Correction des exercices 24 à 33 — Prolongement par continuité — Al Moufid

Correction détaillée des exercices 24 à 33 — Prolongement, limites composées et continuité

Manuel Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — version vérifiée

Vérification effectuée :
les 44 questions ont été comparées aux pages originales d’Al Moufid. Les domaines, raccordements, limites composées et conclusions de continuité ont été contrôlés question par question.

Menu des exercices

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Exercice 24

Menu des questions — Exercice 24

Question 1Question 2Question 3Question 4Question 5Question 6Question 7Question 8Question 9Question 10

Question 1

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{2x^{17}-17x+15}{x-1} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

On réécrit le numérateur sous la forme :

\[ 2x^{17}-17x+15=2(x^{17}-1)-17(x-1). \]

Or :

\[ x^{17}-1=(x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^{16}). \]

Donc, pour \(x\neq1\) :

\[ f(x)=2(1+x+x^2+\cdots+x^{16})-17. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to1}f(x)=2\times17-17=17. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=17} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(1)=17\).

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Question 2

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{1+\cos x\cos2x}{x-\pi} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=\pi\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons \(h=x-\pi\). Alors \(h\to0\), \(\cos x=-\cos h\) et \(\cos2x=\cos2h\). Ainsi :

\[ 1+\cos x\cos2x=1-\cos h\cos2h. \]

On écrit :

\[ 1-\cos h\cos2h =(1-\cos h)+\cos h(1-\cos2h). \]

Donc :

\[ \frac{1-\cos h\cos2h}{h} = \frac{1-\cos h}{h} + \cos h\,\frac{1-\cos2h}{h}. \]

Or :

\[ \frac{1-\cos h}{h} = h\frac{1-\cos h}{h^2}\longrightarrow0, \]

\[ \frac{1-\cos2h}{h} = 4h\frac{1-\cos2h}{(2h)^2}\longrightarrow0. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{x\to\pi}f(x)=0} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(\pi)=0\).

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Question 3

Soient \(a\in\mathbb R\) et \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x^n-a^n}{x-a} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=a\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\neq a\), l’identité remarquable donne :

\[ x^n-a^n =(x-a)\left(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}\right). \]

Donc :

\[ f(x)=x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}. \]

Cette somme contient \(n\) termes, et chacun tend vers \(a^{n-1}\) lorsque \(x\to a\). Ainsi :

\[ \boxed{\lim_{x\to a}f(x)=na^{\,n-1}} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(a)=na^{\,n-1}\).

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Question 4

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x\sin x-\cos\left(\frac x2\right)}{x+\pi} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=-\pi\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons \(h=x+\pi\). Alors \(x=-\pi+h\) et \(h\to0\).

On a :

\[ \sin(-\pi+h)=-\sin h, \qquad \cos\left(-\frac{\pi}{2}+\frac h2\right)=\sin\frac h2. \]

Donc :

\[ \frac{x\sin x-\cos\left(\frac x2\right)}{x+\pi} = (\pi-h)\frac{\sin h}{h} - \frac{\sin\left(\frac h2\right)}{h}. \]

Or :

\[ \frac{\sin h}{h}\to1, \qquad \frac{\sin\left(\frac h2\right)}{h} = \frac12\frac{\sin\left(\frac h2\right)}{\frac h2} \to\frac12. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to-\pi}f(x)=\pi-\frac12} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(-\pi)=\pi-\frac12\).

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Question 5

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Au voisinage de \(0\), on a \(\cos x>0\). Posons :

\[ u=\pi\left(\sqrt{\cos x}-1\right). \]

Alors \(u\to0\) et :

\[ \sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right) = \sin(\pi+u) = -\sin u. \]

De plus :

\[ \frac{u}{x} = \pi\frac{\sqrt{\cos x}-1}{x} = -\pi \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{x}{\sqrt{\cos x}+1} \longrightarrow0. \]

Ainsi :

\[ \frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x} = -\frac{\sin u}{u}\frac{u}{x} \longrightarrow -1\times0=0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(0)=0\).

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Question 6

Soit \(p\in\mathbb N^*\). Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x^{p+1}-(p+1)x+p}{(x-1)^2} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

On écrit :

\[ x^{p+1}-(p+1)x+p = (x^{p+1}-1)-(p+1)(x-1). \]

Or :

\[ x^{p+1}-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^p). \]

Donc :

\[ x^{p+1}-(p+1)x+p = (x-1)\left[(1+x+\cdots+x^p)-(p+1)\right]. \]

Puis :

\[ (1+x+\cdots+x^p)-(p+1) = \sum_{k=1}^{p}(x^k-1). \]

Comme :

\[ x^k-1=(x-1)(1+x+\cdots+x^{k-1}), \]

on obtient, pour \(x\neq1\) :

\[ f(x) = \sum_{k=1}^{p}(1+x+\cdots+x^{k-1}). \]

Lorsque \(x\to1\), le \(k\)-ième terme de cette somme tend vers \(k\). Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to1}f(x) = 1+2+\cdots+p = \frac{p(p+1)}2 } \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(1)=\frac{p(p+1)}2\).

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Question 7

Soit \(a\in\mathbb R_+^*\). Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\sqrt{a^2+x}-a}{\tan x} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

On multiplie le numérateur par sa quantité conjuguée :

\[ \sqrt{a^2+x}-a = \frac{x}{\sqrt{a^2+x}+a}. \]

Donc :

\[ f(x) = \frac{x}{\tan x} \times \frac{1}{\sqrt{a^2+x}+a}. \]

Or :

\[ \frac{x}{\tan x}\to1, \qquad \sqrt{a^2+x}+a\to2a. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=\frac1{2a}} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(0)=\frac1{2a}\).

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Question 8

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\tan x-1}{\sqrt2\cos x-1} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=\frac{\pi}{4}\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons \(h=x-\frac{\pi}{4}\). Alors \(h\to0\).

On utilise :

\[ \sin x-\cos x=\sqrt2\sin h, \]

\[ \sqrt2\cos x-1 = \cos h-\sin h-1. \]

Comme :

\[ \tan x-1 = \frac{\sin x-\cos x}{\cos x}, \]

on obtient :

\[ f(x) = \frac{ \displaystyle \frac{\sqrt2\sin h}{h\cos x}} {\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}-\frac{\sin h}{h}}. \]

Lorsque \(h\to0\) :

\[ \frac{\sqrt2\sin h}{h\cos x}\to2, \qquad \frac{\cos h-1}{h}-\frac{\sin h}{h}\to-1. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x)=-2} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-2\).

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Question 9

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\cos x+\cos2x-2}{\cos3x+\sin x-1} \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\neq0\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(x\) :

\[ f(x) = \frac{ \displaystyle \frac{\cos x-1}{x} + \frac{\cos2x-1}{x}} {\displaystyle \frac{\cos3x-1}{x} + \frac{\sin x}{x}}. \]

Or :

\[ \frac{\cos x-1}{x}\to0, \qquad \frac{\cos2x-1}{x}\to0, \qquad \frac{\cos3x-1}{x}\to0, \qquad \frac{\sin x}{x}\to1. \]

Le numérateur tend donc vers \(0\), tandis que le dénominateur tend vers \(1\).

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=0} \] Le prolongement est défini par \(\widetilde f(0)=0\).

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Question 10

Montrer que la fonction

\[ f(x)= \frac{1}{(5-x)^2} \left(1-\sin\left(\frac{\pi x}{10}\right)\right) \]

admet un prolongement par continuité en \(x_0=5\), puis donner ce prolongement.

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons \(h=x-5\). Alors \(h\to0\) et \((5-x)^2=h^2\).

De plus :

\[ \sin\left(\frac{\pi x}{10}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{10}\right) = \cos\left(\frac{\pi h}{10}\right). \]

Donc :

\[ f(x) = \frac{1-\cos\left(\frac{\pi h}{10}\right)}{h^2}. \]

On écrit :

\[ f(x) = \frac{1-\cos\left(\frac{\pi h}{10}\right)} {\left(\frac{\pi h}{10}\right)^2} \times \frac{\pi^2}{100}. \]

Comme \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12\), on obtient :

\[ \boxed{\lim_{x\to5}f(x)=\frac{\pi^2}{200}} \] Le prolongement est défini par \(\displaystyle\widetilde f(5)=\frac{\pi^2}{200}\).

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Exercice 25

Menu des questions — Exercice 25

Question 1Question 2Question 3

Question 1.a — Limites en \(1\)

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-1}}, & \text{si }|x|>1,\\[9pt] x^2-3x+2, & \text{si }|x|<1. \end{cases} \]

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

À droite de \(1\), on utilise le premier morceau :

\[ f(x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{(x-1)(x+1)}} = \frac{(x-1)^{3/2}}{\sqrt{x+1}}. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=0. \]

À gauche de \(1\), on utilise le second morceau :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = 1-3+2 = 0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^-}f(x) = 0 } \]

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Question 1.b — Prolongement en \(1\)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(1\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

Les deux limites latérales sont égales et finies :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 0. \]

La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(1\), défini par : \[ \boxed{\widetilde f(1)=0}. \]

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Question 2 — Prolongement en \(-1\)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(-1\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

À droite de \(-1\), on utilise le second morceau :

\[ \lim_{x\to-1^+}f(x) = (-1)^2-3(-1)+2 = 6. \]

À gauche de \(-1\), on utilise le premier morceau :

\[ f(x)=\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-1}}. \]

Lorsque \(x\to-1^-\), le numérateur tend vers \(4\) et le dénominateur tend vers \(0^+\). Donc :

\[ \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to-1^+}f(x)=6 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty } \] La fonction \(f\) n’admet pas de prolongement par continuité en \(-1\).

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Exercice 26

Menu des questions — Exercice 26

Question 1

Question

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{\frac{\pi}{4}\right\}\) par :

\[ f(x)=\frac{(1-\tan x)^2}{\cos2x}. \]

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(\frac{\pi}{4}\) ? Justifier la réponse.

Précision sur l’énoncé :
la formule n’est pas définie pour \(x=\frac{\pi}{4}\). Le domaine utilisé pour l’étude est donc \[ \left[0,\frac{\pi}{2}\right[ \setminus\left\{\frac{\pi}{4}\right\}. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\neq\frac{\pi}{4}\), on utilise :

\[ \cos2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} f(x) &= (1-\tan x)^2 \frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}\\[4pt] &= \frac{(1-\tan x)(1+\tan^2x)}{1+\tan x}. \end{aligned} \]

Lorsque \(x\to\frac{\pi}{4}\), on a \(\tan x\to1\). Donc :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x) = \frac{(1-1)(1+1)}{1+1} = 0. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x)=0} \] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(\frac{\pi}{4}\), défini par \(\displaystyle\widetilde f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\).

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Exercice 27

Menu des questions — Exercice 27

Question 1Question 2

Question 1 — Continuité en \(1\)

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-x+1}{3x^2+6}, & \text{si }x\geq1,\\[10pt] \displaystyle\frac{1}{x^2-x}\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right), & \text{si }x<1. \end{cases} \]

Étudier la continuité de \(f\) en \(1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(1\) appartient au premier morceau :

\[ f(1)=\frac{1-1+1}{3+6}=\frac19. \]

La limite à droite vaut donc :

\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=\frac19. \]

À gauche de \(1\) :

\[ f(x) = \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {x(x-1)}. \]

Lorsque \(x\to1^-\), le numérateur tend vers \(1\) et \(x(x-1)\to0^-\). Donc :

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty \neq \frac19=f(1) } \] La fonction \(f\) n’est pas continue en \(1\).

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Question 2 — Prolongement en \(0\)

La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

Au voisinage de \(0\), on utilise le second morceau :

\[ f(x) = \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {x(x-1)}. \]

On écrit :

\[ f(x) = \frac{\pi}{2} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {\frac{\pi x}{2}} \frac{1}{x-1}. \]

Lorsque \(x\to0\) :

\[ \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} {\frac{\pi x}{2}} \to1, \qquad \frac1{x-1}\to-1. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to0}f(x)=-\frac{\pi}{2}} \] La fonction \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\), défini par \(\displaystyle\widetilde f(0)=-\frac{\pi}{2}\).

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Exercice 28

Menu des questions — Exercice 28

Question 1Question 2

Question 1 — Domaine de définition

On considère la fonction :

\[ g(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x-E(x)}, \]

où \(E\) désigne la fonction partie entière.

Déterminer \(D_g\), le domaine de définition de \(g\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction tangente n’est pas définie lorsque :

\[ \pi x=\frac{\pi}{2}+k\pi \iff x=k+\frac12, \qquad k\in\mathbb Z. \]

D’autre part :

\[ x-E(x)=0 \iff x\in\mathbb Z. \]

\[ \boxed{ D_g= \mathbb R\setminus \left( \mathbb Z \cup \left\{k+\frac12\,;\,k\in\mathbb Z\right\} \right) } \]

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Question 2 — Prolongement en \(0\)

La fonction \(g\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?

Lire la correction + Masquer la correction −

À droite de \(0\). Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(E(x)=0\). Donc :

\[ g(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x} = \pi\frac{\tan(\pi x)}{\pi x}. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=\pi. \]

À gauche de \(0\). Pour \(-1\lt x\lt0\), on a \(E(x)=-1\). Donc :

\[ g(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x+1}. \]

Comme \(\tan(\pi x)\to0\) et \(x+1\to1\) :

\[ \lim_{x\to0^-}g(x)=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}g(x)=\pi \ne 0=\lim_{x\to0^-}g(x) } \] La limite en \(0\) n’existe pas. La fonction \(g\) n’admet donc aucun prolongement par continuité en \(0\).

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Exercice 29

Menu des questions — Exercice 29

Question 1Question 2Question 3Question 4Question 5Question 6

Question 1

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x}. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons \(u=\pi(\sqrt{\cos x}-1)\). Alors \(u\to0\) et :

\[ \sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)=\sin(\pi+u)=-\sin u. \]

De plus :

\[ \frac{u}{x} = -\pi \frac{1-\cos x}{x^2} \frac{x}{\sqrt{\cos x}+1} \to0. \]

Donc :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \frac{\sin\left(\pi\sqrt{\cos x}\right)}{x} =0 } \]

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Question 2

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \tan\left(\frac{\sin(\pi x)}{x}\right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ \frac{\sin(\pi x)}{x} = \pi\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \longrightarrow\pi. \]

La fonction tangente est continue en \(\pi\). Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \tan\left(\frac{\sin(\pi x)}{x}\right) = \tan\pi = 0 } \]

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Question 3

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \left(x-\sqrt{x}+\frac1x\right)^{17}. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\geq4\), on a \(\sqrt{x}\leq\frac{x}{2}\). Donc :

\[ x-\sqrt{x}+\frac1x \geq \frac{x}{2}+\frac1x. \]

Le membre de droite tend vers \(+\infty\). Ainsi la base tend vers \(+\infty\), et la puissance \(17\) conserve ce comportement.

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \left(x-\sqrt{x}+\frac1x\right)^{17} = +\infty } \]

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Question 4

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \tan\left(\sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Puisque \(\left|\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right|\leq1\), on a :

\[ \left| \sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right) \right| \leq\sqrt{x}. \]

Donc, par encadrement :

\[ \sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)\to0. \]

La fonction tangente étant continue en \(0\) :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \tan\left(\sqrt{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right) =0 } \]

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Question 5

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \cos\left(\frac{E(\sqrt{x})}{x}\right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(0\lt x\lt1\), on a :

\[ 0\lt\sqrt{x}\lt1. \]

Par conséquent :

\[ E(\sqrt{x})=0. \]

Ainsi, au voisinage droit de \(0\) :

\[ \cos\left(\frac{E(\sqrt{x})}{x}\right) = \cos0 = 1. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \cos\left(\frac{E(\sqrt{x})}{x}\right)=1 } \]

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Question 6

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \tan\left( \pi\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}} \right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On a :

\[ \frac{x^2-1}{4x^2+1}\longrightarrow\frac14. \]

Donc :

\[ \pi\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}} \longrightarrow \frac{\pi}{2}. \]

De plus, pour \(x\) assez grand :

\[ \frac{x^2-1}{4x^2+1}<\frac14, \]

donc l’argument de la tangente tend vers \(\frac{\pi}{2}\) par valeurs inférieures.

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \tan\left( \pi\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+1}} \right) = +\infty } \]

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Exercice 30

Menu des questions — Exercice 30

Question 1Question 2Question 3Question 4Question 5Question 6

Question 1

Calculer :

\[ \lim_{x\to1} \frac{\sin\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} {x-1}. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons \(h=x-1\). Alors \(h\to0\) et :

\[ \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right). \]

Donc :

\[ \frac{\sin\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} {x-1} = \frac{\sin u}{u} \times \frac{-\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)}{h}, \]

où \(u=-\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)\to0\).

Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to1} \frac{\sin\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)} {x-1} = -\frac{\pi}{2} } \]

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Question 2

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+} \tan\left( \frac{\pi\sin x}{6|x-x^2|} \right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(x-x^2=x(1-x)\gt0\). Donc :

\[ |x-x^2|=x(1-x). \]

Ainsi :

\[ \frac{\pi\sin x}{6|x-x^2|} = \frac{\pi}{6} \frac{\sin x}{x} \frac1{1-x}. \]

Lorsque \(x\to0^+\), cette expression tend vers \(\frac{\pi}{6}\). La fonction tangente est continue en \(\frac{\pi}{6}\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \tan\left( \frac{\pi\sin x}{6|x-x^2|} \right) = \tan\frac{\pi}{6} = \frac1{\sqrt3} } \]

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Question 3

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \cos\left( \frac{\tan(2\pi x)-\tan(6\pi x)}{3x} \right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On calcule d’abord la limite de l’expression intérieure :

\[ \begin{aligned} \frac{\tan(2\pi x)-\tan(6\pi x)}{3x} &= \frac{2\pi}{3} \frac{\tan(2\pi x)}{2\pi x} - 2\pi \frac{\tan(6\pi x)}{6\pi x}. \end{aligned} \]

Comme \(\frac{\tan u}{u}\to1\), cette expression tend vers :

\[ \frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}. \]

La fonction cosinus est continue sur \(\mathbb R\). Donc :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \cos\left( \frac{\tan(2\pi x)-\tan(6\pi x)}{3x} \right) = \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac12 } \]

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Question 4

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} E\left(\frac{x}{x+1}\right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\) :

\[ 0<\frac{x}{x+1}<1. \]

Donc :

\[ E\left(\frac{x}{x+1}\right)=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} E\left(\frac{x}{x+1}\right) = 0 } \]

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Question 5

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} \cos\left( \frac{\pi x^3+2x}{5-4x^3} \right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

On divise le numérateur et le dénominateur de l’expression intérieure par \(x^3\) :

\[ \frac{\pi x^3+2x}{5-4x^3} = \frac{\pi+\frac{2}{x^2}} {\frac{5}{x^3}-4} \longrightarrow -\frac{\pi}{4}. \]

Par continuité de la fonction cosinus :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \cos\left( \frac{\pi x^3+2x}{5-4x^3} \right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2} } \]

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Question 6

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \sin\left( x^3\sin\left(\frac1x\right)-2x \right). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(\left|\sin\left(\frac1x\right)\right|\leq1\), on a :

\[ \left| x^3\sin\left(\frac1x\right)-2x \right| \leq |x|^3+2|x|. \]

Le membre de droite tend vers \(0\). Donc l’expression intérieure tend vers \(0\).

Par continuité de la fonction sinus en \(0\) :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \sin\left( x^3\sin\left(\frac1x\right)-2x \right) = 0 } \]

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Exercice 31

Menu des questions — Exercice 31

Question 1Question 2Question 3Question 4Question 5Question 6Question 7

Question 1

Montrer que la fonction

\[ f(x)=-5x^3+7x^2-5 \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(f\) est une fonction polynomiale.

Toute fonction polynomiale est définie et continue sur \(\mathbb R\).

\[ \boxed{D_f=\mathbb R} \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

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Question 2

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{x^2+2}{(x+2)(x-1)(2x-3)} \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

Le dénominateur doit être non nul :

\[ (x+2)(x-1)(2x-3)\neq0. \]

Donc :

\[ x\neq-2,\qquad x\neq1,\qquad x\neq\frac32. \]

Le numérateur et le dénominateur sont polynomiaux, donc continus. Leur quotient est continu en tout point où le dénominateur ne s’annule pas.

\[ \boxed{ D_f=\mathbb R\setminus\left\{-2,1,\frac32\right\} } \] La fonction \(f\) est continue sur chacun des intervalles \[ ]-\infty,-2[,\quad]-2,1[,\quad]1,\tfrac32[,\quad]\tfrac32,+\infty[. \]

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Question 3

Montrer que la fonction

\[ f(x)=x^3+3x^2+5x-\sin x \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(x\mapsto x^3+3x^2+5x\) est polynomiale, donc continue sur \(\mathbb R\).

La fonction sinus est également continue sur \(\mathbb R\).

La différence de deux fonctions continues est continue.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R} \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

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Question 4

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\frac{\cos x}{3x^2-5x+2} \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

On factorise le dénominateur :

\[ 3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1). \]

Il s’annule pour \(x=\frac23\) et \(x=1\).

La fonction cosinus et la fonction polynomiale du dénominateur sont continues. Leur quotient est donc continu lorsque le dénominateur est non nul.

\[ \boxed{ D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac23,1\right\} } \] La fonction \(f\) est continue sur \[ ]-\infty,\tfrac23[,\quad]\tfrac23,1[,\quad]1,+\infty[. \]

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Question 5

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\sin^3x-5\cos x+4 \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb R\).

Les puissances, produits, sommes et différences de fonctions continues sont continues.

\[ \boxed{D_f=\mathbb R} \] La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

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Question 6

Montrer que la fonction

\[ f(x)= \frac{\sqrt{x^4-5x^2+6}} {(x-1)(x^2+1)} \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

La racine carrée impose :

\[ x^4-5x^2+6\geq0. \]

On factorise :

\[ x^4-5x^2+6=(x^2-2)(x^2-3). \]

Le produit est positif ou nul lorsque :

\[ x^2\leq2 \quad\text{ou}\quad x^2\geq3. \]

Donc :

\[ x\in]-\infty,-\sqrt3]\cup[-\sqrt2,\sqrt2]\cup[\sqrt3,+\infty[. \]

Le facteur \(x^2+1\) ne s’annule jamais, tandis que \(x-1=0\) pour \(x=1\), qu’il faut exclure.

\[ \boxed{ D_f= ]-\infty,-\sqrt3] \cup[-\sqrt2,1[ \cup]1,\sqrt2] \cup[\sqrt3,+\infty[ } \] Sur chacun de ces intervalles, le radicand est positif ou nul et le dénominateur ne s’annule pas. La fonction \(f\) y est donc continue.

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Question 7

Montrer que la fonction

\[ f(x)=\sin(\sqrt{x})+\frac{x^2+4x-5}{\sqrt{x}} \]

est continue sur son domaine de définition.

Lire la correction + Masquer la correction −

La présence de \(\sqrt{x}\) impose \(x\geq0\), mais cette racine apparaît aussi au dénominateur. Il faut donc :

\[ x>0. \]

Sur \(]0,+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto\sqrt{x}\), \(x\mapsto\sin(\sqrt{x})\) et \(x\mapsto\frac{x^2+4x-5}{\sqrt{x}}\) sont continues.

\[ \boxed{D_f=]0,+\infty[} \] La fonction \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\).

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Exercice 32

Menu des questions — Exercice 32

Question 1

Question

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^3+6}{3x-2}, & \text{si }x\leq-1,\\[9pt] \cos(\pi x), & \text{si }-1<x<1,\\[7pt] -\displaystyle\frac12\sqrt{x^2+3}, & \text{si }x\geq1. \end{cases} \]

Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Chaque expression est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Il reste donc à vérifier les raccordements en \(-1\) et en \(1\).

Continuité en \(-1\)

\[ f(-1)=\frac{(-1)^3+6}{3(-1)-2} =\frac5{-5}=-1. \]

\[ \lim_{x\to-1^-}f(x) = -1, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x) = \cos(-\pi)=-1. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)=-1. \]

Continuité en \(1\)

\[ f(1) = -\frac12\sqrt{1+3} = -1. \]

\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \cos\pi=-1, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x) = -\frac12\sqrt4=-1. \]

Ainsi :

\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=-1. \]

La fonction \(f\) est continue sur chacun des trois intervalles de sa définition et les raccordements en \(-1\) et en \(1\) sont continus. \[ \boxed{f\text{ est continue sur }\mathbb R} \]

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Exercice 33

Menu des questions — Exercice 33

Question 1Question 2Question 3Question 4Question 5Question 6

Question 1 — Fonction \(f\)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ f(x)=\tan\left(\frac{\pi}{2x-1}\right), \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

Lire la correction + Masquer la correction −

Il faut d’abord \(2x-1\neq0\), donc \(x\neq\frac12\).

La fonction tangente n’est pas définie lorsque son argument vaut \(\frac{\pi}{2}+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\). Ainsi :

\[ \frac{\pi}{2x-1} = \frac{(2k+1)\pi}{2}. \]

Après simplification :

\[ x=\frac12+\frac{1}{2k+1}. \]

\[ \boxed{ D_f= \mathbb R\setminus \left( \left\{\frac12\right\} \cup \left\{ \frac12+\frac1{2k+1}\,;\,k\in\mathbb Z \right\} \right) } \] La fonction \(x\mapsto\frac{\pi}{2x-1}\) est continue sur son domaine, et la tangente est continue partout où elle est définie. Par composition, \(f\) est continue sur chaque intervalle contenu dans \(D_f\).

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Question 2 — Fonction \(g\)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ g(x)=\sin\left(\cos\frac{\pi}{x}\right), \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

Lire la correction + Masquer la correction −

La seule restriction vient de \(\frac{\pi}{x}\), qui impose \(x\neq0\).

\[ \boxed{D_g=\mathbb R^*} \] Les fonctions \(x\mapsto\frac{\pi}{x}\), cosinus et sinus sont continues sur leurs domaines. Par composition, \(g\) est continue sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\).

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Question 3 — Fonction \(h\)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ h(x)=\frac{x^2-\sqrt{2-x}}{|x+1|-2}, \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

Lire la correction + Masquer la correction −

La racine impose :

\[ 2-x\geq0 \iff x\leq2. \]

Le dénominateur doit être non nul :

\[ |x+1|-2\neq0. \]

Or \(|x+1|=2\) pour \(x=1\) ou \(x=-3\).

\[ \boxed{ D_h=]-\infty,-3[\cup]-3,1[\cup]1,2] } \] Le numérateur et le dénominateur sont continus sur ce domaine et le dénominateur n’y est jamais nul. Ainsi, \(h\) est continue sur chacun des intervalles indiqués.

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Question 4 — Fonction \(k\)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ k(x)=\frac{1-\cos(2\pi x)}{x(x-1)}, \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

Lire la correction + Masquer la correction −

Le dénominateur s’annule pour \(x=0\) et \(x=1\).

\[ \boxed{D_k=\mathbb R\setminus\{0,1\}} \] Le numérateur et le dénominateur sont continus, et le dénominateur ne s’annule pas sur \(D_k\). Par conséquent, \(k\) est continue sur \[ ]-\infty,0[,\quad]0,1[,\quad]1,+\infty[. \]

↩ Retour aux questions de l’exercice 33

Question 5 — Fonction \(u\)

On considère la fonction :

\[ u(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1-\cos\sqrt{|x|}}{|x|}, & \text{si }x\neq0,\\[9pt] \displaystyle\frac12, & \text{si }x=0. \end{cases} \]

Déterminer son domaine de définition et étudier sa continuité.

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction est définie pour tout réel : lorsque \(x\neq0\), on a \(|x|>0\), et la valeur en \(0\) est donnée séparément.

\[ D_u=\mathbb R. \]

La fonction est continue sur \(\mathbb R^*\). Il reste à étudier la continuité en \(0\).

Posons \(t=\sqrt{|x|}\). Lorsque \(x\to0\), on a \(t\to0\) et \(|x|=t^2\). Donc :

\[ \frac{1-\cos\sqrt{|x|}}{|x|} = \frac{1-\cos t}{t^2}. \]

Par la limite usuelle :

\[ \lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0}u(x)=\frac12=u(0) } \] La fonction \(u\) est continue sur \(\mathbb R\).

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Question 6 — Fonction \(v\)

Déterminer le domaine de définition de :

\[ v(x)=\frac{x}{\tan(\pi x)}, \]

puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.

Lire la correction + Masquer la correction −

La tangente doit être définie, donc :

\[ x\neq k+\frac12, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Comme elle se trouve au dénominateur, il faut aussi :

\[ \tan(\pi x)\neq0 \iff x\notin\mathbb Z. \]

\[ \boxed{ D_v= \mathbb R\setminus \left( \mathbb Z \cup \left\{k+\frac12\,;\,k\in\mathbb Z\right\} \right) } \] Le numérateur et le dénominateur sont continus sur ce domaine et le dénominateur n’y est pas nul. La fonction \(v\) est donc continue sur chaque intervalle contenu dans \(D_v\).

Les entiers sont exclus, y compris \(0\), car \(\tan(\pi x)=0\) pour tout \(x\in\mathbb Z\) et cette quantité se trouve au dénominateur.

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Bilan du bloc

Les exercices 24 à 33 sont mathématiquement corrects après comparaison avec les pages originales. Aucune erreur de résultat majeure n’a été détectée.

La version a toutefois été corrigée sur quatre points : domaine explicite de l’exercice 26, réparation des passages HTML endommagés dans les exercices 28, 29 et 30, et justification renforcée du domaine de la fonction \(v\) dans l’exercice 33.

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