Correction des exercices 35 à 36 — Continuité, puissances de 2 et suites adjacentes — Al Moufid

Correction des exercices 35 à 36 — Continuité, puissances de 2 et suites adjacentes

Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 35Exercice 36

Exercice 35

Énoncé :

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\), continue en \(0\), et vérifiant : \[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f(x)=f(2x). \] 1. Montrer que : \[ (\forall x\in\mathbb R) (\forall n\in\mathbb N)\qquad f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right). \] 2. Montrer que la fonction \(f\) est constante sur \(\mathbb R\).

1. Itération de l’égalité fonctionnelle

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La relation donnée est :

\[ f(y)=f(2y) \qquad(\forall y\in\mathbb R). \]

Soit \(x\in\mathbb R\). En prenant :

\[ y=\frac{x}{2}, \]

on obtient :

\[ f\left(\frac{x}{2}\right) = f(x). \]

Ainsi :

\[ f(x) = f\left(\frac{x}{2}\right). \]

Montrons maintenant par récurrence que :

\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad f(x)=f\left(\frac{x}{2^n}\right). \]

Initialisation

Pour \(n=0\) :

\[ f\left(\frac{x}{2^0}\right) = f(x). \]

La propriété est donc vraie au rang \(0\).

Hérédité

Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :

\[ f(x) = f\left(\frac{x}{2^n}\right). \]

En appliquant la relation :

\[ f(y)=f\left(\frac{y}{2}\right) \]

au réel :

\[ y=\frac{x}{2^n}, \]

on obtient :

\[ f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right). \]

Donc :

\[ f(x) = f\left(\frac{x}{2^{n+1}}\right). \]

Par récurrence :

\[ \boxed{ (\forall x\in\mathbb R) (\forall n\in\mathbb N)\qquad f(x) = f\left(\frac{x}{2^n}\right). } \]

Idée utile :
La relation initiale permet de remplacer progressivement \(x\) par : \[ \frac{x}{2}, \quad \frac{x}{2^2}, \quad \frac{x}{2^3}, \quad\ldots \] Ces nombres se rapprochent de \(0\).

2. Montrons que \(f\) est constante

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Fixons un réel \(x\in\mathbb R\).

Comme :

\[ \left|\frac12\right|\lt1, \]

la suite géométrique :

\[ \left(\frac{x}{2^n}\right) \]

converge vers \(0\) :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{x}{2^n}=0. \]

La fonction \(f\) étant continue en \(0\), on a :

\[ \lim_{n\to+\infty} f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(0). \]

Mais, d’après la première question :

\[ f\left(\frac{x}{2^n}\right) = f(x) \qquad(\forall n\in\mathbb N). \]

La suite :

\[ \left( f\left(\frac{x}{2^n}\right) \right) \]

est donc constante et égale à \(f(x)\). Sa limite est par conséquent \(f(x)\).

Par unicité de la limite :

\[ f(x)=f(0). \]

Cette égalité étant vraie pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ \boxed{ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f(x)=f(0). } \]

Donc :

\[ \boxed{ f\text{ est constante sur }\mathbb R. } \]

Remarque pédagogique :
La continuité de \(f\) sur tout \(\mathbb R\) n’est pas nécessaire. La continuité au seul point \(0\) suffit, car la suite \(\frac{x}{2^n}\) converge vers ce point.

Réponse finale de l’exercice 35 : \[ \boxed{ f(x) = f\left(\frac{x}{2^n}\right) \qquad (\forall x\in\mathbb R) (\forall n\in\mathbb N) } \] \[ \boxed{ f(x)=f(0) \qquad(\forall x\in\mathbb R). } \] Par conséquent, \(f\) est constante sur \(\mathbb R\).

Exercice 36

Énoncé :

1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 2^n\ge n+1. \] 2. Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac1{k\,2^k} \] et : \[ v_n = u_n+\frac1n-\frac1{n\,2^n}. \] Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et ont la même limite.

1. Démonstration de \(2^n\ge n+1\)

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Montrons par récurrence que :

\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 2^n\ge n+1. \]

Initialisation

Pour \(n=1\) :

\[ 2^1=2 \]

et :

\[ 1+1=2. \]

Donc :

\[ 2^1\ge1+1. \]

Hérédité

Supposons que, pour un certain entier \(n\ge1\), on ait :

\[ 2^n\ge n+1. \]

Alors :

\[ 2^{n+1} = 2\cdot2^n. \]

D’après l’hypothèse de récurrence :

\[ 2^{n+1} \ge 2(n+1). \]

Or :

\[ 2(n+1)-(n+2) = n. \]

Comme \(n\ge1\) :

\[ 2(n+1)\ge n+2. \]

Ainsi :

\[ 2^{n+1}\ge n+2. \]

Par récurrence :

\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 2^n\ge n+1. } \]

2. Adjacence et convergence des suites uₙ et vₙ

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2.a) Monotonie de la suite \((u_n)\)

Pour tout entier \(n\ge1\) :

\[ u_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac1{k\,2^k}. \]

Donc :

\[ u_{n+1} = u_n + \frac1{(n+1)2^{n+1}}. \]

Ainsi :

\[ u_{n+1}-u_n = \frac1{(n+1)2^{n+1}}. \]

Comme :

\[ \frac1{(n+1)2^{n+1}}\gt0, \]

on obtient :

\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante}. } \]

2.b) Monotonie de la suite \((v_n)\)

On a :

\[ v_{n+1} = u_{n+1} + \frac1{n+1} - \frac1{(n+1)2^{n+1}}. \]

Or :

\[ u_{n+1} = u_n + \frac1{(n+1)2^{n+1}}. \]

En remplaçant \(u_{n+1}\), on obtient :

\[ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_n + \frac1{(n+1)2^{n+1}} + \frac1{n+1} - \frac1{(n+1)2^{n+1}}\\ &= u_n+\frac1{n+1}. \end{aligned} \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_n+\frac1{n+1} - \left( u_n+\frac1n-\frac1{n2^n} \right)\\ &= \frac1{n+1} - \frac1n + \frac1{n2^n}\\ &= -\frac1{n(n+1)} + \frac1{n2^n}. \end{aligned} \]

En réduisant au même dénominateur :

\[ v_{n+1}-v_n = \frac{ n+1-2^n }{ n(n+1)2^n }. \]

D’après la première question :

\[ 2^n\ge n+1. \]

Donc :

\[ n+1-2^n\le0. \]

Le dénominateur étant strictement positif :

\[ v_{n+1}-v_n\le0. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ (v_n)\text{ est décroissante}. } \]

Remarque :
La suite \((v_n)\) n’est pas strictement décroissante dès le premier rang, car : \[ 2^1=1+1. \] On a donc \(v_2=v_1\), puis la décroissance devient stricte.

2.c) Comparaison entre \(u_n\) et \(v_n\)

D’après la définition de \(v_n\) :

\[ v_n-u_n = \frac1n-\frac1{n2^n}. \]

Donc :

\[ v_n-u_n = \frac{2^n-1}{n2^n}. \]

Comme \(2^n\ge1\), on a :

\[ 2^n-1\ge0. \]

Ainsi :

\[ v_n-u_n\ge0. \]

Donc :

\[ \boxed{ u_n\le v_n. } \]

2.d) Limite de la différence

On peut écrire :

\[ v_n-u_n = \frac1n \left( 1-\frac1{2^n} \right). \]

Comme :

\[ 0\le1-\frac1{2^n}\le1, \]

on obtient :

\[ 0 \le v_n-u_n \le \frac1n. \]

Or :

\[ \frac1n\longrightarrow0. \]

D’après le théorème d’encadrement :

\[ \boxed{ v_n-u_n\longrightarrow0. } \]

Conclusion

La suite \((u_n)\) est croissante, la suite \((v_n)\) est décroissante et :

\[ v_n-u_n\longrightarrow0. \]

Les deux suites sont donc adjacentes.

D’après le théorème des suites adjacentes :

\[ \boxed{ (u_n)\text{ et }(v_n) \text{ sont convergentes et ont la même limite}. } \]

Idée utile :
Il n’est pas nécessaire de calculer la valeur exacte de la limite commune. L’objectif de l’exercice est d’établir l’adjacence à partir des trois propriétés : \[ (u_n)\text{ croissante}, \qquad (v_n)\text{ décroissante}, \qquad v_n-u_n\to0. \]

Réponse finale de l’exercice 36 : \[ \boxed{ 2^n\ge n+1 \qquad(\forall n\in\mathbb N^*) } \] \[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante} } \] \[ \boxed{ (v_n)\text{ est décroissante} } \] \[ \boxed{ 0\le v_n-u_n\le\frac1n } \] \[ \boxed{ (u_n)\text{ et }(v_n) \text{ sont convergentes et ont la même limite}. } \]

Présentation :
Cet article propose une correction détaillée des exercices 35 et 36 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Le premier exercice utilise une suite géométrique et la continuité en zéro pour étudier une équation fonctionnelle. Le second construit deux suites adjacentes grâce à une inégalité portant sur les puissances de \(2\).

Objectif pédagogique :
Comprendre comment une suite convergeant vers zéro peut être utilisée avec la continuité d’une fonction, puis savoir vérifier rigoureusement les trois conditions d’adjacence : monotonie contraire, ordre entre les deux suites et écart tendant vers zéro.

Méthodes essentielles :

1. Itérer l’égalité fonctionnelle \(f(x)=f(2x)\).
2. Utiliser la convergence de \(\dfrac{x}{2^n}\) vers \(0\).
3. Exploiter uniquement la continuité de \(f\) au point \(0\).
4. Démontrer par récurrence que \(2^n\ge n+1\).
5. Étudier séparément la monotonie de deux suites.
6. Montrer que leur différence tend vers \(0\).

Exercice 35 La suite : \[ \frac{x}{2^n} \] converge vers \(0\). La continuité en \(0\) donne : \[ f(x)=f(0), \] donc \(f\) est constante.

Exercice 36 Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ont des monotonies contraires et : \[ v_n-u_n\to0. \] Elles sont donc adjacentes.

À retenir :
Une suite géométrique peut intervenir de deux manières différentes : pour construire une suite d’arguments convergeant vers un point de continuité, ou pour établir une inégalité permettant d’étudier la monotonie d’une autre suite.

Ressources liées :

Retour au menu — Suites numériques Correction de l’exercice 34 Al Moufid — Exercices résolus

Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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