Correction des exercices 18 et 19
Calcul des primitives — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Présentation :
Cette page propose une correction détaillée des exercices 18 et 19 du chapitre Logarithme népérien. Pour chaque fonction, les primitives sont déterminées sur l’intervalle indiqué dans l’énoncé.
Cette page propose une correction détaillée des exercices 18 et 19 du chapitre Logarithme népérien. Pour chaque fonction, les primitives sont déterminées sur l’intervalle indiqué dans l’énoncé.
Méthodes essentielles :
\[
\int\frac{u'(x)}{u(x)}\,dx
=
\ln|u(x)|+C,
\]
\[
\int u'(x)\,u(x)^\alpha\,dx
=
\frac{u(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C
\qquad(\alpha\neq-1),
\]
ainsi que les changements de variable adaptés.
Les signes imposés par chaque intervalle permettent de simplifier
correctement les valeurs absolues.
Exercice 18 Déterminer les primitives de la fonction \(f\)
Énoncé
Pour chacun des huit cas proposés, déterminer les primitives
de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(I\) indiqué.
1
Fonction 1
\[
f(x)=-\frac5x,
\qquad
I=]0,+\infty[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(x\gt0\), donc :
\[ \int -\frac5x\,dx = -5\ln x+C. \]
\[\boxed{F(x)=-5\ln x+C\qquad(C\in\mathbb R)}\]
2
Fonction 2
\[
f(x)=-\frac1x,
\qquad
I=]-\infty,0[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(x\lt0\), donc \(-x\gt0\). Comme :
\[ \bigl(\ln(-x)\bigr)'=\frac1x, \]on obtient :
\[ \int -\frac1x\,dx = -\ln(-x)+C. \]
\[\boxed{F(x)=-\ln(-x)+C\qquad(C\in\mathbb R)}\]
3
Fonction 3
\[
f(x)=\frac1{x+2},
\qquad
I=]-2,+\infty[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(x+2\gt0\). Ainsi :
\[ \int\frac1{x+2}\,dx = \ln(x+2)+C. \]
\[\boxed{F(x)=\ln(x+2)+C\qquad(C\in\mathbb R)}\]
4
Fonction 4
\[
f(x)=\frac{3x-5}{2x+1},
\qquad
I=[0,+\infty[.
\]
Correction
On décompose le numérateur :
\[ 3x-5 = \frac32(2x+1)-\frac{13}{2}. \]Donc :
\[ \frac{3x-5}{2x+1} = \frac32-\frac{13}{2(2x+1)}. \]Sur \(I\), on a \(2x+1\gt0\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac{3x-5}{2x+1}\,dx &= \frac32x -\frac{13}{2}\int\frac1{2x+1}\,dx\\ &= \frac32x -\frac{13}{4}\ln(2x+1)+C. \end{aligned} \]
\[\boxed{F(x)=\frac32x-\frac{13}{4}\ln(2x+1)+C}\]
5
Fonction 5
\[
f(x)=\frac{2x}{4+x^2},
\qquad
I=\mathbb R.
\]
Correction
On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}u\) avec :
\[ u(x)=x^2+4 \qquad\text{et}\qquad u'(x)=2x. \]Comme \(x^2+4\gt0\) pour tout réel \(x\) :
\[ \int\frac{2x}{x^2+4}\,dx = \ln(x^2+4)+C. \]
\[\boxed{F(x)=\ln(x^2+4)+C\qquad(C\in\mathbb R)}\]
6
Fonction 6
\[
f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+4},
\qquad
I=\mathbb R.
\]
Correction
On pose :
\[ u(x)=x^2+x+4. \]Alors :
\[ u'(x)=2x+1. \]De plus :
\[ x^2+x+4 = \left(x+\frac12\right)^2+\frac{15}{4} \gt0. \]Ainsi :
\[ \int\frac{2x+1}{x^2+x+4}\,dx = \ln(x^2+x+4)+C. \]
\[\boxed{F(x)=\ln(x^2+x+4)+C\qquad(C\in\mathbb R)}\]
7
Fonction 7
\[
f(x)=\frac1{x-2}+\frac1{x-5},
\qquad
I=]2,5[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a :
\[ x-2\gt0 \qquad\text{et}\qquad 5-x\gt0. \]Or :
\[ \left(\ln(x-2)\right)'=\frac1{x-2} \]et :
\[ \left(\ln(5-x)\right)' = -\frac1{5-x} = \frac1{x-5}. \]Donc :
\[ \int f(x)\,dx = \ln(x-2)+\ln(5-x)+C. \]
\[
\boxed{
F(x)=\ln\bigl((x-2)(5-x)\bigr)+C
\qquad(C\in\mathbb R)
}
\]
8
Fonction 8
\[
f(x)=\frac{2x^3+x^2+x-7}{x},
\qquad
I=]-\infty,0[.
\]
Correction
Pour \(x\neq0\), on simplifie :
\[ f(x) = 2x^2+x+1-\frac7x. \]Sur \(I\), on a \(-x\gt0\), et :
\[ \bigl(\ln(-x)\bigr)'=\frac1x. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \frac23x^3+\frac12x^2+x-7\ln(-x)+C. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
F(x)=\frac23x^3+\frac12x^2+x-7\ln(-x)+C
}
\]
Exercice 19 Déterminer les primitives de la fonction \(g\)
Énoncé
Pour chacun des sept cas proposés, déterminer les primitives
de la fonction \(g\) sur l’intervalle \(I\) indiqué.
1
Fonction 1
\[
g(x)=x^2-2+\frac4{5x+1},
\qquad
I=[0,+\infty[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(5x+1\gt0\). Alors :
\[ \begin{aligned} \int g(x)\,dx &= \int x^2\,dx -2\int dx +4\int\frac1{5x+1}\,dx\\ &= \frac{x^3}{3}-2x+\frac45\ln(5x+1)+C. \end{aligned} \]
\[\boxed{G(x)=\frac{x^3}{3}-2x+\frac45\ln(5x+1)+C}\]
2
Fonction 2
\[
g(x)=\frac{\ln x}{x}+\frac1{x\ln x},
\qquad
I=]1,+\infty[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(\ln x\gt0\). D’une part :
\[ \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac12(\ln x)^2. \]D’autre part :
\[ \int\frac1{x\ln x}\,dx = \ln(\ln x). \]Donc :
\[\boxed{G(x)=\frac12(\ln x)^2+\ln(\ln x)+C}\]
3
Fonction 3
\[
g(x)=\frac5{x\sqrt{1-\ln x}},
\qquad
I=]0,e[.
\]
Correction
Posons :
\[ u=1-\ln x. \]Alors :
\[ du=-\frac{dx}{x}. \]Sur \(I\), on a \(u\gt0\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac5{x\sqrt{1-\ln x}}\,dx &= -5\int u^{-1/2}\,du\\ &= -10\sqrt{u}+C. \end{aligned} \]En revenant à \(x\) :
\[\boxed{G(x)=-10\sqrt{1-\ln x}+C}\]
4
Fonction 4
\[
g(x)=\tan x,
\qquad
I=\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(\cos x\gt0\). De plus :
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. \]Comme :
\[ (\cos x)'=-\sin x, \]on obtient :
\[ \int\tan x\,dx = -\ln(\cos x)+C. \]
\[\boxed{G(x)=-\ln(\cos x)+C\qquad(C\in\mathbb R)}\]
5
Fonction 5
\[
g(x)=\frac1{(1+x^2)\arctan x},
\qquad
I=]0,+\infty[.
\]
Correction
Posons :
\[ u=\arctan x. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{1+x^2}. \]Sur \(I\), on a \(\arctan x\gt0\). Donc :
\[ \int\frac1{(1+x^2)\arctan x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln u+C. \]En revenant à \(x\) :
\[\boxed{G(x)=\ln(\arctan x)+C}\]
6
Fonction 6
\[
g(x)=\frac1{\sin(2x)},
\qquad
I=\left]0,\frac{\pi}{2}\right[.
\]
Correction
Sur \(I\), on a \(\tan x\gt0\). Or :
\[ \left(\ln(\tan x)\right)' = \frac{\tan'(x)}{\tan x} = \frac{1/\cos^2x}{\sin x/\cos x} = \frac1{\sin x\cos x}. \]Comme :
\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x, \]on en déduit :
\[ \frac1{\sin(2x)} = \frac12\left(\ln(\tan x)\right)'. \]
\[\boxed{G(x)=\frac12\ln(\tan x)+C}\]
7
Fonction 7
\[
g(x)=\frac1{x+\sqrt{x}},
\qquad
I=]0,+\infty[.
\]
Correction
Posons :
\[ t=\sqrt{x}. \]Alors :
\[ x=t^2 \qquad\text{et}\qquad dx=2t\,dt. \]De plus :
\[ x+\sqrt{x} = t^2+t = t(t+1). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int\frac{dx}{x+\sqrt{x}} &= \int\frac{2t\,dt}{t(t+1)}\\ &= 2\int\frac{dt}{t+1}\\ &= 2\ln(t+1)+C. \end{aligned} \]En revenant à \(x\) :
\[\boxed{G(x)=2\ln(1+\sqrt{x})+C}\]
Méthodes à retenir
- Identifier les formes \(\dfrac{u'}u\) avant tout calcul.
- Utiliser l’intervalle donné pour déterminer le signe de l’expression placée dans le logarithme.
- Une primitive de \(\dfrac1{x-a}\) est \(\ln|x-a|\).
- Un changement de variable simple permet de traiter les expressions contenant \(\sqrt{x}\), \(\ln x\) ou \(\arctan x\).
- Toutes les primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante réelle.
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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