Correction des exercices 20 à 23 — Prolongement par continuité — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 20 à 23 — Prolongement par continuité

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — version vérifiée

Vérification effectuée :
les dix questions ont été comparées aux énoncés originaux. Les domaines, les limites et les prolongements ont été contrôlés mathématiquement. Les domaines des fonctions prolongées sont désormais indiqués avec précision.

Menu des exercices

Exercice 20Exercice 21Exercice 22Exercice 23

Exercice 20

Menu des questions — Exercice 20

Question 1Question 2Question 3Question 4

Question 1

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{x\sqrt{x}-1} {\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Le numérateur impose \(x\ge0\). De plus :

\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}=0 \iff 3x+1=x+3 \iff x=1. \]

Ainsi :

\[ D_f=[0,+\infty[\setminus\{1\}. \]

Lorsque \(x\to1\), le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). On factorise :

\[ x\sqrt{x}-1 = (\sqrt{x})^3-1 = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1), \] \[ \sqrt{x}-1=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}. \]

D’autre part :

\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3} = \frac{2(x-1)} {\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}. \]

Pour \(x\in D_f\) :

\[ f(x)= \frac{(x+\sqrt{x}+1) \left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}\right)} {2(\sqrt{x}+1)}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to1}f(x) = \frac{3(2+2)}{2\cdot2} =3. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=3} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \([0,+\infty[\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D_f,\\ 3,&x=1. \end{cases} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 20

Question 2

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+5}-3} {4-x^2}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=-2\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Les racines imposent \(x\ge-\frac52\), et le dénominateur impose \(x\ne-2\) et \(x\ne2\). Ainsi :

\[ D_f= \left[-\frac52,+\infty\right[ \setminus\{-2,2\}. \]

On écrit :

\[ \sqrt{x+6}+\sqrt{2x+5}-3 = \left(\sqrt{x+6}-2\right) + \left(\sqrt{2x+5}-1\right). \]

Pour \(x\ne-2\) :

\[ \sqrt{x+6}-2 = \frac{x+2}{\sqrt{x+6}+2}, \] \[ \sqrt{2x+5}-1 = \frac{2(x+2)}{\sqrt{2x+5}+1}. \]

Comme \(4-x^2=(2-x)(x+2)\), on obtient :

\[ f(x)= \frac{ \frac1{\sqrt{x+6}+2} + \frac2{\sqrt{2x+5}+1}} {2-x}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to-2}f(x) = \frac{\frac14+1}{4} = \frac5{16}. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-2}f(x)=\frac5{16}} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \(\left[-\frac52,+\infty\right[\setminus\{2\}\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D_f,\\[1mm] \frac5{16},&x=-2. \end{cases} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 20

Question 3

On considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{\tan x-\sin x}{x+\sin x}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\ne0\), suffisamment proche de \(0\) :

\[ \tan x-\sin x = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}, \] \[ x+\sin x = x\left(1+\frac{\sin x}{x}\right). \]

Ainsi :

\[ f(x)= \frac{\frac{\sin x}{x}(1-\cos x)} {\cos x\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)}. \]

Or :

\[ \frac{\sin x}{x}\to1, \qquad 1-\cos x\to0, \qquad \cos x\to1. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Si \(D_f\) désigne le domaine de la fonction initiale, son prolongement par continuité en \(0\) est défini sur \(D_f\cup\{0\}\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D_f,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 20

Question 4

On considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{\cos x-\sqrt{1+\sin x}}{x}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

La quantité \(1+\sin x\) est toujours positive ou nulle. La fonction initiale est donc définie sur :

\[ D_f=\mathbb R^*. \]

On utilise la quantité conjuguée :

\[ f(x)= \frac{\cos^2x-(1+\sin x)} {x\left(\cos x+\sqrt{1+\sin x}\right)}. \]

Or :

\[ \cos^2x-(1+\sin x) = -\sin x(1+\sin x). \]

Ainsi :

\[ f(x)= -\frac{\sin x}{x} \frac{1+\sin x} {\cos x+\sqrt{1+\sin x}}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0}f(x) = -1\cdot\frac12 = -\frac12. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac12} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\ne0,\\[1mm] -\frac12,&x=0. \end{cases} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 20

↩ Questions de l’exercice 20☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 21

Menu des questions — Exercice 21

Question 1Question 2

Question 1 — Domaine de définition

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{\sqrt{8x+1}}{2(x-1)} + \frac{3|x|}{1-x^2}. \]

Déterminer \(D_f\), le domaine de définition de \(f\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La racine carrée impose :

\[ 8x+1\geq0 \iff x\geq-\frac18. \]

Les dénominateurs imposent :

\[ x-1\neq0 \quad\text{et}\quad 1-x^2\neq0. \]

Donc \(x\neq1\) et \(x\neq-1\). Mais \(-1<-\frac18\), donc \(-1\) est déjà exclu par la condition de la racine.

\[ \boxed{ D_f= \left[-\frac18,+\infty\right[\setminus\{1\} } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 21

Question 2 — Prolongement en \(1\)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(1\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

Au voisinage de \(1\), on a \(x\gt0\), donc \(|x|=x\). Pour \(x\ne1\) :

\[ f(x) = \frac{\sqrt{8x+1}}{2(x-1)} - \frac{3x}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)\sqrt{8x+1}-6x} {2(x-1)(x+1)}. \]

On rationalise le numérateur :

\[ (x+1)\sqrt{8x+1}-6x = \frac{(x+1)^2(8x+1)-36x^2} {(x+1)\sqrt{8x+1}+6x}. \]

Or :

\[ (x+1)^2(8x+1)-36x^2 = (x-1)(8x^2-11x-1). \]

Ainsi :

\[ f(x)= \frac{8x^2-11x-1} {2(x+1)\left((x+1)\sqrt{8x+1}+6x\right)}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1}f(x) = \frac{-4}{48} = -\frac1{12}. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=-\frac1{12}} \] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité sur \(\left[-\frac18,+\infty\right[\), défini par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\ne1,\\[1mm] -\frac1{12},&x=1. \end{cases} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 21

↩ Questions de l’exercice 21☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 22

Menu des questions — Exercice 22

Question 1Question 2

Question 1 — Domaine de définition

On considère la fonction :

\[ g(x)= \frac{3x^2+5x+2} {|x^2-1|-|x+1|}. \]

Déterminer \(D_g\), le domaine de définition de \(g\).

Lire la correction + Masquer la correction −

On factorise le dénominateur :

\[ \begin{aligned} |x^2-1|-|x+1| &= |(x-1)(x+1)|-|x+1|\\[4pt] &= |x+1|\bigl(|x-1|-1\bigr). \end{aligned} \]

Le dénominateur s’annule lorsque :

\[ |x+1|=0 \quad\text{ou}\quad |x-1|=1. \]

On obtient :

\[ x=-1 \quad\text{ou}\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2. \]

\[ \boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{-1,0,2\}} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 22

Question 2 — Prolongement en \(-1\)

La fonction \(g\) admet-elle un prolongement par continuité en \(-1\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

On factorise le numérateur :

\[ 3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1). \]

Au voisinage de \(-1\), on a \(x<1\), donc :

\[ |x-1|=1-x \quad\text{et}\quad |x-1|-1=-x. \]

Ainsi :

\[ g(x) = \frac{(3x+2)(x+1)} {-x|x+1|}. \]

À gauche de \(-1\) : si \(x<-1\), alors \(|x+1|=-(x+1)\). Donc :

\[ g(x)=\frac{3x+2}{x}, \]

\[ \lim_{x\to-1^-}g(x)=1. \]

À droite de \(-1\) : si \(x>-1\), alors \(|x+1|=x+1\). Donc :

\[ g(x)=-\frac{3x+2}{x}, \]

\[ \lim_{x\to-1^+}g(x)=-1. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to-1^-}g(x)=1 \neq -1=\lim_{x\to-1^+}g(x) } \] La limite de \(g\) en \(-1\) n’existe pas. Par conséquent, \(g\) n’admet pas de prolongement par continuité en \(-1\).

↩ Retour aux questions de l’exercice 22

↩ Questions de l’exercice 22☰ Menu des exercices← Page Continuité

Exercice 23

Menu des questions — Exercice 23

Question 1Question 2

Question 1 — Encadrement

On considère la fonction définie sur \(\mathbb R^*\) par :

\[ f(x)=x^2E\left(\frac1x\right), \]

où \(E\) désigne la fonction partie entière.

Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R^*\) :

\[ x-x^2\leq f(x)\leq x. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout réel \(u\), la propriété de la partie entière donne :

\[ u-1\lt E(u)\le u. \]

En prenant \(u=\frac1x\), avec \(x\ne0\), on obtient :

\[ \frac1x-1 \lt E\left(\frac1x\right) \le \frac1x. \]

Comme \(x^2\gt0\), on multiplie les trois membres par \(x^2\) sans changer le sens des inégalités :

\[ x-x^2 \lt x^2E\left(\frac1x\right) \le x. \]

Or \(f(x)=x^2E\left(\frac1x\right)\). On a donc, a fortiori :

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R^*,\qquad x-x^2\le f(x)\le x } \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 23

Question 2 — Prolongement en \(0\)

En déduire que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la question précédente :

\[ x-x^2\le f(x)\le x. \]

Or :

\[ \lim_{x\to0}(x-x^2)=0, \qquad \lim_{x\to0}x=0. \]

Le théorème d’encadrement donne :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} x^2E\left(\frac1x\right),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 23

↩ Questions de l’exercice 23☰ Menu des exercices← Page Continuité

Bilan du bloc

Les exercices 20 à 23 sont mathématiquement corrects après comparaison avec les pages originales d’Al Moufid.

La version a été améliorée sur deux points importants : les domaines exacts des fonctions prolongées sont maintenant précisés, et la démonstration de l’exercice 23, qui était endommagée par un signe inférieur brut dans le HTML, a été entièrement réparée.

Retour à la page Continuité Retour à Al Moufid