Correction des exercices 21 à 23 — Logarithme népérien — Al Moufid

Correction des exercices 21 à 23

Variations et étude de fonctions logarithmiques — Al Moufid

2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation :
Cette page propose la correction détaillée des exercices 21, 22 et 23 du chapitre Logarithme népérien. Les exercices portent sur les variations, le signe d’une fonction auxiliaire, la dérivabilité en \(0\) et l’étude complète d’une fonction comportant une racine carrée.

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Logarithme népérien

Manuel : Al Moufid

Exercices : 21 à 23

Partie : Variations et étude de fonctions

Thèmes : Dérivée, signe, limites et dérivabilité

Méthodes essentielles : calculer et factoriser la dérivée, utiliser une fonction auxiliaire pour en déterminer le signe, distinguer les dérivées unilatérales et dresser les tableaux de variations sur chaque intervalle du domaine.

Accès rapide aux exercices

Exercice 21 Exercice 22 Exercice 23

Exercice 21 Étude des fonctions \(g\) et \(f\)

Énoncé Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur \(\mathbb R_+^*\) par : \[ f(x)=\frac{\ln x}{x}-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}-1 \] et : \[ g(x)=x^2+5-2\ln x. \] 1-a) Étudier les variations de \(g\).
1-b) En déduire le signe de \(g(x)\).
2) Étudier les variations de \(f\).

1-a Variations de la fonction \(g\)

Étudier les variations de : \[ g(x)=x^2+5-2\ln x \] sur \(\mathbb R_+^*\).

Correction

La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour tout \(x\gt0\) :

\[ \begin{aligned} g'(x) &=2x-\frac2x\\ &=\frac{2(x^2-1)}x\\ &=\frac{2(x-1)(x+1)}x. \end{aligned} \]

Comme \(x\gt0\) et \(x+1\gt0\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(x-1\). Ainsi :

\[ g'(x)\lt0 \quad\text{pour }0\lt x\lt1, \] \[ g'(1)=0, \] \[ g'(x)\gt0 \quad\text{pour }x\gt1. \]

De plus :

\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty, \qquad g(1)=6, \qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. \]

Sur \(]0,1[\), on a \(g'(x)\lt0\). Donc \(g\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(6\).

En \(x=1\), on a \(g'(1)=0\) et \(g(1)=6\).

Sur \(]1,+\infty[\), on a \(g'(x)\gt0\). Donc \(g\) est strictement croissante de \(6\) vers \(+\infty\).

\[ \boxed{ g\text{ décroît sur }]0,1] \text{ puis croît sur }[1,+\infty[ } \]

↩ Retour à l’exercice 21 ↑ Menu des exercices

1-b Signe de \(g(x)\)

En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb R_+^*\).

Correction

D’après le tableau de variations, la fonction \(g\) admet sur \(]0,+\infty[\) un minimum en \(x=1\).

\[ g(1)=6. \]

Par conséquent :

\[ \forall x\gt0,\qquad g(x)\ge6\gt0. \]

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R_+^*,\quad g(x)\gt0 } \]

↩ Retour à l’exercice 21 ↑ Menu des exercices

2 Variations de la fonction \(f\)

Étudier les variations de : \[ f(x)=\frac{\ln x}{x}-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}-1 \] sur \(\mathbb R_+^*\).

Correction

La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\). On calcule :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1-\ln x}{x^2} +\frac{3}{2x^2} +\frac12\\ &= \frac{x^2+5-2\ln x}{2x^2}\\ &= \frac{g(x)}{2x^2}. \end{aligned} \]

Pour tout \(x\gt0\), on a \(2x^2\gt0\) et, d’après la question précédente, \(g(x)\gt0\). Donc :

\[ f'(x)\gt0 \qquad(x\gt0). \]

Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

Enfin :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty, \]

et, puisque \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) et \(\dfrac1x\to0\) lorsque \(x\to+\infty\) :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Sur \(]0,+\infty[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).

\[ \boxed{ f\text{ est strictement croissante sur }]0,+\infty[ } \]

↩ Retour à l’exercice 21 ↑ Menu des exercices

↑ Retour au menu des exercices

Exercice 22 Variations d’une fonction logarithmique

Énoncé Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R_+^*\) par : \[ f(x)=\left(1-\frac1{x^2}\right)\ln x. \] 1) Montrer que \(x^3f'(x)=2\ln x+x^2-1\).
2) Montrer que \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).

1 Calcul de la dérivée

Soit : \[ f(x)=\left(1-\frac1{x^2}\right)\ln x. \] Montrer que : \[ \forall x\in\mathbb R_+^*,\qquad x^3f'(x)=2\ln x+x^2-1. \]

Correction

Pour tout \(x\gt0\), on écrit :

\[ f(x)=\ln x-\frac{\ln x}{x^2}. \]

Alors :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac1x -\left( \frac1{x^3} -\frac{2\ln x}{x^3} \right)\\ &= \frac1x-\frac1{x^3}+\frac{2\ln x}{x^3}\\ &= \frac{x^2-1+2\ln x}{x^3}. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ \forall x\gt0,\quad x^3f'(x)=2\ln x+x^2-1 } \]

↩ Retour à l’exercice 22 ↑ Menu des exercices

2 Variations de \(f\)

Montrer que \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).

Correction

Posons :

\[ \varphi(x)=2\ln x+x^2-1 \qquad(x\gt0). \]

On a :

\[ \varphi'(x)=\frac2x+2x\gt0. \]

La fonction \(\varphi\) est donc strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). Or :

\[ \varphi(1)=0. \]

Ainsi :

\[ \varphi(x)\lt0 \quad\text{pour }0\lt x\lt1, \] \[ \varphi(x)\gt0 \quad\text{pour }x\gt1. \]

Comme \(x^3\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(\varphi(x)\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et croissante sur \([1,+\infty[\).

De plus :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \qquad f(1)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Sur \(]0,1[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(0\).

En \(x=1\), on a \(f'(1)=0\) et \(f(1)=0\).

Sur \(]1,+\infty[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(+\infty\).

\[ \boxed{ f\text{ décroît sur }]0,1] \text{ et croît sur }[1,+\infty[ } \]

↩ Retour à l’exercice 22 ↑ Menu des exercices

↑ Retour au menu des exercices

Exercice 23 Fonction auxiliaire et étude de \(f(x)=\sqrt{x\ln(1+x)}\)

Énoncé 1) Montrer que la fonction définie sur \(\mathbb R_+^*\) par : \[ g(x)=\frac{x}{x+1}+\ln(x+1) \] est strictement croissante.
2) Soit : \[ f(x)=\sqrt{x\ln(1+x)}. \] a) Déterminer son domaine de définition.
b) Calculer ses limites en \(-1^+\) et en \(+\infty\).
c) Étudier sa dérivabilité en \(0\).
d) Étudier ses variations.

1 Croissance de la fonction \(g\)

Montrer que la fonction définie sur \(\mathbb R_+^*\) par : \[ g(x)=\frac{x}{x+1}+\ln(x+1) \] est strictement croissante.

Correction

Pour tout \(x\gt0\), la fonction \(g\) est dérivable et :

\[ \begin{aligned} g'(x) &= \frac{(x+1)-x}{(x+1)^2} +\frac1{x+1}\\ &= \frac1{(x+1)^2} +\frac{x+1}{(x+1)^2}\\ &= \frac{x+2}{(x+1)^2}. \end{aligned} \]

Pour tout \(x\gt0\), on a :

\[ x+2\gt0 \qquad\text{et}\qquad (x+1)^2\gt0. \]

Donc :

\[ g'(x)\gt0. \]

\[ \boxed{ g\text{ est strictement croissante sur }\mathbb R_+^* } \]

↩ Retour à l’exercice 23 ↑ Menu des exercices

2-a Domaine de définition de \(f\)

Soit : \[ f(x)=\sqrt{x\ln(1+x)}. \] Déterminer le domaine de définition de \(f\).

Correction

Il faut d’abord :

\[ 1+x\gt0, \]

c’est-à-dire :

\[ x\gt-1. \]

Il faut également :

\[ x\ln(1+x)\ge0. \]

Lorsque \(-1\lt x\lt0\), on a \(x\lt0\) et \(\ln(1+x)\lt0\), donc leur produit est positif.

Lorsque \(x=0\), le produit est nul.

Lorsque \(x\gt0\), les deux facteurs sont positifs.

Ainsi :

\[ \boxed{D_f=]-1,+\infty[} \]

↩ Retour à l’exercice 23 ↑ Menu des exercices

2-b Limites aux bornes du domaine

Calculer : \[ \lim_{x\to-1^+}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x). \]

Correction

Lorsque \(x\to-1^+\), on a :

\[ x\to-1 \qquad\text{et}\qquad \ln(1+x)\to-\infty. \]

Donc :

\[ x\ln(1+x)\to+\infty, \]

d’où :

\[ \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), on a :

\[ x\ln(1+x)\to+\infty. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty \quad\text{et}\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty } \]

↩ Retour à l’exercice 23 ↑ Menu des exercices

2-c Dérivabilité en \(0\)

Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\).

Correction

On a :

\[ f(0)=0. \]

Pour \(x\neq0\) et \(x\gt-1\) :

\[ x\ln(1+x) = x^2\frac{\ln(1+x)}x. \]

Donc :

\[ f(x) = |x| \sqrt{\frac{\ln(1+x)}x}. \]

Le taux d’accroissement en \(0\) est alors :

\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{|x|}{x} \sqrt{\frac{\ln(1+x)}x}. \]

Or :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1. \]

Ainsi :

\[ f'_d(0) = \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}x =1, \]

tandis que :

\[ f'_g(0) = \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}x =-1. \]

Les deux dérivées unilatérales sont différentes. La fonction \(f\) n’est donc pas dérivable en \(0\). Graphiquement, la courbe admet en \(O(0,0)\) un point anguleux, avec deux demi-tangentes d’équations \(y=-x\) et \(y=x\).

\[ \boxed{ f'_g(0)=-1 \neq f'_d(0)=1 \quad\Longrightarrow\quad f\text{ n’est pas dérivable en }0 } \]

↩ Retour à l’exercice 23 ↑ Menu des exercices

2-d Variations de \(f\)

Étudier les variations de la fonction \(f\).

Correction

Pour \(x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[\), on a :

\[ f'(x) = \frac{ \ln(1+x)+\dfrac{x}{x+1} }{ 2\sqrt{x\ln(1+x)} }. \]

Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de :

\[ G(x)=\frac{x}{x+1}+\ln(1+x). \]

La même expression est définie sur \(]-1,+\infty[\), et :

\[ G'(x)=\frac{x+2}{(x+1)^2}\gt0. \]

La fonction \(G\) est donc strictement croissante sur \(]-1,+\infty[\). Comme :

\[ G(0)=0, \]

on obtient :

\[ G(x)\lt0 \quad\text{pour }-1\lt x\lt0, \]

et :

\[ G(x)\gt0 \quad\text{pour }x\gt0. \]

Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \(]-1,0]\), puis strictement croissante sur \([0,+\infty[\).

Sur \(]-1,0[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(0\).

En \(x=0\), la fonction est définie et \(f(0)=0\), mais elle n’est pas dérivable.

Sur \(]0,+\infty[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(+\infty\).

\[ \boxed{ f\text{ décroît sur }]-1,0] \text{ et croît sur }[0,+\infty[ } \]

↩ Retour à l’exercice 23 ↑ Menu des exercices

↑ Retour au menu des exercices

Méthodes à retenir

• Une fonction auxiliaire peut permettre de déterminer le signe d’une dérivée compliquée.
• Lorsque le domaine traverse \(0\), la dérivabilité exige de comparer les dérivées à gauche et à droite.
• Le produit \(x\ln(1+x)\) est positif sur \(]-1,0[\cup]0,+\infty[\).
• Le signe de la dérivée doit être étudié séparément sur chaque intervalle du domaine.
• Les limites aux bornes complètent le tableau de variations.

Ressources liées

Correction de l’exercice 20 Correction des exercices 18 et 19 Exercices résolus — Al Moufid

Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt