Correction des exercices 08 à 12 — Continuité en un point — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 08 à 12 — Continuité en un point

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — version vérifiée

Vérification effectuée :
les six questions ont été comparées aux énoncés originaux. Les factorisations, les limites trigonométriques, les valeurs de raccordement et le domaine de la fonction de l’exercice 12 ont été contrôlés.

Menu des exercices

Exercice 08Exercice 09Exercice 10Exercice 11Exercice 12

Exercice 08

Menu des questions — Exercice 08

Question 1

Question

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^5-x^4+x^3+3}{x+1}, & \text{si }x\neq-1,\\[6pt] 12, & \text{si }x=-1. \end{cases} \]

Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(-1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On a \(f(-1)=12\). Pour étudier la continuité en \(-1\), calculons la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(-1\).

La substitution directe dans la fraction donne la forme indéterminée \(\frac00\). Pour \(x\neq-1\), on factorise le numérateur :

\[ x^5-x^4+x^3+3 =(x+1)(x^4-2x^3+3x^2-3x+3). \]

Donc, pour \(x\neq-1\) :

\[ f(x)=x^4-2x^3+3x^2-3x+3. \]

La fonction obtenue est polynomiale. Par conséquent :

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to-1}f(x) &=(-1)^4-2(-1)^3+3(-1)^2-3(-1)+3\\ &=1+2+3+3+3\\ &=12. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-1}f(x)=12=f(-1)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(-1\).

↩ Retour aux questions de l’exercice 08

↩ Questions de l’exercice 08☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 09

Menu des questions — Exercice 09

Question 1

Question

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sqrt{3+\cos x}-2}{x^2}, & \text{si }x\neq0,\\[7pt] -\displaystyle\frac18, & \text{si }x=0. \end{cases} \]

Montrer que la fonction \(f\) est continue en \(0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On a \(f(0)=-\frac18\). Calculons maintenant la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).

Pour \(x\neq0\), on multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{\sqrt{3+\cos x}-2}{x^2} \times \frac{\sqrt{3+\cos x}+2}{\sqrt{3+\cos x}+2}\\[4pt] &= \frac{\cos x-1} {x^2\bigl(\sqrt{3+\cos x}+2\bigr)}. \end{aligned} \]

On écrit alors :

\[ f(x) = -\frac{1-\cos x}{x^2} \times \frac{1}{\sqrt{3+\cos x}+2}. \]

Or :

\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12, \qquad \lim_{x\to0}\bigl(\sqrt{3+\cos x}+2\bigr)=4. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0}f(x) = -\frac12\times\frac14 = -\frac18. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac18=f(0)} \] Ainsi, \(f\) est continue en \(0\).

↩ Retour aux questions de l’exercice 09

↩ Questions de l’exercice 09☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 10

Menu des questions — Exercice 10

Question 1

Question

Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\cos^3x-1}{\sin^2x}, & \text{si }x\neq0,\\[7pt] a, & \text{si }x=0, \end{cases} \]

soit continue en \(0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

L’étude est locale au voisinage de \(0\). Pour \(x\ne0\) suffisamment proche de \(0\), on a \(\sin x\ne0\), donc le quotient est bien défini.

La fonction \(f\) est continue en \(0\) si, et seulement si :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\cos^3x-1}{\sin^2x}=f(0)=a. \]

Pour \(x\neq0\), on utilise les identités :

\[ \cos^3x-1=(\cos x-1)(\cos^2x+\cos x+1), \]

\[ \sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x). \]

Comme \(\cos x-1=-(1-\cos x)\), on obtient :

\[ \frac{\cos^3x-1}{\sin^2x} = -\frac{\cos^2x+\cos x+1}{1+\cos x}. \]

Par continuité de la fonction cosinus en \(0\) :

\[ \lim_{x\to0} \frac{\cos^3x-1}{\sin^2x} = -\frac{1+1+1}{1+1} = -\frac32. \]

\[ \boxed{a=-\frac32} \] Pour cette valeur, \(f\) est continue en \(0\).

↩ Retour aux questions de l’exercice 10

↩ Questions de l’exercice 10☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 11

Menu des questions — Exercice 11

Question 1

Question

Déterminer le réel \(a\) pour que la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sqrt{\sin x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}, & \text{si }x\neq\frac{\pi}{2},\\[9pt] a, & \text{si }x=\frac{\pi}{2}, \end{cases} \]

soit continue au point \(x_0=\frac{\pi}{2}\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Au voisinage de \(\frac{\pi}{2}\), on a \(\sin x\gt0\). La racine \(\sqrt{\sin x}\) est donc bien définie dans un voisinage du point étudié.

Pour que \(f\) soit continue en \(\frac{\pi}{2}\), il faut et il suffit que :

\[ a= \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}. \]

Posons :

\[ t=x-\frac{\pi}{2}. \]

Alors \(t\to0\) et :

\[ \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right) = \cos t. \]

La limite devient donc :

\[ \lim_{t\to0}\frac{\sqrt{\cos t}-1}{t}. \]

On multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{\cos t}-1}{t} = \frac{\cos t-1}{t(\sqrt{\cos t}+1)}. \]

De plus :

\[ \frac{\cos t-1}{t} = -t\,\frac{1-\cos t}{t^2}. \]

Comme :

\[ \lim_{t\to0}t=0, \qquad \lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12, \qquad \lim_{t\to0}(\sqrt{\cos t}+1)=2, \]

on obtient :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x}-1}{x-\frac{\pi}{2}} =0. \]

\[ \boxed{a=0} \] Pour cette valeur, \(f\) est continue en \(\frac{\pi}{2}\).

↩ Retour aux questions de l’exercice 11

↩ Questions de l’exercice 11☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 12

Menu des questions — Exercice 12

Question 1Question 2

Question 1

Soit \(a\) un réel strictement positif. On considère la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2+\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x}, & \text{si }x\geq-a\text{ et }x\neq0,\\[9pt] \displaystyle\frac{1}{2\sqrt a}, & \text{si }x=0. \end{cases} \]

Montrer que \(g\) est continue en \(0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Puisque \(a\gt0\), on a \(-a\lt0\). La formule avec la racine est définie pour \(x\ge-a\), et la valeur en \(0\) est donnée séparément. Ainsi :

\[ D_g=[-a,+\infty[. \]

On a :

\[ g(0)=\frac1{2\sqrt a}. \]

Pour \(x\ne0\), on écrit :

\[ g(x) = x+ \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x}. \]

En utilisant la quantité conjuguée :

\[ \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt a}{x} = \frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt a}. \]

Donc, pour \(x\ne0\) :

\[ g(x) = x+\frac1{\sqrt{x+a}+\sqrt a}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0}g(x) = 0+\frac1{2\sqrt a} = \frac1{2\sqrt a} = g(0). \]

\[ \boxed{g\ \text{est continue en }0} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 12

Question 2

Préciser la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la transformation obtenue à la question précédente, pour \(x\gt0\) :

\[ g(x) = x+\frac1{\sqrt{x+a}+\sqrt a}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\) :

\[ x\to+\infty, \qquad \frac1{\sqrt{x+a}+\sqrt a}\to0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 12

↩ Questions de l’exercice 12☰ Menu des exercices← Page Continuité

Bilan du bloc

Les exercices 08 à 12 sont conformes aux énoncés originaux et leurs résultats mathématiques sont corrects.

Aucun résultat majeur n’a dû être remplacé. La version a été renforcée par des précisions locales dans les exercices 10 et 11, ainsi que par l’indication du domaine exact \(D_g=[-a,+\infty[\) dans l’exercice 12.

Retour à la page Continuité Retour à Al Moufid