé : Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\), continue en \(0\), et vérifiant : \[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f(x)=f(2x). \] 1. Montrer que : \[ (\forall x\in\mathbb R) (\forall n\in\mathbb N)\qquad f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right). \] 2. Montrer que la fonction \(f\) est constante sur \(\mathbb R\). 1. Itération de l’égalité fonctionnelle Lire la réponse + Masquer la réponse − La relation donnée est : \[ f(y)=f(2y) \qquad(\forall y\in\mathbb R). \] Soit \(x\in\mathbb R\). En prenant : \[ y=\frac{x}{2}, \] on obtient : \[ f\left(\frac{x}{2}\right) = f(x). \] Ainsi : \[ f(x) = f\left(\frac{x}{2}\right). \...