Correction détaillée des exercices 24 à 33 — Prolongement, limites composées et continuité
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Objectif de cette série. Les exercices 24 à 33 réunissent plusieurs situations du chapitre « Limite et continuité ». Les premiers exercices portent sur le prolongement par continuité : il faut montrer qu’une fonction non définie en un point possède néanmoins une limite finie à ce point, puis attribuer cette valeur au prolongement. Les exercices suivants mobilisent les limites de fonctions composées, les limites latérales et la partie entière. Enfin, les derniers exercices demandent d’étudier la continuité sur un domaine ou aux points de raccordement d’une fonction définie par morceaux.
Lien avec le cours. Le cours distingue plusieurs outils qui seront utilisés selon la question : définition du prolongement par continuité, opérations sur les fonctions continues, continuité d’une composée et passage à la limite dans une fonction extérieure continue. L’objectif n’est donc pas d’appliquer une recette unique, mais d’identifier à chaque fois la propriété adaptée, d’en vérifier les conditions, puis de conserver le calcul algébrique ou trigonométrique déjà utilisé dans la correction.
Exercice 24
Le prolongement par continuité s’applique lorsque la fonction n’est pas définie au point étudié mais possède en ce point une limite finie. On calcule donc cette limite en conservant la transformation utilisée dans chaque question : factorisation, changement de variable, quantité conjuguée ou limite trigonométrique usuelle. La valeur de la limite devient ensuite la valeur du prolongement au point manquant.
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.
Le point \(1\) annule le dénominateur et le numérateur. On réécrit donc le numérateur avec \(x^{17}-1\), puis on utilise la factorisation de la différence de puissances pour faire apparaître le facteur \(x-1\). Après simplification, la limite devient immédiate.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
On réécrit le numérateur sous la forme :
Or :
Donc, pour \(x\neq1\) :
Par conséquent :
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=\pi\), puis donner ce prolongement.
Le quotient conduit à une forme \(\frac00\) en \(x=\pi\). Le changement de variable \(h=x-\pi\) ramène le calcul au voisinage de \(0\), où l’on peut utiliser les limites trigonométriques usuelles de \(1-\cos h\) et \(1-\cos 2h\).
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Posons \(h=x-\pi\). Alors \(h\to0\), \(\cos x=-\cos h\) et \(\cos2x=\cos2h\). Ainsi :
On écrit :
Donc :
Or :
Par conséquent :
Soient \(a\in\mathbb R\) et \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=a\), puis donner ce prolongement.
On reconnaît une différence de puissances. Pour \(x\neq a\), l’identité \(x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})\) permet de simplifier exactement le facteur qui annule le dénominateur.
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
Pour \(x\neq a\), l’identité remarquable donne :
Donc :
Cette somme contient \(n\) termes, et chacun tend vers \(a^{n-1}\) lorsque \(x\to a\). Ainsi :
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=-\pi\), puis donner ce prolongement.
Le point étudié est \(-\pi\). On pose \(h=x+\pi\) afin de ramener les fonctions trigonométriques au voisinage de \(0\), puis on fait apparaître les quotients usuels \(\frac{\sin h}{h}\) et \(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\).
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
Posons \(h=x+\pi\). Alors \(x=-\pi+h\) et \(h\to0\).
On a :
Donc :
Or :
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.
L’argument du sinus tend vers \(\pi\), alors que le quotient est divisé par \(x\). On pose \(u=\pi(\sqrt{\cos x}-1)\), de sorte que \(\sin(\pi\sqrt{\cos x})=-\sin u\). Le calcul se ramène ensuite à \(\frac{\sin u}{u}\) et à la limite usuelle de \(\frac{1-\cos x}{x^2}\).
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
Au voisinage de \(0\), on a \(\cos x\gt0\). Posons :
Alors \(u\to0\) et :
De plus :
Ainsi :
Soit \(p\in\mathbb N^*\). Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=1\), puis donner ce prolongement.
Le numérateur s’annule à l’ordre au moins deux en \(x=1\). La correction existante le met d’abord sous la forme \((x^{p+1}-1)-(p+1)(x-1)\), puis factorise une première fois par \(x-1\) et une seconde fois chaque terme \(x^k-1\). On conserve exactement cette stratégie.
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6
On écrit :
Or :
Donc :
Puis :
Comme :
on obtient, pour \(x\neq1\) :
Lorsque \(x\to1\), le \(k\)-ième terme de cette somme tend vers \(k\). Ainsi :
Soit \(a\in\mathbb R_+^*\). Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.
La différence \(\sqrt{a^2+x}-a\) donne une forme indéterminée avec \(\tan x\). On utilise la quantité conjuguée du numérateur pour faire apparaître le facteur \(x\), puis la limite usuelle \(\frac{x}{\tan x}\to1\). L’hypothèse \(a\gt0\) assure que le dénominateur final tend vers \(2a\neq0\).
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7
On utilise la quantité conjuguée du numérateur :
Donc :
Or :
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=\frac{\pi}{4}\), puis donner ce prolongement.
Au point \(x=\frac{\pi}{4}\), numérateur et dénominateur s’annulent. Le changement de variable \(h=x-\frac{\pi}{4}\) et les identités trigonométriques utilisées dans la correction ramènent le quotient à des limites usuelles en \(0\).
Afficher la correction de la question 8Masquer la correction de la question 8
Posons \(h=x-\frac{\pi}{4}\). Alors \(h\to0\).
On utilise :
Comme :
on obtient :
Lorsque \(h\to0\) :
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\), puis donner ce prolongement.
Le remplacement direct en \(0\) conduit à \(\frac00\). La correction divise numérateur et dénominateur par \(x\) afin de faire apparaître \(\frac{\cos(kx)-1}{x}\) et \(\frac{\sin x}{x}\). Les premiers quotients tendent vers \(0\), tandis que le dernier tend vers \(1\).
Afficher la correction de la question 9Masquer la correction de la question 9
Pour \(x\neq0\), on divise le numérateur et le dénominateur par \(x\) :
Or :
Le numérateur tend donc vers \(0\), tandis que le dénominateur tend vers \(1\).
Montrer que la fonction
admet un prolongement par continuité en \(x_0=5\), puis donner ce prolongement.
On pose \(h=x-5\) pour ramener l’étude au voisinage de \(0\). L’identité \(\sin(\frac{\pi}{2}+u)=\cos u\) transforme le numérateur, puis on utilise la limite usuelle \(\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12\).
Afficher la correction de la question 10Masquer la correction de la question 10
Posons \(h=x-5\). Alors \(h\to0\) et \((5-x)^2=h^2\).
De plus :
Donc :
On écrit :
Comme \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12\), on obtient :
Exercice 25
Pour une fonction définie par morceaux, l’existence d’une limite en un point de raccordement se vérifie en comparant les limites à gauche et à droite. Un prolongement par continuité n’est possible que si ces deux limites sont égales et finies ; leur valeur commune est alors celle que l’on attribue au point.
Soit \(f\) la fonction définie par :
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)\).
Le point \(1\) sépare les deux expressions de la fonction. On calcule donc la limite à droite avec le premier morceau et la limite à gauche avec le second. L’existence d’une limite en \(1\) exige que ces deux limites latérales soient égales.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
À droite de \(1\), on utilise le premier morceau :
Donc :
À gauche de \(1\), on utilise le second morceau :
La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(1\) ?
On réutilise directement le résultat de la question précédente : les deux limites latérales en \(1\) existent, sont finies et ont la même valeur. La définition du prolongement par continuité permet alors d’ajouter cette valeur au point manquant.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Les deux limites latérales sont égales et finies :
La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(-1\) ?
On étudie séparément les deux côtés de \(-1\), car les expressions utilisées ne sont pas les mêmes. À droite, le polynôme donne une limite finie ; à gauche, le dénominateur du premier morceau tend vers \(0^+\) alors que le numérateur tend vers \(4\).
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
À droite de \(-1\), on utilise le second morceau :
À gauche de \(-1\), on utilise le premier morceau :
Lorsque \(x\to-1^-\), le numérateur tend vers \(4\) et le dénominateur tend vers \(0^+\). Donc :
Exercice 26
La question relève directement de la définition du prolongement par continuité : il faut transformer l’expression afin de déterminer la limite en \(\frac{\pi}{4}\). Une limite finie permet ensuite d’ajouter la valeur correspondante au point exclu du domaine initial.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[ \setminus\left\{\frac{\pi}{4}\right\}\) par :
La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(\frac{\pi}{4}\) ? Justifier la réponse.
Au point \(\frac{\pi}{4}\), l’expression présente une forme indéterminée. On utilise l’identité \(\cos2x=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\), puis on simplifie le facteur \(1-\tan x\). L’expression obtenue admet alors une limite directe lorsque \(\tan x\to1\).
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Pour \(x\neq\frac{\pi}{4}\), on utilise :
Ainsi :
Lorsque \(x\to\frac{\pi}{4}\), on a \(\tan x\to1\). Donc :
Exercice 27
Pour une fonction définie par morceaux, la continuité au point de raccordement impose l’égalité entre la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction. En un autre point absent du domaine, la même étude de limite permet de décider si un prolongement par continuité est possible.
On considère la fonction \(f\) définie par :
Étudier la continuité de \(f\) en \(1\).
Comme \(1\) appartient au premier morceau, on calcule d’abord \(f(1)\) et la limite à droite avec cette expression. À gauche, on utilise le second morceau et on étudie le signe de \(x(x-1)\) lorsque \(x\to1^-\). La continuité exige l’égalité des deux limites avec \(f(1)\).
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Comme \(1\) appartient au premier morceau :
La limite à droite vaut donc :
À gauche de \(1\) :
Lorsque \(x\to1^-\), le numérateur tend vers \(1\) et \(x(x-1)\to0^-\). Donc :
La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?
Au voisinage de \(0\), seule la seconde expression intervient. On factorise le dénominateur sous la forme \(x(x-1)\) et on fait apparaître la limite usuelle \(\frac{\sin u}{u}\) avec \(u=\frac{\pi x}{2}\).
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Au voisinage de \(0\), on utilise le second morceau :
On écrit :
Lorsque \(x\to0\) :
Exercice 28
Avec la partie entière, le comportement peut changer brutalement de part et d’autre d’un entier. Il faut donc déterminer d’abord le domaine, puis étudier séparément les limites latérales. Si elles sont différentes, la limite n’existe pas et aucun prolongement par continuité n’est possible.
On considère la fonction :
où \(E\) désigne la fonction partie entière.
Déterminer \(D_g\), le domaine de définition de \(g\).
Deux restrictions indépendantes doivent être réunies : la tangente exige que \(\pi x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\), et le dénominateur exige \(x-E(x)\neq0\). Or \(x=E(x)\) exactement lorsque \(x\) est entier. Le domaine est donc obtenu en excluant ces deux familles de points.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
La fonction tangente n’est pas définie lorsque :
D’autre part :
La fonction \(g\) admet-elle un prolongement par continuité en \(0\) ?
Près de \(0\), la partie entière n’a pas la même valeur des deux côtés : \(E(x)=0\) pour \(0\lt x\lt1\), tandis que \(E(x)=-1\) pour \(-1\lt x\lt0\). On calcule donc séparément les deux limites avec ces expressions locales.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
À droite de \(0\). Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(E(x)=0\). Donc :
Ainsi :
À gauche de \(0\). Pour \(-1\lt x\lt0\), on a \(E(x)=-1\). Donc :
Comme \(\tan(\pi x)\to0\) et \(x+1\to1\) :
Exercice 29
Pour une limite de fonction composée, on détermine d’abord la limite de l’expression intérieure, puis on utilise la continuité de la fonction extérieure au point obtenu. Lorsque l’expression intérieure est oscillante ou contient une partie entière, il faut d’abord établir son comportement par encadrement ou par une propriété locale adaptée.
Calculer :
On reprend le changement de variable \(u=\pi(\sqrt{\cos x}-1)\). Il transforme le sinus autour de \(\pi\) en un sinus autour de \(0\), puis la quantité conjuguée fait apparaître la limite de \(\frac{1-\cos x}{x^2}\).
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Posons \(u=\pi(\sqrt{\cos x}-1)\). Alors \(u\to0\) et :
De plus :
Donc :
Calculer :
On commence par la fonction intérieure \(\frac{\sin(\pi x)}{x}\). La limite usuelle \(\frac{\sin u}{u}\to1\) donne une limite égale à \(\pi\). Comme la tangente est définie et continue en \(\pi\), on peut ensuite passer à la fonction extérieure.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
On a :
La fonction tangente est continue en \(\pi\). Ainsi :
Calculer :
Il suffit de déterminer le comportement de la base. Pour \(x\ge4\), l’inégalité \(\sqrt{x}\le\frac{x}{2}\) fournit une minoration qui tend vers \(+\infty\). La base tend donc vers \(+\infty\), puis on applique la fonction puissance \(t\mapsto t^{17}\).
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
Pour \(x\geq4\), on a \(\sqrt{x}\leq\frac{x}{2}\). Donc :
Le membre de droite tend vers \(+\infty\). Ainsi la base tend vers \(+\infty\), et la puissance \(17\) conserve ce comportement.
Calculer :
Le facteur \(\cos(1/x^2)\) reste compris entre \(-1\) et \(1\). Multiplié par \(\sqrt{x}\), il donne une expression encadrée en valeur absolue par \(\sqrt{x}\), qui tend vers \(0\). On utilise ensuite la continuité de la tangente en \(0\).
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
Puisque \(\left|\cos\left(\frac1{x^2}\right)\right|\leq1\), on a :
Donc, par encadrement :
La fonction tangente étant continue en \(0\) :
Calculer :
Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(0\lt\sqrt{x}\lt1\), donc la partie entière \(E(\sqrt{x})\) vaut exactement \(0\). L’expression n’a alors plus rien d’indéterminé au voisinage droit de \(0\) : elle devient constamment \(\cos0\).
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
Pour \(0\lt x\lt1\), on a :
Par conséquent :
Ainsi, au voisinage droit de \(0\) :
Calculer :
On calcule d’abord la limite de la fraction sous la racine, qui vaut \(\frac14\), puis l’argument de la tangente tend vers \(\frac{\pi}{2}\). Il faut en plus déterminer le côté d’approche : l’inégalité obtenue montre que l’argument reste inférieur à \(\frac{\pi}{2}\).
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6
On a :
Donc :
De plus, pour \(x\) assez grand :
donc l’argument de la tangente tend vers \(\frac{\pi}{2}\) par valeurs inférieures.
Exercice 30
Ces limites reposent sur la continuité d’une fonction extérieure — sinus, cosinus, tangente ou partie entière localement constante — après calcul de la limite de l’expression intérieure. Il faut donc toujours vérifier que la fonction extérieure est définie et continue au point vers lequel tend son argument.
Calculer :
Le changement de variable \(h=x-1\) ramène le problème au voisinage de \(0\). On transforme ensuite \(\cos(\frac{\pi x}{2})\) en \(-\sin(\frac{\pi h}{2})\), puis on décompose le quotient pour utiliser successivement \(\frac{\sin u}{u}\to1\) et \(\frac{\sin(\pi h/2)}{h}\to\frac{\pi}{2}\).
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Posons \(h=x-1\). Alors \(h\to0\) et :
Donc :
où \(u=-\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)\to0\).
Ainsi :
Calculer :
Comme \(x\to0^+\), on peut travailler avec \(0\lt x\lt1\), où \(x-x^2=x(1-x)\gt0\). La valeur absolue disparaît donc sans ambiguïté. L’argument de la tangente se ramène alors à \(\frac{\sin x}{x}\) et tend vers \(\frac{\pi}{6}\).
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Pour \(0\lt x\lt1\), on a \(x-x^2=x(1-x)\gt0\). Donc :
Ainsi :
Lorsque \(x\to0^+\), cette expression tend vers \(\frac{\pi}{6}\). La fonction tangente est continue en \(\frac{\pi}{6}\).
Calculer :
On calcule d’abord la limite de l’expression située à l’intérieur du cosinus. Chaque terme avec une tangente est ramené à la limite usuelle \(\frac{\tan u}{u}\to1\). La valeur obtenue est ensuite injectée dans la fonction cosinus, continue sur \(\mathbb R\).
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
On calcule d’abord la limite de l’expression intérieure :
Comme \(\frac{\tan u}{u}\to1\), cette expression tend vers :
La fonction cosinus est continue sur \(\mathbb R\). Donc :
Calculer :
Pour tout \(x\gt0\), la fraction \(\frac{x}{x+1}\) appartient strictement à l’intervalle \(]0,1[\). Sa partie entière vaut donc exactement \(0\), et ce résultat est valable en particulier pour tout \(x\) assez grand.
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
Pour \(x\gt0\) :
Donc :
Calculer :
On détermine d’abord la limite de la fraction rationnelle située dans le cosinus en divisant numérateur et dénominateur par \(x^3\). Cette limite vaut \(-\frac{\pi}{4}\), point où le cosinus est continu.
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
On divise le numérateur et le dénominateur de l’expression intérieure par \(x^3\) :
Par continuité de la fonction cosinus :
Calculer :
Le facteur \(\sin(1/x)\) est borné entre \(-1\) et \(1\). On majore donc la valeur absolue de l’expression intérieure par \(|x|^3+2|x|\), qui tend vers \(0\). Le théorème d’encadrement donne la limite de l’argument, puis la continuité du sinus conclut.
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6
Comme \(\left|\sin\left(\frac1x\right)\right|\leq1\), on a :
Le membre de droite tend vers \(0\). Donc l’expression intérieure tend vers \(0\).
Par continuité de la fonction sinus en \(0\) :
Exercice 31
Le cours donne les règles d’opérations sur les fonctions continues : sommes, produits, puissances et quotients lorsque le dénominateur ne s’annule pas. La racine carrée est continue sur son domaine. La stratégie consiste donc d’abord à déterminer exactement le domaine, puis à appliquer ces règles sur chacun de ses intervalles.
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
On reconnaît directement une fonction polynomiale. Le cours établit qu’une fonction polynomiale est définie et continue sur tout \(\mathbb R\). Il suffit donc d’identifier sa nature.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
La fonction \(f\) est une fonction polynomiale.
Toute fonction polynomiale est définie et continue sur \(\mathbb R\).
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
Le numérateur et le dénominateur sont polynomiaux, donc continus. La seule restriction vient des zéros du dénominateur. On les détermine, puis on applique la règle du quotient sur chaque intervalle où le dénominateur reste non nul.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
Le dénominateur doit être non nul :
Donc :
Le numérateur et le dénominateur sont polynomiaux, donc continus. Leur quotient est continu en tout point où le dénominateur ne s’annule pas.
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
La partie polynomiale est continue sur \(\mathbb R\), tout comme la fonction sinus. La différence de deux fonctions continues est continue sur l’intersection de leurs domaines, ici tout \(\mathbb R\).
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
La fonction \(x\mapsto x^3+3x^2+5x\) est polynomiale, donc continue sur \(\mathbb R\).
La fonction sinus est également continue sur \(\mathbb R\).
La différence de deux fonctions continues est continue.
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
On factorise d’abord le dénominateur pour repérer précisément ses zéros. Le cosinus et le polynôme du dénominateur sont continus ; leur quotient est donc continu en tout point où ce dénominateur ne s’annule pas.
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
On factorise le dénominateur :
Il s’annule pour \(x=\frac23\) et \(x=1\).
La fonction cosinus et la fonction polynomiale du dénominateur sont continues. Leur quotient est donc continu lorsque le dénominateur est non nul.
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb R\). Les puissances, produits, sommes et différences de fonctions continues restent continues. Aucune restriction de domaine n’est introduite.
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb R\).
Les puissances, produits, sommes et différences de fonctions continues sont continues.
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
On commence par imposer la condition de la racine carrée : le radicand doit être positif ou nul. Sa factorisation en \((x^2-2)(x^2-3)\) permet de résoudre cette inéquation. On exclut ensuite \(x=1\), seul zéro du dénominateur appartenant à l’ensemble obtenu.
Afficher la correction de la question 6Masquer la correction de la question 6
La racine carrée impose :
On factorise :
Le produit est positif ou nul lorsque :
Donc :
Le facteur \(x^2+1\) ne s’annule jamais, tandis que \(x-1=0\) pour \(x=1\), qu’il faut exclure.
Montrer que la fonction
est continue sur son domaine de définition.
La racine \(\sqrt{x}\) impose \(x\ge0\), mais comme elle apparaît au dénominateur, il faut en réalité \(x\gt0\). Sur cet intervalle, la racine, le sinus composé et le quotient sont tous bien définis et continus.
Afficher la correction de la question 7Masquer la correction de la question 7
La présence de \(\sqrt{x}\) impose \(x\geq0\), mais cette racine apparaît aussi au dénominateur. Il faut donc :
Sur \(]0,+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto\sqrt{x}\), \(x\mapsto\sin(\sqrt{x})\) et \(x\mapsto\frac{x^2+4x-5}{\sqrt{x}}\) sont continues.
Exercice 32
Chaque expression de la fonction est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Pour obtenir la continuité sur tout \(\mathbb R\), il reste uniquement à vérifier les deux points de raccordement : la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction doivent y coïncider.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\).
Chaque formule est continue sur son propre intervalle. Il suffit donc de contrôler les deux points où la définition change, \(-1\) et \(1\). À chacun d’eux, on calcule la valeur de la fonction et les deux limites latérales, puis on vérifie qu’elles coïncident.
Afficher la correctionMasquer la correction
Chaque expression est continue sur l’intervalle où elle est utilisée. Il reste donc à vérifier les raccordements en \(-1\) et en \(1\).
Continuité en \(-1\)
Ainsi :
Continuité en \(1\)
Ainsi :
Exercice 33
Pour une fonction composée, on commence par déterminer le domaine de la fonction intérieure puis on impose les conditions de définition de la fonction extérieure. Une fois le domaine obtenu, la continuité résulte des règles d’opérations et de composition sur chaque intervalle qui ne rencontre aucun point exclu.
Déterminer le domaine de définition de :
puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.
La fonction intérieure \(\frac{\pi}{2x-1}\) impose d’abord \(x\neq\frac12\). Ensuite, la tangente n’est pas définie lorsque cet argument vaut \(\frac{\pi}{2}+k\pi\). On résout cette seconde condition, puis on utilise la continuité d’une composée sur chaque intervalle du domaine obtenu.
Afficher la correction de la question 1Masquer la correction de la question 1
Il faut d’abord \(2x-1\neq0\), donc \(x\neq\frac12\).
La fonction tangente n’est pas définie lorsque son argument vaut \(\frac{\pi}{2}+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\). Ainsi :
Après simplification :
Déterminer le domaine de définition de :
puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.
La seule restriction vient de \(\frac{\pi}{x}\), donc \(x\neq0\). Sur chaque intervalle \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\), les fonctions \(\frac{\pi}{x}\), cosinus puis sinus sont continues, ce qui permet d’appliquer la continuité de la composée.
Afficher la correction de la question 2Masquer la correction de la question 2
La seule restriction vient de \(\frac{\pi}{x}\), qui impose \(x\neq0\).
Déterminer le domaine de définition de :
puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.
La racine carrée impose \(x\le2\). Le dénominateur impose en plus \(|x+1|\neq2\), soit \(x\neq-3\) et \(x\neq1\). Une fois ces restrictions réunies, le quotient de fonctions continues est continu sur chaque intervalle du domaine.
Afficher la correction de la question 3Masquer la correction de la question 3
La racine impose :
Le dénominateur doit être non nul :
Or \(|x+1|=2\) pour \(x=1\) ou \(x=-3\).
Déterminer le domaine de définition de :
puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.
Le numérateur est continu sur \(\mathbb R\). Le dénominateur \(x(x-1)\) s’annule uniquement en \(0\) et en \(1\). Le quotient est donc continu en tout autre point.
Afficher la correction de la question 4Masquer la correction de la question 4
Le dénominateur s’annule pour \(x=0\) et \(x=1\).
On considère la fonction :
Déterminer son domaine de définition et étudier sa continuité.
La fonction est définie séparément en \(0\). Sur \(\mathbb R^*\), elle est continue par opérations et composition. Il reste donc uniquement à vérifier le raccordement en \(0\) en posant \(t=\sqrt{|x|}\), ce qui ramène le quotient à la limite usuelle \(\frac{1-\cos t}{t^2}\).
Afficher la correction de la question 5Masquer la correction de la question 5
La fonction est définie pour tout réel : lorsque \(x\neq0\), on a \(|x|\gt0\), et la valeur en \(0\) est donnée séparément.
La fonction est continue sur \(\mathbb R^*\). Il reste à étudier la continuité en \(0\).
Posons \(t=\sqrt{|x|}\). Lorsque \(x\to0\), on a \(t\to0\) et \(|x|=t^2\). Donc :
Par la limite usuelle :
Déterminer le domaine de définition de :
puis étudier sa continuité sur chaque sous-intervalle de son domaine.
Deux conditions sont nécessaires parce que la tangente se trouve au dénominateur : elle doit d’abord être définie, puis elle doit être non nulle. On exclut donc les demi-entiers où \(\tan(\pi x)\) n’est pas définie et les entiers où elle s’annule.
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La tangente doit être définie, donc :
Comme elle se trouve au dénominateur, il faut aussi :
À retenir — Limite et continuité
Si une fonction \(f\) n’est pas définie en \(a\), mais si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\) existe et est finie, on obtient un prolongement continu en posant \(\widetilde f(a)=\ell\). Si les limites à gauche et à droite sont différentes, aucun prolongement par continuité n’est possible.
On détermine d’abord la limite de l’expression intérieure. Si cette limite vaut \(\ell\) et si la fonction extérieure est définie et continue en \(\ell\), alors on peut utiliser la continuité de cette fonction extérieure pour calculer la limite de la composée.
Les fonctions polynomiales, sinus et cosinus sont continues sur \(\mathbb R\). Les opérations sur les fonctions continues conservent la continuité aux points où elles sont définies ; pour un quotient, le dénominateur doit être non nul. La racine carrée impose en plus que son argument soit positif ou nul.
Sur chaque morceau, on utilise la propriété de continuité adaptée. Aux points où la formule change, il faut vérifier le raccordement en comparant les limites latérales et la valeur de la fonction.
Au voisinage d’un entier, la partie entière peut prendre des valeurs différentes à gauche et à droite. Il faut donc déterminer sa valeur localement avant de calculer les limites latérales.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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