Correction des exercices 08 à 12 — Continuité en un point — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 08 à 12 — Continuité en un point

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

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Exercice 08

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^5-x^4+x^3+3}{x+1}, & \text{si }x\neq-1,\\[6pt] 12, & \text{si }x=-1. \end{cases} \]

Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(-1\).

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On a \(f(-1)=12\). Pour étudier la continuité en \(-1\), calculons la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(-1\).

La substitution directe dans la fraction donne la forme indéterminée \(\frac00\). Pour \(x\neq-1\), on factorise le numérateur :

\[ x^5-x^4+x^3+3 =(x+1)(x^4-2x^3+3x^2-3x+3). \]

Donc, pour \(x\neq-1\) :

\[ f(x)=x^4-2x^3+3x^2-3x+3. \]

La fonction obtenue est polynomiale. Par conséquent :

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to-1}f(x) &=(-1)^4-2(-1)^3+3(-1)^2-3(-1)+3\\ &=1+2+3+3+3\\ &=12. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-1}f(x)=12=f(-1)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(-1\).

Exercice 09

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sqrt{3+\cos x}-2}{x^2}, & \text{si }x\neq0,\\[7pt] -\displaystyle\frac18, & \text{si }x=0. \end{cases} \]

Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(0\).

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On a \(f(0)=-\frac18\). Calculons maintenant la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).

Pour \(x\neq0\), on multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{\sqrt{3+\cos x}-2}{x^2} \times \frac{\sqrt{3+\cos x}+2}{\sqrt{3+\cos x}+2}\\[4pt] &= \frac{\cos x-1} {x^2\bigl(\sqrt{3+\cos x}+2\bigr)}. \end{aligned} \]

On écrit alors :

\[ f(x) = -\frac{1-\cos x}{x^2} \times \frac{1}{\sqrt{3+\cos x}+2}. \]

Or :

\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12, \qquad \lim_{x\to0}\bigl(\sqrt{3+\cos x}+2\bigr)=4. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0}f(x) = -\frac12\times\frac14 = -\frac18. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac18=f(0)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(0\).

Exercice 10

Énoncé

Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\cos^3x-1}{\sin^2x}, & \text{si }x\neq0,\\[7pt] a, & \text{si }x=0, \end{cases} \]

soit continue en \(0\).

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Point de domaine. Pour \(0<|x|<\pi\), on a \(\sin x\neq0\). Le quotient est donc bien défini dans un voisinage ponctué de \(0\), ce qui suffit pour étudier la limite et la continuité en \(0\).

La fonction \(f\) est continue en \(0\) si, et seulement si :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\cos^3x-1}{\sin^2x}=f(0)=a. \]

Pour \(x\neq0\), on utilise les identités :

\[ \cos^3x-1=(\cos x-1)(\cos^2x+\cos x+1), \]

\[ \sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x). \]

Comme \(\cos x-1=-(1-\cos x)\), on obtient :

\[ \frac{\cos^3x-1}{\sin^2x} = -\frac{\cos^2x+\cos x+1}{1+\cos x}. \]

Par continuité de la fonction cosinus en \(0\) :

\[ \lim_{x\to0} \frac{\cos^3x-1}{\sin^2x} = -\frac{1+1+1}{1+1} = -\frac32. \]

\[ \boxed{a=-\frac32} \] Pour cette valeur, \(f\) est continue en \(0\).

Exercice 11

Énoncé

Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sqrt{\sin x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}, & \text{si }x\neq\frac{\pi}{2},\\[9pt] a, & \text{si }x=\frac{\pi}{2}, \end{cases} \]

soit continue au point \(x_0=\frac{\pi}{2}\).

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Point de domaine. Lorsque \(\left|x-\frac{\pi}{2}\right|<\frac{\pi}{2}\), on a \(\sin x>0\). La quantité \(\sqrt{\sin x}\) est donc bien définie dans un voisinage de \(\frac{\pi}{2}\).

Pour que \(f\) soit continue en \(\frac{\pi}{2}\), il faut et il suffit que :

\[ a= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}. \]

Posons :

\[ t=x-\frac{\pi}{2}. \]

Alors \(t\to0\) et :

\[ \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right) = \cos t. \]

La limite devient donc :

\[ \lim_{t\to0}\frac{\sqrt{\cos t}-1}{t}. \]

On multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{\cos t}-1}{t} = \frac{\cos t-1}{t(\sqrt{\cos t}+1)}. \]

De plus :

\[ \frac{\cos t-1}{t} = -t\,\frac{1-\cos t}{t^2}. \]

Comme :

\[ \lim_{t\to0}t=0, \qquad \lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12. \]

\[ \lim_{t\to0}\bigl(\sqrt{\cos t}+1\bigr)=2. \]

on obtient :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}-1}{x-\frac{\pi}{2}} =0. \]

\[ \boxed{a=0} \] Pour cette valeur, \(f\) est continue en \(\frac{\pi}{2}\).

Exercice 12

Énoncé

Soit \(a\) un réel strictement positif. On considère la fonction \(g\) définie par :

Pour \(x\geq-a\) et \(x\neq0\) :

\[ g(x)=\frac{x^2+\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x}. \]

Et, au point \(0\) :

\[ g(0)=\frac{1}{2\sqrt a}. \]

1)

Montrer que \(g\) est continue en \(0\).

2)

Préciser la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Puisque \(a\gt0\), on a \(-a\lt0\). La formule avec la racine est définie pour \(x\ge-a\), et la valeur en \(0\) est donnée séparément. Ainsi :

\[ D_g=[-a,+\infty[. \]

On a :

\[ g(0)=\frac1{2\sqrt a}. \]

Pour \(x\ne0\), on écrit :

\[ g(x) = x+ \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x}. \]

En utilisant la quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x} = \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt a}. \]

Donc, pour \(x\ne0\) :

\[ g(x) = x+\frac1{\sqrt{x+a}+\sqrt a}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0}g(x) = 0+\frac1{2\sqrt a} = \frac1{2\sqrt a} = g(0). \]

\[ \boxed{g\ \text{est continue en }0} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

D’après la transformation obtenue à la question précédente, pour \(x\gt0\) :

\[ g(x) = x+\frac1{\sqrt{x+a}+\sqrt a}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\) :

\[ x\to+\infty, \qquad \frac1{\sqrt{x+a}+\sqrt a}\to0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty} \]

Résultats essentiels

Continuité en un point

Une fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque :

\[\boxed{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}.\]

Valeur de raccordement

Lorsqu’une fonction est définie par une formule pour \(x\neq a\) et par \(f(a)=\lambda\), la continuité en \(a\) impose :

\[\boxed{\lambda=\lim_{x\to a}f(x)}.\]

Quantité conjuguée

Pour supprimer une différence de racines carrées :

\[\sqrt{u}-\sqrt{v}=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}},\qquad u\ge0,\ v\ge0.\]

Caractère local de la continuité

Pour étudier la continuité en un point, il suffit que la formule soit définie dans un voisinage ponctué de ce point et que la valeur de la fonction au point étudié soit définie.

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