Correction des exercices 18 et 19 — Calcul des primitives
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 18 et 19 sont consacrés au calcul de primitives sur des intervalles précisément indiqués. Cette information est essentielle : lorsqu’une primitive fait intervenir un logarithme, le signe de l’expression située dans ce logarithme dépend souvent de l’intervalle étudié. L’objectif est donc de reconnaître d’abord la structure de la fonction : forme \(\frac{u'}u\), somme de termes élémentaires, expression à décomposer ou fonction nécessitant une substitution simple. Ensuite, on vérifie les conditions qui permettent d’écrire correctement le logarithme obtenu. Les calculs de la correction existante sont conservés dans leur ordre et dans leur méthode ; l’enrichissement explique surtout pourquoi chaque primitive est autorisée sur l’intervalle proposé et comment reconnaître la méthode à réutiliser.
Une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) est une fonction \(F\) dérivable sur cet intervalle et vérifiant :
\[ F'(x)=f(x). \]Une forme fondamentale utilisée dans ces exercices est la dérivée logarithmique. Lorsque \(u\) est dérivable et ne s’annule pas sur l’intervalle considéré :
\[ \int\frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)|+C. \]Si l’intervalle permet de connaître le signe de \(u(x)\), la valeur absolue peut être simplifiée correctement. C’est pourquoi il ne faut pas ignorer l’intervalle \(I\) donné dans l’énoncé.
Enfin, toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante réelle \(C\).
Avant de calculer, on cherche la structure de l’expression. Si un dénominateur possède presque sa dérivée au numérateur, on tente de faire apparaître \(\frac{u'}u\). Si la fonction est une somme, on primitive terme à terme. Lorsque l’expression contient \(1-\ln x\), \(\arctan x\) ou \(\sqrt{x}\), la correction utilise une substitution simple afin de revenir à une primitive connue. Après le calcul, on revient toujours à la variable \(x\) et on conserve la constante réelle \(C\).
Exercice 18 — Déterminer les primitives de la fonction \(f\)
Pour chacun des huit cas proposés, déterminer les primitives de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\) indiqué.
1. Primitive de \(f(x)=-\dfrac5x\)
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Sur l’intervalle \(I\), on a \(x\gt0\). On peut donc utiliser directement \(\ln x\), dont la dérivée est \(\frac1x\). Le coefficient \(-5\) reste simplement en facteur.
Sur \(I\), on a \(x\gt0\), donc :
\[ \int -\frac5x\,dx = -5\ln x+C. \]2. Primitive de \(f(x)=-\dfrac1x\) sur \(]-\infty,0[\)
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Ici, \(x\) est négatif. L’expression \(\ln x\) n’est donc pas définie. En revanche, \(-x\gt0\) sur tout l’intervalle. C’est cette condition qui permet d’utiliser \(\ln(-x)\).
Sur \(I\), on a \(x\lt0\), donc \(-x\gt0\). Comme :
\[ \bigl(\ln(-x)\bigr)'=\frac1x, \]on obtient :
\[ \int -\frac1x\,dx = -\ln(-x)+C. \]3. Primitive de \(f(x)=\dfrac1{x+2}\)
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On reconnaît immédiatement une expression de la forme \(\frac{u'}u\) avec \(u(x)=x+2\) et \(u'(x)=1\). L’intervalle donné garantit \(x+2\gt0\).
Sur \(I\), on a \(x+2\gt0\). Ainsi :
\[ \int\frac1{x+2}\,dx = \ln(x+2)+C. \]4. Primitive d’une fonction rationnelle
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Le numérateur n’est pas directement la dérivée du dénominateur. La stratégie de la correction consiste donc à décomposer le numérateur afin de faire apparaître une constante et un terme de la forme \(\frac1{2x+1}\).
On décompose le numérateur :
\[ 3x-5 = \frac32(2x+1)-\frac{13}{2}. \]Donc :
\[ \frac{3x-5}{2x+1} = \frac32-\frac{13}{2(2x+1)}. \]Sur \(I\), on a \(2x+1\gt0\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac{3x-5}{2x+1}\,dx &= \frac32x -\frac{13}{2}\int\frac1{2x+1}\,dx\\ &= \frac32x -\frac{13}{4}\ln(2x+1)+C. \end{aligned} \]5. Reconnaître directement la forme \(\dfrac{u'}u\)
Afficher la correction
Le dénominateur \(x^2+4\) a pour dérivée \(2x\), exactement le numérateur. De plus, il est strictement positif pour tout réel, donc le logarithme obtenu sera défini sur tout \(\mathbb R\).
On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}u\) avec :
\[ u(x)=x^2+4 \qquad\text{et}\qquad u'(x)=2x. \]Comme \(x^2+4\gt0\) pour tout réel \(x\) :
\[ \int\frac{2x}{x^2+4}\,dx = \ln(x^2+4)+C. \]6. Dérivée logarithmique d’un trinôme
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Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur. Il reste cependant à vérifier que ce dénominateur ne s’annule pas. La forme canonique utilisée dans la correction montre même qu’il reste strictement positif.
On pose :
\[ u(x)=x^2+x+4. \]Alors :
\[ u'(x)=2x+1. \]De plus :
\[ x^2+x+4 = \left(x+\frac12\right)^2+\frac{15}{4} \gt0. \]Ainsi :
\[ \int\frac{2x+1}{x^2+x+4}\,dx = \ln(x^2+x+4)+C. \]7. Somme de deux fractions sur \(]2,5[\)
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Les deux dénominateurs n’ont pas le même signe sur l’intervalle. Il faut donc tenir compte de \(x-2\gt0\) et de \(5-x\gt0\) pour écrire les logarithmes avec des arguments positifs.
Sur \(I\), on a :
\[ x-2\gt0 \qquad\text{et}\qquad 5-x\gt0. \]Or :
\[ \left(\ln(x-2)\right)'=\frac1{x-2} \]et :
\[ \left(\ln(5-x)\right)' = -\frac1{5-x} = \frac1{x-5}. \]Donc :
\[ \int f(x)\,dx = \ln(x-2)+\ln(5-x)+C. \]8. Simplifier avant de chercher une primitive
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Le quotient doit d’abord être simplifié. On obtient alors une somme de puissances de \(x\) et un terme en \(1/x\). Chaque terme peut ensuite être primitivé séparément.
Pour \(x\neq0\), on simplifie :
\[ f(x) = 2x^2+x+1-\frac7x. \]Sur \(I\), on a \(-x\gt0\), et :
\[ \bigl(\ln(-x)\bigr)'=\frac1x. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \frac23x^3+\frac12x^2+x-7\ln(-x)+C. \end{aligned} \]Exercice 19 — Déterminer les primitives de la fonction \(g\)
Pour chacun des sept cas proposés, déterminer les primitives de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(I\) indiqué.
1. Somme de primitives élémentaires
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La fonction est une somme de trois termes. Les deux premiers se primitivent directement. Pour le troisième, la dérivée de \(5x+1\) vaut \(5\), ce qui explique l’apparition du facteur \(\frac15\).
Sur \(I\), on a \(5x+1\gt0\). Alors :
\[ \begin{aligned} \int g(x)\,dx &= \int x^2\,dx -2\int dx +4\int\frac1{5x+1}\,dx\\ &= \frac{x^3}{3}-2x+\frac45\ln(5x+1)+C. \end{aligned} \]2. Deux dérivées logarithmiques
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Sur \(]1,+\infty[\), on a à la fois \(x\gt0\) et \(\ln x\gt0\). Le premier terme se reconnaît comme la dérivée d’une puissance de \(\ln x\), tandis que le second est la dérivée logarithmique de \(\ln x\).
Sur \(I\), on a \(\ln x\gt0\). D’une part :
\[ \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac12(\ln x)^2. \]D’autre part :
\[ \int\frac1{x\ln x}\,dx = \ln(\ln x). \]Donc :
3. Substitution \(u=1-\ln x\)
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L’expression \(1-\ln x\) apparaît sous une racine tandis que son différentiel fait intervenir \(\frac{dx}{x}\). La substitution choisie dans la correction transforme donc directement l’intégrale en une puissance de \(u\).
Posons :
\[ u=1-\ln x. \]Alors :
\[ du=-\frac{dx}{x}. \]Sur \(I\), on a \(u\gt0\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac5{x\sqrt{1-\ln x}}\,dx &= -5\int u^{-1/2}\,du\\ &= -10\sqrt{u}+C. \end{aligned} \]En revenant à \(x\) :
4. Primitive de la fonction tangente
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La fonction tangente s’écrit comme un quotient \(\frac{\sin x}{\cos x}\). Sur l’intervalle donné, \(\cos x\gt0\), ce qui permet d’écrire directement \(\ln(\cos x)\).
Sur \(I\), on a \(\cos x\gt0\). De plus :
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. \]Comme :
\[ (\cos x)'=-\sin x, \]on obtient :
\[ \int\tan x\,dx = -\ln(\cos x)+C. \]5. Dérivée logarithmique de \(\arctan x\)
Afficher la correction
Le facteur \(\frac1{1+x^2}\) est précisément la dérivée de \(\arctan x\). La substitution de la correction fait donc apparaître immédiatement une intégrale de la forme \(\int\frac{du}{u}\).
Posons :
\[ u=\arctan x. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{1+x^2}. \]Sur \(I\), on a \(\arctan x\gt0\). Donc :
\[ \int\frac1{(1+x^2)\arctan x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln u+C. \]En revenant à \(x\) :
6. Primitive de \(\dfrac1{\sin(2x)}\)
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La correction ne cherche pas une nouvelle formule de primitive. Elle transforme l’expression afin de reconnaître la dérivée logarithmique de \(\tan x\). Le facteur \(2\) de la formule \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) explique le coefficient final \(\frac12\).
Sur \(I\), on a \(\tan x\gt0\). Or :
\[ \left(\ln(\tan x)\right)' = \frac{\tan'(x)}{\tan x} = \frac{1/\cos^2x}{\sin x/\cos x} = \frac1{\sin x\cos x}. \]Comme :
\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x, \]on en déduit :
\[ \frac1{\sin(2x)} = \frac12\left(\ln(\tan x)\right)'. \]7. Substitution \(t=\sqrt{x}\)
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La coexistence de \(x\) et de \(\sqrt{x}\) suggère de poser directement \(t=\sqrt{x}\). Comme \(x\gt0\), on a \(t\gt0\) et cette substitution transforme le dénominateur en un produit simple.
Posons :
\[ t=\sqrt{x}. \]Alors :
\[ x=t^2 \qquad\text{et}\qquad dx=2t\,dt. \]De plus :
\[ x+\sqrt{x} = t^2+t = t(t+1). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac{dx}{x+\sqrt{x}} &= \int\frac{2t\,dt}{t(t+1)}\\ &= 2\int\frac{dt}{t+1}\\ &= 2\ln(t+1)+C. \end{aligned} \]En revenant à \(x\) :
À retenir
Ces deux exercices montrent que le calcul d’une primitive ne consiste pas seulement à connaître une liste de formules. Il faut d’abord reconnaître la structure de la fonction. La forme \(\frac{u'}u\) conduit au logarithme, mais l’intervalle étudié permet de déterminer si l’on écrit \(\ln u\), \(\ln(-u)\) ou plus généralement \(\ln|u|\). Certaines expressions doivent être décomposées avant l’intégration, comme dans la fonction 4 de l’exercice 18, tandis que d’autres deviennent simples après une substitution adaptée, comme \(u=1-\ln x\), \(u=\arctan x\) ou \(t=\sqrt{x}\). Enfin, une primitive obtenue doit pouvoir être vérifiée en la dérivant : on doit retrouver exactement la fonction donnée. Toutes les primitives sur le même intervalle s’obtiennent ensuite en ajoutant une constante réelle \(C\).
Correction de l’exercice 17 · Correction des exercices 14 à 16 · Exercices résolus — Al Moufid
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