Correction des exercices 24 à 33 — Prolongement par continuité — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 24 à 33 — Prolongement, limites composées et continuité

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Menu des exercices

Exercice 24Exercice 25Exercice 26Exercice 27Exercice 28Exercice 29Exercice 30Exercice 31Exercice 32Exercice 33

Exercice 24

Énoncé

1)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{2x^{17}-17x+15}{x-1} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.

2)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{1+\cos x\cos2x}{x-\pi} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=\pi\), puis donner ce prolongement.

3)

Soient \(a\in\mathbb R\) et \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x^n-a^n}{x-a} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=a\), puis donner ce prolongement.

4)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x\sin x-\cos\left(\frac x2\right)}{x+\pi} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=-\pi\), puis donner ce prolongement.

5)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

6)

Soit \(p\in\mathbb N^*\). Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x^{p+1}-(p+1)x+p}{(x-1)^2} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.

7)

Soit \(a\in\mathbb R_+^*\). Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\sqrt{a^2+x}-a}{\tan x} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

8)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\tan x-1}{\sqrt2\cos x-1} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=\frac{\pi}{4}\), puis donner ce prolongement.

9)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\cos x+\cos2x-2}{\cos3x+\sin x-1} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

10)

Montrer que la fonction

\[ f(x)= \frac{1}{(5-x)^2} \left(1-\sin\left(\frac{\pi x}{10}\right)\right) \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=5\), puis donner ce prolongement.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

On réécrit le numérateur sous la forme :

\[ 2x^{17}-17x+15=2(x^{17}-1)-17(x-1). \]

Or :

\[ x^{17}-1=(x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^{16}). \]

Donc, pour \(x\neq1\) :

\[ f(x)=2(1+x+x^2+\cdots+x^{16})-17. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to1}f(x)=2\times17-17=17. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=17} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(1)=17\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Posons \(h=x-\pi\). Alors \(h\to0\), \(\cos x=-\cos h\) et \(\cos2x=\cos2h\). Ainsi :

\[ 1+\cos x\cos2x=1-\cos h\cos2h. \]

On écrit :

\[ 1-\cos h\cos2h =(1-\cos h)+\cos h(1-\cos2h). \]

Donc :

\[ \frac{1-\cos h\cos2h}{h} = \frac{1-\cos h}{h} + \cos h\,\frac{1-\cos2h}{h}. \]

Or :

\[ \frac{1-\cos h}{h} = h\frac{1-\cos h}{h^2}\longrightarrow0, \]

\[ \frac{1-\cos2h}{h} = 4h\frac{1-\cos2h}{(2h)^2}\longrightarrow0. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{x\to\pi}f(x)=0} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(\pi)=0\).

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Pour \(x\neq a\), l’identité remarquable donne :

\[ x^n-a^n =(x-a)\left(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}\right). \]

Donc :

\[ f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}. \]

Cette somme contient \(n\) termes, et chacun tend vers \(a^{n-1}\) lorsque \(x\to a\). Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to a}f(x)=na^{\,n-1}} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(a)=na^{\,n-1}\).

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Posons \(h=x+\pi\). Alors \(x=-\pi+h\) et \(h\to0\).

On a :

\[ \sin(-\pi+h)=-\sin h, \qquad \cos\left(-\frac{\pi}{2}+\frac h2\right)=\sin\frac h2. \]

Donc :

\[ \frac{x\sin x-\cos\left(\frac x2\right)}{x+\pi} = (\pi-h)\frac{\sin h}{h} - \frac{\sin\left(\frac h2\right)}{h}. \]

Or :

\[ \frac{\sin h}{h}\to1, \qquad \frac{\sin\left(\frac h2\right)}{h} = \frac12\frac{\sin\left(\frac h2\right)}{\frac h2} \to\frac12. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-\pi}f(x)=\pi-\frac12} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(-\pi)=\pi-\frac12\).

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Au voisinage de \(0\), on a \(\cos x>0\). Posons :

\[ u=\pi\left(\sqrt{\cos x}-1\right). \]

Alors \(u\to0\) et :

\[ \sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right) = \sin(\pi+u) = -\sin u. \]

De plus :

\[ \frac{u}{x} = \pi\frac{\sqrt{\cos x}-1}{x} = -\pi \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{x}{\sqrt{\cos x}+1} \longrightarrow0. \]

Ainsi :

\[ \frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x} = -\frac{\sin u}{u}\frac{u}{x} \longrightarrow -1\times0=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(0)=0\).

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

On écrit :

\[ x^{p+1}-(p+1)x+p = (x^{p+1}-1)-(p+1)(x-1). \]

Or :

\[ x^{p+1}-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^p). \]

Donc :

\[ x^{p+1}-(p+1)x+p = (x-1)\left[(1+x+\cdots+x^p)-(p+1)\right]. \]

Puis :

\[ (1+x+\cdots+x^p)-(p+1) = \sum_{k=1}^{p}(x^k-1). \]

Comme :

\[ x^k-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{k-1}), \]

on obtient, pour \(x\neq1\) :

\[ f(x) = \sum_{k=1}^{p}(1+x+\cdots+x^{k-1}). \]

Lorsque \(x\to1\), le \(k\)-ième terme de cette somme tend vers \(k\). Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to1}f(x) = 1+2+\cdots+p = \frac{p(p+1)}2 } \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(1)=\frac{p(p+1)}2\).

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

On multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \sqrt{a^2+x}-a = \frac{x}{\sqrt{a^2+x}+a}. \]

Donc :

\[ f(x) = \frac{x}{\tan x} \times \frac{1}{\sqrt{a^2+x}+a}. \]

Or :

\[ \frac{x}{\tan x}\to1, \qquad \sqrt{a^2+x}+a\to2a. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=\frac1{2a}} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(0)=\frac1{2a}\).

Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8

Posons \(h=x-\frac{\pi}{4}\). Alors \(h\to0\).

On utilise :

\[ \sin x-\cos x=\sqrt2\sin h, \]

\[ \sqrt2\cos x-1 = \cos h-\sin h-1. \]

Comme :

\[ \tan x-1 = \frac{\sin x-\cos x}{\cos x}, \]

on obtient :

\[ f(x) = \frac{ \displaystyle \frac{\sqrt2\sin h}{h\cos x}} {\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}-\frac{\sin h}{h}}. \]

Lorsque \(h\to0\) :

\[ \frac{\sqrt2\sin h}{h\cos x}\to2, \qquad \frac{\cos h-1}{h}-\frac{\sin h}{h}\to-1. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x)=-2} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2\).

Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9

Pour \(x\neq0\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(x\) :

\[ f(x) = \frac{ \displaystyle \frac{\cos x-1}{x} + \frac{\cos2x-1}{x}} {\displaystyle \frac{\cos3x-1}{x} + \frac{\sin x}{x}}. \]

Or :

\[ \frac{\cos x-1}{x}\to0, \qquad \frac{\cos2x-1}{x}\to0, \qquad \frac{\cos3x-1}{x}\to0, \qquad \frac{\sin x}{x}\to1. \]

Le numérateur tend donc vers \(0\), tandis que le dénominateur tend vers \(1\).

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(0)=0\).

Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10

Posons \(h=x-5\). Alors \(h\to0\) et \((5-x)^2=h^2\).

De plus :

\[ \sin\left(\frac{\pi x}{10}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{10}\right) = \cos\left(\frac{\pi h}{10}\right). \]

Donc :

\[ f(x) = \frac{1-\cos\left(\frac{\pi h}{10}\right)}{h^2}. \]

On écrit :

\[ f(x) = \frac{1-\cos\left(\frac{\pi h}{10}\right)} {\left(\frac{\pi h}{10}\right)^2} \times \frac{\pi^2}{100}. \]

Comme \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12\), on obtient :

\[ \boxed{\lim_{x\to5}f(x)=\frac{\pi^2}{200}} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(5)=\frac{\pi^2}{200}\).

Exercice 25

Énoncé

1.a)

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-1}}, & \text{si }|x|>1,\\[9pt] x^2-3x+2, & \text{si }|x|<1. \end{cases} \]

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)\).

1.b)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(1\) ?

2)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(-1\) ?

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

À droite de \(1\), on utilise le premier morceau :

\[ f(x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{(x-1)(x+1)}} = \frac{(x-1)^{3/2}}{\sqrt{x+1}}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=0. \]

À gauche de \(1\), on utilise le second morceau :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = 1-3+2 = 0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^-}f(x) = 0 } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Les deux limites latérales sont égales et finies :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 0. \]

La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(1\), défini par : \[ \boxed{\widetilde f(1)=0}. \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

À droite de \(-1\), on utilise le second morceau :

\[ \lim_{x\to-1^+}f(x) = (-1)^2-3(-1)+2 = 6. \]

À gauche de \(-1\), on utilise le premier morceau :

\[ f(x)=\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-1}}. \]

Lorsque \(x\to-1^-\), le numérateur tend vers \(4\) et le dénominateur tend vers \(0^+\). Donc :

\[ \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to-1^+}f(x)=6 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty } \] La fonction \(f\) n’admet pas de prolongement par continuité en \(-1\).

Exercice 26

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[ \setminus\left\{\frac{\pi}{4}\right\}\) par :

\[ f(x)=\frac{(1-\tan x)^2}{\cos2x}. \]

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(\frac{\pi}{4}\) ? Justifier la réponse.

Afficher la correctionMasquer la correction

Pour \(x\neq\frac{\pi}{4}\), on utilise :

\[ \cos2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} f(x) &= (1-\tan x)^2 \frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}\\[4pt] &= \frac{(1-\tan x)(1+\tan^2x)}{1+\tan x}. \end{aligned} \]

Lorsque \(x\to\frac{\pi}{4}\), on a \(\tan x\to1\). Donc :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x) = \frac{(1-1)(1+1)}{1+1} = 0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x)=0} \] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(\frac{\pi}{4}\), défini par \(\displaystyle\widetilde f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\).

Exercice 27

Énoncé

1)

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-x+1}{3x^2+6}, & \text{si }x\geq1,\\[10pt] \displaystyle\frac{1}{x^2-x}\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right), & \text{si }x<1. \end{cases} \]

Étudier la continuité de \(f\) en \(1\).

2)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Comme \(1\) appartient au premier morceau :

\[ f(1)=\frac{1-1+1}{3+6}=\frac19. \]

La limite à droite vaut donc :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=\frac19. \]

À gauche de \(1\) :

\[ f(x) = \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {x(x-1)}. \]

Lorsque \(x\to1^-\), le numérateur tend vers \(1\) et \(x(x-1)\to0^-\). Donc :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty \neq \frac19=f(1) } \] La fonction \(f\) n’est pas continue en \(1\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Au voisinage de \(0\), on utilise le second morceau :

\[ f(x) = \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {x(x-1)}. \]

On écrit :

\[ f(x) = \frac{\pi}{2} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {\frac{\pi x}{2}} \frac{1}{x-1}. \]

Lorsque \(x\to0\) :

\[ \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {\frac{\pi x}{2}} \to1, \qquad \frac1{x-1}\to-1. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac{\pi}{2}} \] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\), défini par \(\displaystyle\widetilde f(0)=-\frac{\pi}{2}\).

Exercice 28

Énoncé

1)

On considère la fonction :

\[ g(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x-E(x)}, \]

où \(E\) désigne la fonction partie entière.

Déterminer \(D_g\), le domaine de définition de \(g\).

2)

La fonction \(g\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La fonction tangente n’est pas définie lorsque :

\[ \pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi \iff x=k+\frac12, \qquad k\in\mathbb Z. \]

D’autre part :

\[ x-E(x)=0 \iff x\in\mathbb Z. \]

\[ \boxed{ D_g= \mathbb R\setminus \left( \mathbb Z \cup \left\{k+\frac12\,;\,k\in\mathbb Z\right\} \right) } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

À droite de \(0\). Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(E(x)=0\). Donc :

\[ g(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x} = \pi\frac{\tan(\pi x)}{\pi x}. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=\pi. \]

À gauche de \(0\). Pour \(-1\lt x\lt0\), on a \(E(x)=-1\). Donc :

\[ g(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x+1}. \]

Comme \(\tan(\pi x)\to0\) et \(x+1\to1\) :

\[ \lim_{x\to0^-}g(x)=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}g(x)=\pi \ne 0=\lim_{x\to0^-}g(x) } \] La limite en \(0\) n’existe pas. La fonction \(g\) n’admet donc aucun prolongement par continuité en \(0\).

Exercice 29

Énoncé

1)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x}. \]

2)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \tan\left(\frac{\sin(\pi x)}{x}\right). \]

3)

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(x-\sqrt{x}+\frac1x\right)^{17}. \]

4)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \tan\left(\sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right). \]

5)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \cos\left(\frac{E(\sqrt{x})}{x}\right). \]

6)

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \tan\left( \pi\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}} \right). \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons \(u=\pi(\sqrt{\cos x}-1)\). Alors \(u\to0\) et :

\[ \sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)=\sin(\pi+u)=-\sin u. \]

De plus :

\[ \frac{u}{x} = -\pi \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{x}{\sqrt{\cos x}+1} \to0. \]

Donc :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x} =0 } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

On a :

\[ \frac{\sin(\pi x)}{x} = \pi\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \longrightarrow\pi. \]

La fonction tangente est continue en \(\pi\). Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \tan\left(\frac{\sin(\pi x)}{x}\right) = \tan\pi = 0 } \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

Pour \(x\geq4\), on a \(\sqrt{x}\leq\frac{x}{2}\). Donc :

\[ x-\sqrt{x}+\frac1x \geq \frac{x}{2}+\frac1x. \]

Le membre de droite tend vers \(+\infty\). Ainsi la base tend vers \(+\infty\), et la puissance \(17\) conserve ce comportement.

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \left(x-\sqrt{x}+\frac1x\right)^{17} = +\infty } \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Puisque \(\left|\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right|\leq1\), on a :

\[ \left| \sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right) \right| \leq\sqrt{x}. \]

Donc, par encadrement :

\[ \sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)\to0. \]

La fonction tangente étant continue en \(0\) :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \tan\left(\sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right) =0 } \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Pour \(0\lt x\lt1\), on a :

\[ 0\lt\sqrt{x}\lt1. \]

Par conséquent :

\[ E(\sqrt{x})=0. \]

Ainsi, au voisinage droit de \(0\) :

\[ \cos\left(\frac{E(\sqrt{x})}{x}\right) = \cos0 = 1. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \cos\left(\frac{E(\sqrt{x})}{x}\right)=1 } \]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

On a :

\[ \frac{x^2-1}{4x^2+1}\longrightarrow\frac14. \]

Donc :

\[ \pi\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}} \longrightarrow \frac{\pi}{2}. \]

De plus, pour \(x\) assez grand :

\[ \frac{x^2-1}{4x^2+1}<\frac14, \]

donc l’argument de la tangente tend vers \(\frac{\pi}{2}\) par valeurs inférieures.

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \tan\left( \pi\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}} \right) = +\infty } \]

Exercice 30

Énoncé

1)

Calculer :

\[ \lim_{x\to1} \frac{\sin\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} {x-1}. \]

2)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \tan\left( \frac{\pi\sin x}{6|x-x^2|} \right). \]

3)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \cos\left( \frac{\tan(2\pi x)-\tan(6\pi x)}{3x} \right). \]

4)

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} E\left(\frac{x}{x+1}\right). \]

5)

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \cos\left( \frac{\pi x^3+2x}{5-4x^3} \right). \]

6)

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \sin\left( x^3\sin\left(\frac1x\right)-2x \right). \]

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Posons \(h=x-1\). Alors \(h\to0\) et :

\[ \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right). \]

Donc :

\[ \frac{\sin\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} {x-1} = \frac{\sin u}{u} \times \frac{-\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)}{h}, \]

où \(u=-\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)\to0\).

Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to1} \frac{\sin\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} {x-1} = -\frac{\pi}{2} } \]

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(x-x^2=x(1-x)\gt0\). Donc :

\[ |x-x^2|=x(1-x). \]

Ainsi :

\[ \frac{\pi\sin x}{6|x-x^2|} = \frac{\pi}{6} \frac{\sin x}{x} \frac1{1-x}. \]

Lorsque \(x\to0^+\), cette expression tend vers \(\frac{\pi}{6}\). La fonction tangente est continue en \(\frac{\pi}{6}\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \tan\left( \frac{\pi\sin x}{6|x-x^2|} \right) = \tan\frac{\pi}{6} = \frac1{\sqrt3} } \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

On calcule d’abord la limite de l’expression intérieure :

\[ \begin{aligned} \frac{\tan(2\pi x)-\tan(6\pi x)}{3x} &= \frac{2\pi}{3} \frac{\tan(2\pi x)}{2\pi x} - 2\pi \frac{\tan(6\pi x)}{6\pi x}. \end{aligned} \]

Comme \(\frac{\tan u}{u}\to1\), cette expression tend vers :

\[ \frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}. \]

La fonction cosinus est continue sur \(\mathbb R\). Donc :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \cos\left( \frac{\tan(2\pi x)-\tan(6\pi x)}{3x} \right) = \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac12 } \]

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Pour \(x>0\) :

\[ 0<\frac{x}{x+1}<1. \]

Donc :

\[ E\left(\frac{x}{x+1}\right)=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} E\left(\frac{x}{x+1}\right) = 0 } \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

On divise le numérateur et le dénominateur de l’expression intérieure par \(x^3\) :

\[ \frac{\pi x^3+2x}{5-4x^3} = \frac{\pi+\frac{2}{x^2}} {\frac{5}{x^3}-4} \longrightarrow -\frac{\pi}{4}. \]

Par continuité de la fonction cosinus :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \cos\left( \frac{\pi x^3+2x}{5-4x^3} \right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2} } \]

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

Comme \(\left|\sin\left(\frac1x\right)\right|\leq1\), on a :

\[ \left| x^3\sin\left(\frac1x\right)-2x \right| \leq |x|^3+2|x|. \]

Le membre de droite tend vers \(0\). Donc l’expression intérieure tend vers \(0\).

Par continuité de la fonction sinus en \(0\) :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \sin\left( x^3\sin\left(\frac1x\right)-2x \right) = 0 } \]

Exercice 31

Énoncé

1)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=-5x^3+7x^2-5 \]

est continue sur son domaine de définition.

2)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x^2+2}{(x+2)(x-1)(2x-3)} \]

est continue sur son domaine de définition.

3)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=x^3+3x^2+5x-\sin x \]

est continue sur son domaine de définition.

4)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\cos x}{3x^2-5x+2} \]

est continue sur son domaine de définition.

5)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\sin^3x-5\cos x+4 \]

est continue sur son domaine de définition.

6)

Montrer que la fonction

\[ f(x)= \frac{\sqrt{x^4-5x^2+6}} {(x-1)(x^2+1)} \]

est continue sur son domaine de définition.

7)

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\sin(\sqrt{x})+\frac{x^2+4x-5}{\sqrt{x}} \]

est continue sur son domaine de définition.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

La fonction \(f\) est une fonction polynomiale.

Toute fonction polynomiale est définie et continue sur \(\mathbb R\).

\[ \boxed{D_f=\mathbb R} \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

Le dénominateur doit être non nul :

\[ (x+2)(x-1)(2x-3)\neq0. \]

Donc :

\[ x\neq-2,\qquad x\neq1,\qquad x\neq\frac32. \]

Le numérateur et le dénominateur sont polynomiaux, donc continus. Leur quotient est continu en tout point où le dénominateur ne s’annule pas.

\[ \boxed{ D_f=\mathbb R\setminus\left\{-2,1,\frac32\right\} } \] La fonction \(f\) est continue sur chacun des intervalles \[ ]-\infty,-2[,\quad]-2,1[,\quad]1,\tfrac32[,\quad]\tfrac32,+\infty[. \]

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

La fonction \(x\mapsto x^3+3x^2+5x\) est polynomiale, donc continue sur \(\mathbb R\).

La fonction sinus est également continue sur \(\mathbb R\).

La différence de deux fonctions continues est continue.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R} \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

On factorise le dénominateur :

\[ 3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1). \]

Il s’annule pour \(x=\frac23\) et \(x=1\).

La fonction cosinus et la fonction polynomiale du dénominateur sont continues. Leur quotient est donc continu lorsque le dénominateur est non nul.

\[ \boxed{ D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac23,1\right\} } \] La fonction \(f\) est continue sur \[ ]-\infty,\tfrac23[,\quad]\tfrac23,1[,\quad]1,+\infty[. \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb R\).

Les puissances, produits, sommes et différences de fonctions continues sont continues.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R} \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

La racine carrée impose :

\[ x^4-5x^2+6\geq0. \]

On factorise :

\[ x^4-5x^2+6=(x^2-2)(x^2-3). \]

Le produit est positif ou nul lorsque :

\[ x^2\leq2 \quad\text{ou}\quad x^2\geq3. \]

Donc :

\[ x\in]-\infty,-\sqrt3]\cup[-\sqrt2,\sqrt2]\cup[\sqrt3,+\infty[. \]

Le facteur \(x^2+1\) ne s’annule jamais, tandis que \(x-1=0\) pour \(x=1\), qu’il faut exclure.

\[ \boxed{ D_f= ]-\infty,-\sqrt3] \cup[-\sqrt2,1[ \cup]1,\sqrt2] \cup[\sqrt3,+\infty[ } \] Sur chacun de ces intervalles, le radicand est positif ou nul et le dénominateur ne s’annule pas. La fonction \(f\) y est donc continue.

Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7

La présence de \(\sqrt{x}\) impose \(x\geq0\), mais cette racine apparaît aussi au dénominateur. Il faut donc :

\[ x>0. \]

Sur \(]0,+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto\sqrt{x}\), \(x\mapsto\sin(\sqrt{x})\) et \(x\mapsto\frac{x^2+4x-5}{\sqrt{x}}\) sont continues.

\[ \boxed{D_f=]0,+\infty[} \] La fonction \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\).

Exercice 32

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^3+6}{3x-2}, & \text{si }x\leq-1,\\[9pt] \cos(\pi x), & \text{si }-1<x<1,\\[7pt] -\displaystyle\frac12\sqrt{x^2+3}, & \text{si }x\geq1. \end{cases} \]

Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correctionMasquer la correction

Chaque expression est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Il reste donc à vérifier les raccordements en \(-1\) et en \(1\).

Continuité en \(-1\)

\[ f(-1)=\frac{(-1)^3+6}{3(-1)-2} =\frac5{-5}=-1. \]

\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) = -1, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x) = \cos(-\pi)=-1. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)=-1. \]

Continuité en \(1\)

\[ f(1) = -\frac12\sqrt{1+3} = -1. \]

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \cos\pi=-1, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x) = -\frac12\sqrt4=-1. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=-1. \]

La fonction \(f\) est continue sur chacun des trois intervalles de sa définition et les raccordements en \(-1\) et en \(1\) sont continus. \[ \boxed{f\text{ est continue sur }\mathbb R} \]

Exercice 33

Énoncé

1)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ f(x)=\tan\left(\frac{\pi}{2x-1}\right), \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

2)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ g(x)=\sin\left(\cos\frac{\pi}{x}\right), \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

3)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ h(x)=\frac{x^2-\sqrt{2-x}}{|x+1|-2}, \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

4)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ k(x)=\frac{1-\cos(2\pi x)}{x(x-1)}, \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

5)

On considère la fonction :

\[ u(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1-\cos\sqrt{|x|}}{|x|}, & \text{si }x\neq0,\\[9pt] \displaystyle\frac12, & \text{si }x=0. \end{cases} \]

Déterminer son domaine de définition et étudier sa continuité.

6)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ v(x)=\frac{x}{\tan(\pi x)}, \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1

Il faut d’abord \(2x-1\neq0\), donc \(x\neq\frac12\).

La fonction tangente n’est pas définie lorsque son argument vaut \(\frac{\pi}{2}+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\). Ainsi :

\[ \frac{\pi}{2x-1} = \frac{(2k+1)\pi}{2}. \]

Après simplification :

\[ x=\frac12+\frac{1}{2k+1}. \]

\[ \boxed{ D_f= \mathbb R\setminus \left( \left\{\frac12\right\} \cup \left\{ \frac12+\frac1{2k+1}\,;\,k\in\mathbb Z \right\} \right) } \] La fonction \(x\mapsto\frac{\pi}{2x-1}\) est continue sur son domaine, et la tangente est continue partout où elle est définie. Par composition, \(f\) est continue sur chaque intervalle contenu dans \(D_f\).

Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2

La seule restriction vient de \(\frac{\pi}{x}\), qui impose \(x\neq0\).

\[ \boxed{D_g=\mathbb R^*} \] Les fonctions \(x\mapsto\frac{\pi}{x}\), cosinus et sinus sont continues sur leurs domaines. Par composition, \(g\) est continue sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\).

Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3

La racine impose :

\[ 2-x\geq0 \iff x\leq2. \]

Le dénominateur doit être non nul :

\[ |x+1|-2\neq0. \]

Or \(|x+1|=2\) pour \(x=1\) ou \(x=-3\).

\[ \boxed{ D_h=]-\infty,-3[\cup]-3,1[\cup]1,2] } \] Le numérateur et le dénominateur sont continus sur ce domaine et le dénominateur n’y est jamais nul. Ainsi, \(h\) est continue sur chacun des intervalles indiqués.

Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4

Le dénominateur s’annule pour \(x=0\) et \(x=1\).

\[ \boxed{D_k=\mathbb R\setminus\{0,1\}} \] Le numérateur et le dénominateur sont continus, et le dénominateur ne s’annule pas sur \(D_k\). Par conséquent, \(k\) est continue sur \[ ]-\infty,0[,\quad]0,1[,\quad]1,+\infty[. \]

Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5

La fonction est définie pour tout réel : lorsque \(x\neq0\), on a \(|x|>0\), et la valeur en \(0\) est donnée séparément.

\[ D_u=\mathbb R. \]

La fonction est continue sur \(\mathbb R^*\). Il reste à étudier la continuité en \(0\).

Posons \(t=\sqrt{|x|}\). Lorsque \(x\to0\), on a \(t\to0\) et \(|x|=t^2\). Donc :

\[ \frac{1-\cos\sqrt{|x|}}{|x|} = \frac{1-\cos t}{t^2}. \]

Par la limite usuelle :

\[ \lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0}u(x)=\frac12=u(0) } \] La fonction \(u\) est continue sur \(\mathbb R\).

Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6

La tangente doit être définie, donc :

\[ x\neq k+\frac12, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Comme elle se trouve au dénominateur, il faut aussi :

\[ \tan(\pi x)\neq0 \iff x\notin\mathbb Z. \]

\[ \boxed{ D_v= \mathbb R\setminus \left( \mathbb Z \cup \left\{k+\frac12\,;\,k\in\mathbb Z\right\} \right) } \] Le numérateur et le dénominateur sont continus sur ce domaine et le dénominateur n’y est pas nul. La fonction \(v\) est donc continue sur chaque intervalle contenu dans \(D_v\).

Les entiers sont exclus, y compris \(0\), car \(\tan(\pi x)=0\) pour tout \(x\in\mathbb Z\) et cette quantité se trouve au dénominateur.

Résultats essentiels

Prolongement par continuité

Si \(f\) est définie au voisinage de \(a\), sauf en \(a\), et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) existe et est finie, alors le prolongement est obtenu en posant \(\widetilde f(a)=\ell\).

Limite d’une fonction composée

On calcule d’abord la limite de l’expression intérieure, puis on utilise la continuité de la fonction extérieure au point obtenu. Il faut vérifier que cette fonction extérieure est bien définie et continue en ce point.

Continuité sur un domaine

Les fonctions polynomiales, sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb R\). Un quotient est continu aux points où son dénominateur ne s’annule pas. La racine carrée est continue lorsque son argument est positif ou nul.

Fonctions définies par morceaux

Chaque expression est étudiée sur son intervalle. Aux points de raccordement, il faut comparer la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction.

Partie entière

Au voisinage d’un entier, la partie entière peut prendre des valeurs différentes à gauche et à droite. Les deux limites latérales doivent donc être calculées séparément.