Correction — S’entraîner à l’examen national (3)
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Type : entraînement à l’examen national
Contenu : nombres complexes, structures algébriques, intégrales, analyse et arithmétique
Cette correction est une tentative pédagogique personnelle. L’objectif est de présenter une rédaction claire, progressive et conforme au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques.
Pour une meilleure lecture des formules longues, il est conseillé d’utiliser un ordinateur, une tablette, ou de tourner le téléphone en mode paysage.
Accès détaillé aux questions
Exercice 1 — Nombres complexes et transformations
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).
On considère l’équation :
\[ (E):\quad z^3+(3-i)z^2+(4-5i)z+2-4i=0 \]Question 1
Montrer que \((E)\) admet une solution réelle que l’on déterminera.
Soit \(x\in\mathbb R\) une solution réelle éventuelle de \((E)\).
On remplace \(z\) par \(x\). On obtient :
\[ x^3+(3-i)x^2+(4-5i)x+2-4i=0 \]Donc :
\[ \bigl(x^3+3x^2+4x+2\bigr)-i\bigl(x^2+5x+4\bigr)=0 \]Ainsi :
\[ \begin{cases} x^3+3x^2+4x+2=0\\ x^2+5x+4=0 \end{cases} \]De :
\[ x^2+5x+4=0 \]on obtient :
\[ (x+1)(x+4)=0 \]Donc :
\[ x=-1 \quad\text{ou}\quad x=-4 \]On vérifie dans la partie réelle.
Pour \(x=-1\) :
\[ (-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+2=-1+3-4+2=0 \]Donc \(-1\) convient.
Pour \(x=-4\) :
\[ (-4)^3+3(-4)^2+4(-4)+2=-64+48-16+2=-30\neq0 \]Donc \(-4\) ne convient pas.
Question 2
Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).
D’après la question précédente, \(-1\) est une solution de \((E)\). Donc \(z+1\) est un facteur du polynôme.
On écrit :
\[ z^3+(3-i)z^2+(4-5i)z+2-4i = (z+1)\left(z^2+(2-i)z+2-4i\right) \]Il reste à résoudre :
\[ z^2+(2-i)z+2-4i=0 \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(2-i)^2-4(2-4i) \]Donc :
\[ \Delta=3-4i-8+16i=-5+12i \]Or :
\[ (2+3i)^2=4+12i-9=-5+12i \]Donc :
\[ \Delta=(2+3i)^2 \]Ainsi :
\[ z=\frac{-(2-i)\pm(2+3i)}{2} \]On obtient :
\[ z=2i \]ou :
\[ z=-2-i \]Question 3
On considère les deux applications \(r\) et \(h\) du plan dans lui-même définies par :
\[ r:M(z)\longmapsto M_1(z_1), \qquad z_1=\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)z \]et :
\[ h:M(z)\longmapsto M_2(z_2), \qquad z_2=\sqrt2\,z \]Déterminer la nature et les caractéristiques de chacune des applications \(r\) et \(h\).
On a :
\[ \frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} \]Donc \(r\) est la rotation de centre \(O\) et d’angle :
\[ \frac{\pi}{4} \]D’autre part :
\[ z_2=\sqrt2\,z \]Donc \(h\) est l’homothétie de centre \(O\) et de rapport :
\[ \sqrt2 \]Question 4
On pose :
\[ F=h\circ r \]Montrer que si \(F(M)=M'\), alors l’affixe \(z'\) de \(M'\) vérifie : \[ z'=(1+i)z \]
Soit \(M(z)\) un point du plan.
Comme :
\[ F=h\circ r \]on applique d’abord \(r\), puis \(h\).
Après la rotation \(r\), on obtient :
\[ z_1=\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)z \]Après l’homothétie \(h\), on obtient :
\[ z'=\sqrt2\,z_1 \]Donc :
\[ z'=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)z \]Ainsi :
Question 5
Montrer que, pour tout point \(M\neq O\), le triangle \(OMM'\) est rectangle et isocèle en \(M\).
Soit \(M(z)\) tel que \(M\neq O\). Alors :
\[ z\neq0 \]D’après la question précédente :
\[ z'=(1+i)z \]L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{MO}\) est :
\[ -z \]L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{MM'}\) est :
\[ z'-z=(1+i)z-z=iz \]On a :
\[ |-z|=|z| \]et :
\[ |iz|=|z| \]Donc :
\[ MO=MM' \]De plus :
\[ \frac{z'-z}{-z} = \frac{iz}{-z} = -i \]Le nombre \(-i\) est imaginaire pur, donc les droites \((MO)\) et \((MM')\) sont perpendiculaires.
Ainsi, le triangle \(OMM'\) est rectangle en \(M\).
Comme en plus :
\[ MO=MM' \]Question 6
Établir un programme de construction du point \(M'\) à partir du point \(M\).
On sait que :
\[ F=h\circ r \]Donc, pour construire \(M'\) à partir du point \(M\), on procède ainsi :
1) Construire \(M_1\), image de \(M\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
2) Construire \(M'\), image de \(M_1\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\sqrt2\).
Question 7
On considère la suite de points \((A_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :
\[ A_{n+1}=F(A_n) \]On note \(z_n\) l’affixe de \(A_n\), et on donne :
\[ z_0=-1+i \]Déterminer les affixes de \(A_1,A_2,A_3,A_4\), puis placer les points \(A_0,A_1,A_2,A_3,A_4\).
D’après la question 4 :
\[ z_{n+1}=(1+i)z_n \]On a :
\[ z_0=-1+i \]Donc :
\[ z_1=(1+i)(-1+i)=-2 \]Puis :
\[ z_2=(1+i)(-2)=-2-2i \]Ensuite :
\[ z_3=(1+i)(-2-2i)=-4i \]Enfin :
\[ z_4=(1+i)(-4i)=4-4i \]Question 8
Déterminer tous les entiers naturels non nuls \(n\) pour lesquels les points \(O,A_0,A_n\) sont alignés.
On a :
\[ z_{n+1}=(1+i)z_n \]Donc, par récurrence :
\[ z_n=(1+i)^n z_0 \]Les points \(O,A_0,A_n\) sont alignés si et seulement si :
\[ \frac{z_n}{z_0}\in\mathbb R \]Comme \(z_0\neq0\), on a :
\[ \frac{z_n}{z_0}=(1+i)^n \]Or :
\[ 1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \]Donc :
\[ (1+i)^n=(\sqrt2)^n\left(\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}\right) \]Ce nombre est réel si et seulement si :
\[ \sin\frac{n\pi}{4}=0 \]Donc :
\[ \frac{n\pi}{4}=k\pi \qquad (k\in\mathbb Z) \]Ainsi :
\[ n=4k \]Comme \(n\in\mathbb N^*\), on obtient :
Exercice 2 — Structures algébriques
On considère l’ensemble :
\[ E=\left\{ M(a,b)= \begin{pmatrix} a&-2b\\ b&a \end{pmatrix} \ ;\ (a,b)\in\mathbb R^2 \right\} \]Question 1
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\), puis déterminer une base et la dimension de \(E\).
On a :
\[ M(0,0)= \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix} \]Donc :
\[ 0_{M_2(\mathbb R)}\in E \]Ainsi :
\[ E\neq\varnothing \]Soient \(X,Y\in E\) et soient \(\alpha,\beta\in\mathbb R\).
Comme \(X\in E\) et \(Y\in E\), il existe \(a,b,c,d\in\mathbb R\) tels que :
\[ X=M(a,b) \qquad\text{et}\qquad Y=M(c,d) \]Alors :
\[ \alpha X+\beta Y = \alpha M(a,b)+\beta M(c,d) \]Donc :
\[ \alpha X+\beta Y = \begin{pmatrix} \alpha a+\beta c&-2(\alpha b+\beta d)\\ \alpha b+\beta d&\alpha a+\beta c \end{pmatrix} \]Ainsi :
\[ \alpha X+\beta Y = M(\alpha a+\beta c,\alpha b+\beta d) \]Or :
\[ \alpha a+\beta c\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \alpha b+\beta d\in\mathbb R \]Donc :
\[ \alpha X+\beta Y\in E \]Déterminons maintenant une base de \(E\).
Soit \(M(a,b)\in E\). On a :
\[ M(a,b)= \begin{pmatrix} a&-2b\\ b&a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0&-2\\ 1&0 \end{pmatrix} \]Posons :
\[ I=M(1,0)= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \]et :
\[ N=M(0,1)= \begin{pmatrix} 0&-2\\ 1&0 \end{pmatrix} \]Alors :
\[ M(a,b)=aI+bN \]Donc la famille \((I,N)\) est génératrice de \(E\).
Montrons qu’elle est libre.
Soient \(a,b\in\mathbb R\) tels que :
\[ aI+bN=0 \]Alors :
\[ M(a,b)=0 \]Donc :
\[ \begin{pmatrix} a&-2b\\ b&a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix} \]Ainsi :
\[ a=0 \qquad\text{et}\qquad b=0 \]Donc la famille \((I,N)\) est libre.
Question 2
Montrer que \(E\) est stable par multiplication matricielle et vérifier que : \[ M(a,b)M(c,d)=M(ac-2bd,ad+bc) \]
Soient \(M(a,b),M(c,d)\in E\), avec \(a,b,c,d\in\mathbb R\).
On calcule :
\[ M(a,b)M(c,d) = \begin{pmatrix} a&-2b\\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c&-2d\\ d&c \end{pmatrix} \]Donc :
\[ M(a,b)M(c,d) = \begin{pmatrix} ac-2bd&-2ad-2bc\\ bc+ad&-2bd+ac \end{pmatrix} \]Ainsi :
\[ M(a,b)M(c,d) = \begin{pmatrix} ac-2bd&-2(ad+bc)\\ ad+bc&ac-2bd \end{pmatrix} \]Or :
\[ ac-2bd\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad ad+bc\in\mathbb R \]Donc :
\[ M(a,b)M(c,d)\in E \]Question 3
Montrer que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif unitaire.
D’après la question 1, \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\). Donc \((E,+)\) est un groupe commutatif.
D’après la question 2, \(E\) est stable par multiplication matricielle.
L’associativité de la multiplication et la distributivité par rapport à l’addition sont héritées de la multiplication matricielle.
On a :
\[ I=M(1,0)\in E \]et \(I\) est l’élément unité pour la multiplication matricielle.
Soient \(M(a,b),M(c,d)\in E\). On a :
\[ M(a,b)M(c,d)=M(ac-2bd,ad+bc) \]et :
\[ M(c,d)M(a,b)=M(ca-2db,cb+da) \]Comme :
\[ ac-2bd=ca-2db \]et :
\[ ad+bc=cb+da \]on obtient :
\[ M(a,b)M(c,d)=M(c,d)M(a,b) \]Donc la multiplication est commutative dans \(E\).
Question 4
On considère l’application :
\[ \Phi:E\longrightarrow\mathbb C, \qquad \Phi(M(a,b))=a+i\sqrt2\,b \]Montrer que \(\Phi\) est un isomorphisme d’anneaux de \(E\) vers \(\mathbb C\).
Montrons d’abord que \(\Phi\) est bijective.
Soit \(z=x+iy\in\mathbb C\). On pose :
\[ a=x \qquad\text{et}\qquad b=\frac{y}{\sqrt2} \]Alors :
\[ \Phi(M(a,b)) = x+i\sqrt2\frac{y}{\sqrt2} = x+iy = z \]Donc \(\Phi\) est surjective.
Soit \(M(a,b)\in E\) tel que :
\[ \Phi(M(a,b))=0 \]Alors :
\[ a+i\sqrt2\,b=0 \]Donc :
\[ a=0 \qquad\text{et}\qquad b=0 \]Ainsi :
\[ M(a,b)=M(0,0) \]Donc \(\Phi\) est injective.
Par conséquent, \(\Phi\) est bijective.
Montrons maintenant que \(\Phi\) conserve l’addition et la multiplication.
Soient \(M(a,b),M(c,d)\in E\).
On a :
\[ M(a,b)+M(c,d)=M(a+c,b+d) \]Donc :
\[ \Phi(M(a,b)+M(c,d)) = a+c+i\sqrt2(b+d) \]Ainsi :
\[ \Phi(M(a,b)+M(c,d)) = \Phi(M(a,b))+\Phi(M(c,d)) \]D’autre part, d’après la question 2 :
\[ M(a,b)M(c,d)=M(ac-2bd,ad+bc) \]Donc :
\[ \Phi(M(a,b)M(c,d)) = ac-2bd+i\sqrt2(ad+bc) \]Or :
\[ \Phi(M(a,b))\Phi(M(c,d)) = (a+i\sqrt2 b)(c+i\sqrt2 d) \]Donc :
\[ \Phi(M(a,b))\Phi(M(c,d)) = ac-2bd+i\sqrt2(ad+bc) \]Ainsi :
\[ \Phi(M(a,b)M(c,d)) = \Phi(M(a,b))\Phi(M(c,d)) \]Enfin :
\[ \Phi(I)=\Phi(M(1,0))=1 \]Question 5
En déduire que toute matrice non nulle de \(E\) est inversible dans \(E\), puis donner l’inverse de \(M(a,b)\) lorsque \((a,b)\neq(0,0)\).
Soit \(M(a,b)\in E\) tel que :
\[ (a,b)\neq(0,0) \]On calcule :
\[ M(a,b)M(a,-b)=M(a^2+2b^2,0) \]Donc :
\[ M(a,b)M(a,-b)=(a^2+2b^2)I \]Comme :
\[ (a,b)\neq(0,0) \]on a :
\[ a^2+2b^2>0 \]Alors :
\[ M(a,b) \left( \frac1{a^2+2b^2}M(a,-b) \right) = I \]Donc \(M(a,b)\) est inversible dans \(E\), et :
Question 6
Conclure que \((E,+,\times)\) est un corps.
On a montré que \((E,+,\times)\) est un anneau commutatif unitaire.
On a montré aussi que tout élément non nul de \(E\) est inversible dans \(E\).
Question 7
Soit :
\[ N=M(0,1) \]Calculer \(N^2\), puis déterminer \(N^n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
On a :
\[ N=M(0,1) \]Donc :
\[ N^2=M(0,1)M(0,1)=M(-2,0) \]Soit \(q\in\mathbb N\).
Si :
\[ n=2q \]alors :
\[ N^n=N^{2q}=(N^2)^q=(-2)^q I \]Si :
\[ n=2q+1 \]alors :
\[ N^n=N^{2q+1}=N^{2q}N=(-2)^q N \]Exercice 3 — Intégrales et somme partielle de \(e\)
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1(1-x)^n e^x\,dx \]Question 1
Montrer que : \[ I_{n+1}=(n+1)I_n-1 \]
On a :
\[ I_{n+1}=\int_0^1(1-x)^{n+1}e^x\,dx \]On effectue une intégration par parties avec :
\[ u(x)=(1-x)^{n+1} \qquad\text{et}\qquad v^{\prime}(x)=e^x \]Alors :
\[ u^{\prime}(x)=-(n+1)(1-x)^n \qquad\text{et}\qquad v(x)=e^x \]Donc :
\[ I_{n+1} = \left[(1-x)^{n+1}e^x\right]_0^1 + (n+1)\int_0^1(1-x)^n e^x\,dx \]Or :
\[ \left[(1-x)^{n+1}e^x\right]_0^1=0-1=-1 \]Ainsi :
Question 2
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[ \frac1{n+1}\leq I_n\leq \frac{e}{n+1} \]
Pour tout \(x\in[0,1]\), on a :
\[ 1\leq e^x\leq e \]Comme :
\[ (1-x)^n\geq0 \]on obtient :
\[ (1-x)^n\leq (1-x)^n e^x\leq e(1-x)^n \]En intégrant sur \([0,1]\), on obtient :
\[ \int_0^1(1-x)^n\,dx \leq I_n \leq e\int_0^1(1-x)^n\,dx \]Or :
\[ \int_0^1(1-x)^n\,dx=\frac1{n+1} \]Donc :
Question 3
En déduire que : \[ \lim_{n\to+\infty} I_n=0 \]
D’après la question précédente :
\[ 0\leq I_n\leq \frac{e}{n+1} \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{e}{n+1}=0 \]Donc, d’après le théorème d’encadrement :
Question 4
On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ U_n=\frac{I_n}{n!} \]Montrer que : \[ U_{n+1}=U_n-\frac1{(n+1)!} \]
On a :
\[ U_{n+1}=\frac{I_{n+1}}{(n+1)!} \]D’après la question 1 :
\[ I_{n+1}=(n+1)I_n-1 \]Donc :
\[ U_{n+1} = \frac{(n+1)I_n-1}{(n+1)!} \]Ainsi :
\[ U_{n+1} = \frac{I_n}{n!}-\frac1{(n+1)!} \]Question 5
Calculer \(U_0\), puis montrer que : \[ U_n=e-\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} \]
On a :
\[ U_0=I_0 \]Or :
\[ I_0=\int_0^1e^x\,dx=e-1 \]Donc :
\[ U_0=e-1 \]D’après la question précédente :
\[ U_{n+1}-U_n=-\frac1{(n+1)!} \]En additionnant ces égalités, on obtient :
\[ U_n=U_0-\sum_{k=1}^{n}\frac1{k!} \]Donc :
\[ U_n=e-1-\sum_{k=1}^{n}\frac1{k!} \]Ainsi :
Question 6
En déduire que : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}=e \]
On a :
\[ U_n=\frac{I_n}{n!} \]Comme :
\[ n!\geq1 \qquad\text{et}\qquad I_n\geq0 \]on obtient :
\[ 0\leq U_n\leq I_n \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n=0 \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}U_n=0 \]D’après la question précédente :
\[ U_n=e-\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!} \]Donc :
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}=e-U_n \]Ainsi :
Exercice 4 — Étude de fonction logarithmique
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ g(x)=1+x-2x\ln x \]Question 1
Étudier les variations de \(g\) sur \(]0,+\infty[\).
La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
On a :
\[ g^{\prime}(x)=1-2(\ln x+1) \]Donc :
\[ g^{\prime}(x)=-1-2\ln x \]On résout :
\[ g^{\prime}(x)=0 \]Alors :
\[ -1-2\ln x=0 \]Donc :
\[ \ln x=-\frac12 \]Ainsi :
\[ x=e^{-\frac12}=\frac1{\sqrt e} \]On a :
\[ g^{\prime}(x)>0 \Longleftrightarrow \ln x<-\frac12 \Longleftrightarrow 0\lt x\lt \frac1{\sqrt e} \]et :
\[ g^{\prime}(x)<0 \Longleftrightarrow x\gt \frac1{\sqrt e} \]Donc \(g\) est croissante sur :
\[ \left]0,\frac1{\sqrt e}\right] \]et décroissante sur :
\[ \left[\frac1{\sqrt e},+\infty\right[ \]De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \]donc :
\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=1 \]Et :
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty \]Question 2
Montrer que l’équation \[ g(x)=0 \] admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0,+\infty[\), et vérifier que : \[ 2\lt \alpha\lt 3 \]
La fonction \(g\) est continue sur \(]0,+\infty[\).
D’après les variations de \(g\), la fonction \(g\) est croissante sur :
\[ \left]0,\frac1{\sqrt e}\right] \]et :
\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=1 \]De plus :
\[ g\left(\frac1{\sqrt e}\right) = 1+\frac1{\sqrt e} - 2\frac1{\sqrt e}\ln\left(\frac1{\sqrt e}\right) \]Or :
\[ \ln\left(\frac1{\sqrt e}\right)=-\frac12 \]donc :
\[ g\left(\frac1{\sqrt e}\right) = 1+\frac1{\sqrt e}+\frac1{\sqrt e} = 1+\frac2{\sqrt e}>0 \]Ainsi \(g(x)>0\) sur :
\[ \left]0,\frac1{\sqrt e}\right] \]D’autre part, \(g\) est strictement décroissante sur :
\[ \left[\frac1{\sqrt e},+\infty\right[ \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty \]Donc l’équation :
\[ g(x)=0 \]admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0,+\infty[\).
Vérifions maintenant l’encadrement.
On a :
\[ g(2)=1+2-4\ln2=3-4\ln2 \]Or on vérifie que :
\[ \ln2\lt\frac34 \]Donc :
\[ g(2)>0 \]De plus :
\[ g(3)=1+3-6\ln3=4-6\ln3 \]Or on vérifie que :
\[ \ln3>\frac23 \]Donc :
\[ g(3)<0 \]Puisque \(g\) est continue sur \([2,3]\), il existe une solution dans \(]2,3[\).
Par unicité, cette solution est \(\alpha\).
Question 3
En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0,+\infty[\).
D’après les variations de \(g\) et l’unicité de \(\alpha\), on obtient :
\[ g(x)>0 \quad\text{si}\quad 0\lt x\lt\alpha \] \[ g(\alpha)=0 \] \[ g(x)<0 \quad\text{si}\quad x\gt\alpha \]On considère maintenant la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=\frac{\ln x}{(1+x)^2} \]Question 4
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), puis vérifier que : \[ f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x(1+x)^3} \]
La fonction \(x\mapsto \ln x\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
La fonction \(x\mapsto (1+x)^2\) est dérivable et ne s’annule pas sur \(]0,+\infty[\).
Donc \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
On écrit :
\[ f(x)=\ln x\,(1+x)^{-2} \]Alors :
\[ f^{\prime}(x) = \frac1x(1+x)^{-2} - 2\ln x(1+x)^{-3} \]Donc :
\[ f^{\prime}(x) = \frac{1+x-2x\ln x}{x(1+x)^3} \]Comme :
\[ g(x)=1+x-2x\ln x \]on obtient :
Question 5
Dresser le tableau de variations de \(f\), puis montrer que : \[ f(\alpha)=\frac1{2\alpha(1+\alpha)} \]
Pour tout \(x>0\), on a :
\[ x(1+x)^3>0 \]Donc le signe de \(f^{\prime}(x)\) est celui de \(g(x)\).
D’après la question 3 :
\[ f^{\prime}(x)>0 \quad\text{sur}\quad ]0,\alpha[ \] \[ f^{\prime}(\alpha)=0 \] \[ f^{\prime}(x)<0 \quad\text{sur}\quad ]\alpha,+\infty[ \]Ainsi, \(f\) est croissante sur \(]0,\alpha]\) et décroissante sur \([\alpha,+\infty[\).
De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]Comme :
\[ g(\alpha)=0 \]on a :
\[ 1+\alpha-2\alpha\ln\alpha=0 \]Donc :
\[ \ln\alpha=\frac{1+\alpha}{2\alpha} \]Alors :
\[ f(\alpha)=\frac{\ln\alpha}{(1+\alpha)^2} \]Donc :
\[ f(\alpha) = \frac{1+\alpha}{2\alpha(1+\alpha)^2} \]Question 6
Donner une équation de la tangente \((T)\) à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
On a :
\[ f(1)=\frac{\ln1}{(1+1)^2}=0 \]D’après la question 4 :
\[ f^{\prime}(1)=\frac{g(1)}{1(1+1)^3} \]Or :
\[ g(1)=1+1-2\ln1=2 \]Donc :
\[ f^{\prime}(1)=\frac{2}{8}=\frac14 \]L’équation de la tangente \((T)\) au point d’abscisse \(1\) est :
\[ y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1) \]Donc :
Question 7
Montrer que, pour tout \(x>0\), \[ \ln x\leq x-1 \]
On pose, pour tout \(x>0\) :
\[ \varphi(x)=x-1-\ln x \]La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
On a :
\[ \varphi^{\prime}(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x} \]Comme \(x>0\), le signe de \(\varphi^{\prime}(x)\) est celui de \(x-1\).
Donc \(\varphi\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).
Ainsi, \(\varphi\) admet un minimum en \(1\).
Or :
\[ \varphi(1)=1-1-\ln1=0 \]Donc :
\[ \varphi(x)\geq0 \]Ainsi :
\[ x-1-\ln x\geq0 \]Question 8
En déduire que, pour tout \(x>0\), \[ f(x)-\frac{x-1}{4}\leq0 \]
D’après la question précédente, pour tout \(x>0\) :
\[ \ln x\leq x-1 \]Comme :
\[ (1+x)^2>0 \]on obtient :
\[ \frac{\ln x}{(1+x)^2} \leq \frac{x-1}{(1+x)^2} \]Donc :
\[ f(x)\leq \frac{x-1}{(1+x)^2} \]Or :
\[ \frac{x-1}{(1+x)^2}-\frac{x-1}{4} = \frac{4(x-1)-(x-1)(1+x)^2}{4(1+x)^2} \]Donc :
\[ \frac{x-1}{(1+x)^2}-\frac{x-1}{4} = \frac{(x-1)\left(4-(1+x)^2\right)}{4(1+x)^2} \]Or :
\[ 4-(1+x)^2 = 4-(1+2x+x^2) = 3-2x-x^2 \]et :
\[ 3-2x-x^2=-(x-1)(x+3) \]Donc :
\[ \frac{x-1}{(1+x)^2}-\frac{x-1}{4} = -\frac{(x-1)^2(x+3)}{4(1+x)^2} \]Comme :
\[ (x-1)^2\geq0, \qquad x+3>0, \qquad 4(1+x)^2>0 \]on a :
\[ -\frac{(x-1)^2(x+3)}{4(1+x)^2}\leq0 \]Donc :
\[ \frac{x-1}{(1+x)^2}\leq \frac{x-1}{4} \]Par suite :
\[ f(x)\leq \frac{x-1}{4} \]Question 9
Étudier la position relative de la courbe de \(f\) et de sa tangente \((T)\).
On sait que la tangente \((T)\) a pour équation :
\[ y=\frac{x-1}{4} \]D’après la question précédente, pour tout \(x>0\) :
\[ f(x)-\frac{x-1}{4}\leq0 \]Donc :
\[ f(x)\leq \frac{x-1}{4} \]Il y a égalité pour \(x=1\), car :
\[ f(1)=0 \]et :
\[ \frac{1-1}{4}=0 \]Exercice 5 — Arithmétique
Question 1
Montrer que \(101\) est un nombre premier.
On a :
\[ \sqrt{101}\lt 11 \]Il suffit donc de vérifier que \(101\) n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(10\), c’est-à-dire :
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7 \]On a :
\[ 101\not\equiv0\ [2] \]De plus :
\[ 101=3\times33+2 \]donc :
\[ 101\not\equiv0\ [3] \]On a aussi :
\[ 101\not\equiv0\ [5] \]Enfin :
\[ 101=7\times14+3 \]donc :
\[ 101\not\equiv0\ [7] \]Ainsi, \(101\) n’admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à \(\sqrt{101}\).
Question 2
Vérifier que : \[ 10^2\equiv -1\ [101] \]
On a :
\[ 10^2=100 \]Or :
\[ 100\equiv -1\ [101] \]Question 3
Résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence : \[ x^2\equiv -1\ [101] \]
D’après la question précédente :
\[ 10^2\equiv -1\ [101] \]Donc :
\[ x^2\equiv -1\ [101] \Longleftrightarrow x^2\equiv 10^2\ [101] \]Ainsi :
\[ (x-10)(x+10)\equiv0\ [101] \]Comme \(101\) est premier, d’après le lemme de Gauss, on obtient :
\[ x-10\equiv0\ [101] \]ou :
\[ x+10\equiv0\ [101] \]Donc :
\[ x\equiv10\ [101] \]ou :
\[ x\equiv -10\ [101] \]Question 4
En déduire les solutions dans \(\mathbb Z\) de la congruence : \[ x^4\equiv1\ [101] \]
On a :
\[ x^4\equiv1\ [101] \]Donc :
\[ (x^2)^2\equiv1\ [101] \]Ainsi :
\[ (x^2-1)(x^2+1)\equiv0\ [101] \]Comme \(101\) est premier, d’après le lemme de Gauss, on obtient :
\[ x^2-1\equiv0\ [101] \]ou :
\[ x^2+1\equiv0\ [101] \]Donc :
\[ x^2\equiv1\ [101] \]ou :
\[ x^2\equiv -1\ [101] \]Si :
\[ x^2\equiv1\ [101] \]alors :
\[ (x-1)(x+1)\equiv0\ [101] \]Comme \(101\) est premier, d’après le lemme de Gauss :
\[ x\equiv1\ [101] \]ou :
\[ x\equiv -1\ [101] \]D’après la question précédente, si :
\[ x^2\equiv -1\ [101] \]alors :
\[ x\equiv10\ [101] \]ou :
\[ x\equiv -10\ [101] \]Ainsi, les solutions sont :
C’est-à-dire :
Question 5
En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer deux entiers \(u\) et \(v\) tels que : \[ 37u+101v=1 \]
On applique l’algorithme d’Euclide :
\[ 101=2\times37+27 \] \[ 37=1\times27+10 \] \[ 27=2\times10+7 \] \[ 10=1\times7+3 \] \[ 7=2\times3+1 \]Donc :
\[ 1=7-2\times3 \]Or :
\[ 3=10-7 \]Donc :
\[ 1=7-2(10-7)=3\times7-2\times10 \]Or :
\[ 7=27-2\times10 \]Donc :
\[ 1=3(27-2\times10)-2\times10 \] \[ 1=3\times27-8\times10 \]Or :
\[ 10=37-27 \]Donc :
\[ 1=3\times27-8(37-27) \] \[ 1=11\times27-8\times37 \]Or :
\[ 27=101-2\times37 \]Donc :
\[ 1=11(101-2\times37)-8\times37 \] \[ 1=11\times101-30\times37 \]Ainsi :
\[ 37(-30)+101(11)=1 \]Question 6
Résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence : \[ 37x\equiv67\ [101] \]
D’après la question précédente :
\[ 37(-30)+101(11)=1 \]Donc :
\[ 37(-30)\equiv1\ [101] \]On multiplie les deux membres de la congruence :
\[ 37x\equiv67\ [101] \]par \(-30\). On obtient :
\[ (-30)\times37x\equiv (-30)\times67\ [101] \]Comme :
\[ 37(-30)\equiv1\ [101] \]alors :
\[ x\equiv -30\times67\ [101] \]Or :
\[ -30\times67=-2010 \]et :
\[ -2010\equiv10\ [101] \]Question 7
Résoudre dans \(\mathbb Z\) le système de congruences : \[ \begin{cases} x^4\equiv1\ [101]\\ 37x\equiv67\ [101] \end{cases} \]
D’après la question 4, les solutions de :
\[ x^4\equiv1\ [101] \]sont :
\[ x\equiv1,\ 100,\ 10,\ 91\ [101] \]D’après la question 6, les solutions de :
\[ 37x\equiv67\ [101] \]sont :
\[ x\equiv10\ [101] \]La solution commune est donc :
Question 8
Pour tout entier \(x\) solution du système précédent, déterminer le reste de la division euclidienne de : \[ x^{2026} \] par \(101\).
D’après la question précédente :
\[ x\equiv10\ [101] \]Donc :
\[ x^{2026}\equiv10^{2026}\ [101] \]Or :
\[ 10^2\equiv -1\ [101] \]Donc :
\[ 10^4\equiv1\ [101] \]On a :
\[ 2026=4\times506+2 \]Alors :
\[ 10^{2026}=10^{4\times506+2} \]Donc :
\[ 10^{2026} \equiv (10^4)^{506}\times10^2\ [101] \]Ainsi :
\[ 10^{2026} \equiv 1^{506}\times(-1)\ [101] \]Donc :
\[ 10^{2026}\equiv -1\ [101] \]C’est-à-dire :
\[ 10^{2026}\equiv100\ [101] \]Ce sujet d’entraînement mélange plusieurs thèmes importants du programme : nombres complexes, transformations du plan, structures algébriques, intégrales, étude de fonctions et arithmétique. Dans les structures algébriques, on utilise la méthode du cours : sous-espace vectoriel par la caractérisation, base par famille génératrice et libre, puis anneau, isomorphisme et corps. Dans l’arithmétique, les points essentiels sont la primalité de \(101\), le lemme de Gauss, l’algorithme d’Euclide, Bézout et les congruences modulo \(101\).
FIN DE LA CORRECTION — ENTRAÎNEMENT EXAMEN NATIONAL (3)
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