Parcours Maths Maroc : corrections détaillées des examens nationaux, exercices corrigés et préparation aux concours de mathématiques pour le lycée marocain. Ressources pour 2e Bac Sciences Mathématiques A/B et PC/SVT, concours ENSA, ENSAM, Médecine, APESA et ENCG. Contenus rigoureux et conformes au programme marocain, par Hammou Boudraa, enseignant de mathématiques.
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Correction des exercices 08 à 12 — Continuité en un point — Al Moufid
Correction des exercices 08 à 12 — Limite et continuité
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Objectif de cette série.
Ces exercices sont centrés sur la continuité en un point. D’après la définition du cours, vérifier la continuité revient à comparer la limite de la fonction avec la valeur qui lui est attribuée au point étudié. Lorsque cette valeur dépend d’un paramètre, on la détermine en imposant cette égalité : on retrouve ainsi le principe du prolongement par continuité.
Lien avec le cours.
Une fonction est continue en \(x_0\) lorsque
\(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
Lorsqu’une branche définie hors du point possède une limite finie, cette limite fournit la valeur à attribuer au point pour obtenir un prolongement continu. Les corrections utilisent ensuite seulement les outils nécessaires : opérations sur les limites, factorisation, quantité conjuguée et limites trigonométriques usuelles, après vérification du domaine près du point étudié.
Exercice 08
Repère de cours — Exercice 08.
D’après la définition de la continuité en un point, \(f\) est continue en \(-1\) si \(\lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)\). Ici, le remplacement direct dans la branche fractionnaire donne la forme indéterminée \(\frac00\). La factorisation fait apparaître le facteur \(x+1\), que l’on simplifie pour \(x\neq-1\), puis la limite restante se calcule à l’aide d’un polynôme.
Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(-1\).
Méthode.
Vérifier la définition de la continuité. On connaît déjà la valeur \(f(-1)\). Il reste donc à calculer la limite au même point. Comme le remplacement direct donne la forme indéterminée \(0/0\), on doit d’abord transformer le quotient ; la factorisation du numérateur permet précisément de simplifier le facteur \(x+1\).
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On a \(f(-1)=12\). Pour étudier la continuité en \(-1\), calculons la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(-1\).
La substitution directe dans la fraction donne la forme indéterminée \(\frac00\). Pour \(x\neq-1\), on factorise le numérateur :
\[
x^5-x^4+x^3+3
=(x+1)(x^4-2x^3+3x^2-3x+3).
\]
Donc, pour \(x\neq-1\) :
\[
f(x)=x^4-2x^3+3x^2-3x+3.
\]
La fonction obtenue est polynomiale. Par conséquent :
\[
\boxed{\lim_{x\to-1}f(x)=12=f(-1)}
\]
Ainsi, \(f\) est continue en \(-1\).
La limite obtenue est égale à la valeur définie en \(-1\). La condition de continuité est donc satisfaite au point étudié.
Exercice 09
Repère de cours — Exercice 09.
D’après la définition de la continuité en un point, il faut vérifier que \(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\). Le remplacement direct dans la branche fractionnaire donne \(\frac00\). La multiplication par la quantité conjuguée transforme la différence de racines et fait apparaître la limite usuelle
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\).
Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(0\).
Méthode.
Faire apparaître une limite usuelle. La valeur \(f(0)\) est connue. Pour calculer la limite de la branche fractionnaire, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée de la différence de racines. Cette transformation fait apparaître \(\frac{1-\cos x}{x^2}\), dont la limite en \(0\) est connue dans le cours.
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On a \(f(0)=-\frac18\). Calculons maintenant la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).
Pour \(x\neq0\), on multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :
\[
\boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac18=f(0)}
\]
Ainsi, \(f\) est continue en \(0\).
La limite de la branche définie pour \(x\neq0\) coïncide avec \(f(0)\). Il n’y a donc pas de rupture de continuité en \(0\).
Exercice 10
Repère de cours — Exercice 10.
D’après la définition de la continuité en \(0\), il faut avoir \(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=a\). C’est le principe du prolongement par continuité : la valeur attribuée au point doit coïncider avec la limite finie de la branche définie pour \(x\neq0\) suffisamment proche de \(0\). Il faut donc vérifier cette condition de définition avant de calculer la limite.
Énoncé
Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(f\) définie par :
Méthode.
Déterminer la valeur de raccordement. La continuité en \(0\) impose directement \(a=\lim_{x\to0}f(x)\). Le calcul consiste donc à simplifier le quotient défini pour \(x\neq0\), puis à passer à la limite après avoir vérifié que cette expression est bien définie pour \(x\neq0\) suffisamment proche de \(0\).
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Point de domaine.
Pour \(0<|x|<\pi\), on a \(\sin x\neq0\).
Le quotient est donc bien défini pour \(x\neq0\) suffisamment proche de \(0\),
ce qui suffit pour étudier la limite et la continuité en \(0\).
La fonction \(f\) est continue en \(0\) si, et seulement si :
\[
\boxed{a=-\frac32}
\]
Pour cette valeur, \(f\) est continue en \(0\).
La valeur \(-\frac32\) est la valeur de raccordement qui permet d’obtenir la continuité de \(f\) en \(0\).
Exercice 11
Repère de cours — Exercice 11.
D’après la définition de la continuité, la valeur \(a=f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\) doit coïncider avec la limite de la branche définie pour \(x\neq\frac{\pi}{2}\) suffisamment proche de \(\frac{\pi}{2}\). C’est encore le principe du prolongement par continuité. Le changement de variable \(t=x-\frac{\pi}{2}\) ramène ensuite le calcul au voisinage de \(0\), où la quantité conjuguée fait apparaître la limite usuelle portant sur \(1-\cos t\).
Énoncé
Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(f\) définie par :
Méthode.
Ramener le calcul au voisinage de zéro. La continuité en \(\frac{\pi}{2}\) impose que \(a\) soit égal à la limite de la branche définie hors de ce point. Le changement de variable centre l’étude en \(0\), puis la quantité conjuguée permet d’utiliser la limite usuelle portant sur \(1-\cos t\).
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Point de domaine.
Lorsque \(\left|x-\frac{\pi}{2}\right|<\frac{\pi}{2}\),
on a \(\sin x>0\). La quantité \(\sqrt{\sin x}\) est donc bien définie
dans un voisinage de \(\frac{\pi}{2}\).
Pour que \(f\) soit continue en \(\frac{\pi}{2}\), il faut et il suffit que :
\[
\boxed{a=0}
\]
Pour cette valeur, \(f\) est continue en \(\frac{\pi}{2}\).
La valeur \(0\) est la valeur de raccordement obtenue par la limite de la branche définie hors de \(\frac{\pi}{2}\).
Exercice 12
Données communes
Soit \(a\) un réel strictement positif. On considère la fonction \(g\) définie par :
Pour \(x\geq-a\) et \(x\neq0\) :
\[
g(x)=\frac{x^2+\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x}.
\]
Et, au point \(0\) :
\[
g(0)=\frac{1}{2\sqrt a}.
\]
Repère de cours — Exercice 12.
La première question applique directement la définition de la continuité en \(0\) : il faut vérifier que \(\lim_{x\to0}g(x)=g(0)\). La multiplication par la quantité conjuguée de la différence de racines donne une écriture simplifiée de \(g(x)\). Cette même écriture peut ensuite être réutilisée dans la deuxième question pour appliquer les règles de calcul sur les limites à \(+\infty\).
1)
Montrer que \(g\) est continue en \(0\).
Méthode.
Comparer la limite à la valeur en \(0\). Puisque \(g(0)\) est donnée, il suffit de montrer que la limite de \(g(x)\) en \(0\) lui est égale. Pour la différence de racines, on multiplie par la quantité conjuguée afin d’obtenir une expression dont chaque terme possède une limite immédiate.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Puisque \(a>0\), on a \(-a<0\). La formule avec la racine est
définie pour \(x\geq-a\), et la valeur en \(0\) est donnée séparément.
Ainsi :
La valeur attribuée en \(0\) est exactement la limite obtenue. La définition de la continuité en \(0\) est donc vérifiée.
2)
Préciser la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Méthode.
Réutiliser la transformation précédente. La forme obtenue à la question 1 sépare \(g(x)\) en un terme \(x\), qui tend vers \(+\infty\), et un second terme qui tend vers \(0\). Les règles de calcul sur les limites donnent alors directement la limite demandée.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
D’après la transformation obtenue à la question précédente, pour \(x>0\) :
Pour étudier la continuité en un point \(a\), on vérifie d’abord que la fonction est définie en \(a\) et pour \(x\neq a\) suffisamment proche de \(a\). Il reste ensuite à comparer la limite obtenue avec la valeur de la fonction au point.
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