Correction des exercices 20 à 23 — Prolongement par continuité — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 20 à 23 — Prolongement par continuité

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Menu des exercices

Exercice 20Exercice 21Exercice 22Exercice 23

Exercice 20

Énoncé

1)

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{x\sqrt{x}-1} {\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.

2)

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+5}-3} {4-x^2}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=-2\), puis donner ce prolongement.

3)

On considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{\tan x-\sin x}{x+\sin x}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

4)

On considère la fonction :

\[ f(x)=\frac{\cos x-\sqrt{1+\sin x}}{x}. \]

Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Le numérateur impose \(x\ge0\). De plus :

\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}=0 \iff 3x+1=x+3 \iff x=1. \]

Ainsi :

\[ D_f=[0,+\infty[\setminus\{1\}. \]

Lorsque \(x\to1\), le numérateur et le dénominateur tendent vers \(0\). On factorise :

\[ x\sqrt{x}-1 = (\sqrt{x})^3-1 = (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1), \] \[ \sqrt{x}-1=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}. \]

D’autre part :

\[ \sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3} = \frac{2(x-1)} {\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}. \]

Pour \(x\in D_f\) :

\[ f(x)= \frac{(x+\sqrt{x}+1) \left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}\right)} {2(\sqrt{x}+1)}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to1}f(x) = \frac{3(2+2)}{2\cdot2} =3. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=3} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \([0,+\infty[\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D_f,\\ 3,&x=1. \end{cases} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Les racines imposent \(x\ge-\frac52\), et le dénominateur impose \(x\ne-2\) et \(x\ne2\). Ainsi :

\[ D_f= \left[-\frac52,+\infty\right[ \setminus\{-2,2\}. \]

On écrit :

\[ \sqrt{x+6}+\sqrt{2x+5}-3 = \left(\sqrt{x+6}-2\right) + \left(\sqrt{2x+5}-1\right). \]

Pour \(x\ne-2\) :

\[ \sqrt{x+6}-2 = \frac{x+2}{\sqrt{x+6}+2}, \] \[ \sqrt{2x+5}-1 = \frac{2(x+2)}{\sqrt{2x+5}+1}. \]

Comme \(4-x^2=(2-x)(x+2)\), on obtient :

\[ f(x)= \frac{ \frac1{\sqrt{x+6}+2} + \frac2{\sqrt{2x+5}+1}} {2-x}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to-2}f(x) = \frac{\frac14+1}{4} = \frac5{16}. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-2}f(x)=\frac5{16}} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \(\left[-\frac52,+\infty\right[\setminus\{2\}\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D_f,\\[1mm] \frac5{16},&x=-2. \end{cases} \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Point de domaine. Dans un voisinage suffisamment petit de \(0\), la fonction \(\tan\) est définie. De plus, \(x+\sin x\) a le même signe que \(x\), donc il est non nul pour \(x\neq0\) assez proche de \(0\).

Pour \(x\ne0\), suffisamment proche de \(0\) :

\[ \tan x-\sin x = \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}, \] \[ x+\sin x = x\left(1+\frac{\sin x}{x}\right). \]

Ainsi :

\[ f(x)= \frac{\frac{\sin x}{x}(1-\cos x)} {\cos x\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)}. \]

Or :

\[ \frac{\sin x}{x}\to1, \qquad 1-\cos x\to0, \qquad \cos x\to1. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Si \(D_f\) désigne le domaine de la fonction initiale, son prolongement par continuité en \(0\) est défini sur \(D_f\cup\{0\}\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\in D_f,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

La quantité \(1+\sin x\) est toujours positive ou nulle. La fonction initiale est donc définie sur :

\[ D_f=\mathbb R^*. \]

On utilise la quantité conjuguée :

\[ f(x)= \frac{\cos^2x-(1+\sin x)} {x\left(\cos x+\sqrt{1+\sin x}\right)}. \]

Or :

\[ \cos^2x-(1+\sin x) = -\sin x(1+\sin x). \]

Ainsi :

\[ f(x)= -\frac{\sin x}{x} \frac{1+\sin x} {\cos x+\sqrt{1+\sin x}}. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0}f(x) = -1\cdot\frac12 = -\frac12. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac12} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\ne0,\\[1mm] -\frac12,&x=0. \end{cases} \]

Exercice 21

Énoncé

1)

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{\sqrt{8x+1}}{2(x-1)} + \frac{3|x|}{1-x^2}. \]

Déterminer \(D_f\), le domaine de définition de \(f\).

2)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(1\) ?

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La racine carrée impose :

\[ 8x+1\geq0 \iff x\geq-\frac18. \]

Les dénominateurs imposent :

\[ x-1\neq0 \quad\text{et}\quad 1-x^2\neq0. \]

Donc \(x\neq1\) et \(x\neq-1\). Mais \(-1<-\frac18\), donc \(-1\) est déjà exclu par la condition de la racine.

\[ \boxed{ D_f= \left[-\frac18,+\infty\right[\setminus\{1\} } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Au voisinage de \(1\), on a \(x\gt0\), donc \(|x|=x\). Pour \(x\ne1\) :

\[ f(x) = \frac{\sqrt{8x+1}}{2(x-1)} - \frac{3x}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)\sqrt{8x+1}-6x} {2(x-1)(x+1)}. \]

On rationalise le numérateur :

\[ (x+1)\sqrt{8x+1}-6x = \frac{(x+1)^2(8x+1)-36x^2} {(x+1)\sqrt{8x+1}+6x}. \]

Or :

\[ (x+1)^2(8x+1)-36x^2 = (x-1)(8x^2-11x-1). \]

Ainsi :

\[ f(x)= \frac{8x^2-11x-1} {2(x+1)\left((x+1)\sqrt{8x+1}+6x\right)}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1}f(x) = \frac{-4}{48} = -\frac1{12}. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=-\frac1{12}} \] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité sur \(\left[-\frac18,+\infty\right[\), défini par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} f(x),&x\ne1,\\[1mm] -\frac1{12},&x=1. \end{cases} \]

Exercice 22

Énoncé

1)

On considère la fonction :

\[ g(x)= \frac{3x^2+5x+2} {|x^2-1|-|x+1|}. \]

Déterminer \(D_g\), le domaine de définition de \(g\).

2)

La fonction \(g\) admet-elle un prolongement par continuité en \(-1\) ?

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

On factorise le dénominateur :

\[ \begin{aligned} |x^2-1|-|x+1| &= |(x-1)(x+1)|-|x+1|\\[4pt] &= |x+1|\bigl(|x-1|-1\bigr). \end{aligned} \]

Le dénominateur s’annule lorsque :

\[ |x+1|=0 \quad\text{ou}\quad |x-1|=1. \]

On obtient :

\[ x=-1 \quad\text{ou}\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2. \]

\[ \boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{-1,0,2\}} \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On factorise le numérateur :

\[ 3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1). \]

Au voisinage de \(-1\), on a \(x<1\), donc :

\[ |x-1|=1-x \quad\text{et}\quad |x-1|-1=-x. \]

Ainsi :

\[ g(x) = \frac{(3x+2)(x+1)} {-x|x+1|}. \]

À gauche de \(-1\) : si \(x<-1\), alors \(|x+1|=-(x+1)\). Donc :

\[ g(x)=\frac{3x+2}{x}, \]

\[ \lim_{x\to-1^-}g(x)=1. \]

À droite de \(-1\) : si \(x>-1\), alors \(|x+1|=x+1\). Donc :

\[ g(x)=-\frac{3x+2}{x}, \]

\[ \lim_{x\to-1^+}g(x)=-1. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to-1^-}g(x)=1 \neq -1=\lim_{x\to-1^+}g(x) } \] La limite de \(g\) en \(-1\) n’existe pas. Par conséquent, \(g\) n’admet pas de prolongement par continuité en \(-1\).

Exercice 23

Énoncé

1)

On considère la fonction définie sur \(\mathbb R^*\) par :

\[ f(x)=x^2E\left(\frac1x\right), \]

où \(E\) désigne la fonction partie entière.

Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R^*\) :

\[ x-x^2\leq f(x)\leq x. \]

2)

En déduire que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\), puis donner ce prolongement.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Pour tout réel \(u\), la propriété de la partie entière donne :

\[ u-1\lt E(u)\le u. \]

En prenant \(u=\frac1x\), avec \(x\ne0\), on obtient :

\[ \frac1x-1 \lt E\left(\frac1x\right) \le \frac1x. \]

Comme \(x^2\gt0\), on multiplie les trois membres par \(x^2\) sans changer le sens des inégalités :

\[ x-x^2 \lt x^2E\left(\frac1x\right) \le x. \]

Cette inégalité stricte entraîne en particulier l’inégalité faible demandée dans l’énoncé.

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R^*,\qquad x-x^2\le f(x)\le x } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

D’après la question précédente :

\[ x-x^2\le f(x)\le x. \]

Or :

\[ \lim_{x\to0}(x-x^2)=0, \qquad \lim_{x\to0}x=0. \]

Le théorème d’encadrement donne :

\[ \lim_{x\to0}f(x)=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Le prolongement par continuité est la fonction \(\widetilde f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ \widetilde f(x)= \begin{cases} x^2E\left(\frac1x\right),&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases} \]

Résultats essentiels

Principe du prolongement par continuité

Si \(f\) est définie au voisinage de \(a\), sauf éventuellement en \(a\), et si la limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) existe et est finie, alors on peut définir \(\widetilde f(a)=\ell\).

\[\widetilde f(x)=\begin{cases}f(x),&x\neq a,\\ \ell,&x=a.\end{cases}\]

Condition indispensable

Un prolongement par continuité en \(a\) n’est possible que si les limites à gauche et à droite sont égales et finies. Si elles sont différentes, aucun choix de valeur en \(a\) ne peut rendre la fonction continue.

Quantité conjuguée

Pour lever une forme indéterminée contenant des racines carrées, on multiplie par la quantité conjuguée afin de faire apparaître un facteur \(x-a\).

Domaine de la fonction prolongée

Le prolongement ajoute uniquement le point étudié au domaine initial. Les autres valeurs interdites restent exclues.