Correction de l’exercice 20
Étude complète d’une fonction logarithmique — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice 20 du chapitre Logarithme népérien : domaine, continuité, limites, dérivabilité, variations, branches infinies et construction de la courbe.
Exercice 20 Étudier et représenter la fonction
La fonction est définie par :
\[ f(x)= \begin{cases} x^2\left(1-\dfrac2{\ln x}\right), & x\gt0,\ x\neq1,\\[2mm] 0,&x=0. \end{cases} \]Pour la première expression, il faut \(x\gt0\) et \(\ln x\neq0\), donc \(x\neq1\). Comme \(f(0)\) est donné, on obtient :
\[ D_f=[0,1[\cup]1,+\infty[. \]Étudions maintenant la limite à droite en \(0\). Pour \(0\lt x\le e^{-1}\), on a \(|\ln x|\ge1\), donc :
\[ \left|\frac{x^2}{\ln x}\right| \le x^2. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{x^2}{\ln x}=0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+} x^2\left(1-\frac2{\ln x}\right) =0=f(0). \]La fonction \(f\) est donc continue à droite en \(0\).
Au voisinage de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]Au voisinage de \(1\) à gauche :
\[ \ln x\to0^-, \qquad -\frac2{\ln x}\to+\infty. \]Comme \(x^2\to1\), on obtient :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty. \]Au voisinage de \(1\) à droite :
\[ \ln x\to0^+, \qquad -\frac2{\ln x}\to-\infty, \]d’où :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Au voisinage de \(+\infty\) :
\[ 1-\frac2{\ln x}\to1 \quad\text{et}\quad x^2\to+\infty. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Le taux d’accroissement à droite en \(0\) est :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = x\left(1-\frac2{\ln x}\right). \]Pour \(0\lt x\le e^{-1}\), on a :
\[ \left|\frac{x}{\ln x}\right| \le x. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{x}{\ln x}=0. \]Il en résulte :
\[ \lim_{x\to0^+} x\left(1-\frac2{\ln x}\right)=0. \]Ainsi, \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et :
\[ f'_d(0)=0. \]Graphiquement, la courbe admet en \(O(0,0)\) une demi-tangente horizontale d’équation \(y=0\).
Pour \(x\gt0\) et \(x\neq1\) :
\[ f(x)=x^2-\frac{2x^2}{\ln x}. \]On calcule :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x-\frac{4x}{\ln x} +\frac{2x}{(\ln x)^2}\\ &= 2x\left( 1-\frac2{\ln x} +\frac1{(\ln x)^2} \right)\\ &= \frac{2x(\ln x-1)^2}{(\ln x)^2}. \end{aligned} \]Comme \(x\gt0\) et \((\ln x)^2\gt0\), on a :
\[ f'(x)\ge0. \]De plus :
\[ f'(x)=0 \iff \ln x=1 \iff x=e. \]La fonction est donc strictement croissante sur \([0,1[\) et sur \(]1,+\infty[\), avec une tangente horizontale au point d’abscisse \(e\).
Les valeurs utiles sont :
\[ f(e)=-e^2 \qquad\text{et}\qquad f(e^2)=0. \]| \(x\) | \(0\) | \(1^-\) | \(\Vert\) | \(1^+\) | \(e\) | \(e^2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(\Vert\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow+\infty\) | \(\Vert\) | \(-\infty\) | \(\nearrow -e^2\) | \(\nearrow 0\) | \(\nearrow+\infty\) |
Comme :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty, \]la droite :
\[ x=1 \]est une asymptote verticale.
Au voisinage de \(+\infty\) :
\[ \frac{f(x)}x = x\left(1-\frac2{\ln x}\right) \longrightarrow+\infty. \]La courbe admet donc une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées. De plus :
\[ \frac{f(x)}{x^2} = 1-\frac2{\ln x} \longrightarrow1. \]Comparons maintenant la courbe à la parabole \(y=x^2\) :
\[ f(x)-x^2 = -\frac{2x^2}{\ln x}. \]Ainsi :
\[ f(x)\gt x^2 \quad\text{pour }0\lt x\lt1, \]et :
\[ f(x)\lt x^2 \quad\text{pour }x\gt1. \]Enfin, les intersections avec l’axe des abscisses sont données par :
\[ f(x)=0 \iff x=0 \quad\text{ou}\quad \ln x=2. \]Donc la courbe coupe l’axe des abscisses en :
\[ O(0,0) \qquad\text{et}\qquad A(e^2,0). \]Pour préciser la forme de la courbe, on peut calculer :
\[ f''(x) = \frac{ 2(\ln x-1)\bigl((\ln x)^2-\ln x+2\bigr) }{ (\ln x)^3 }. \]Or :
\[ (\ln x)^2-\ln x+2\gt0. \]La courbe est donc convexe sur \(]0,1[\), concave sur \(]1,e[\), puis convexe sur \(]e,+\infty[\). Le point :
\[ E(e,-e^2) \]est un point d’inflexion à tangente horizontale.
Méthodes à retenir
- Vérifier séparément la continuité et la dérivabilité à une borne ajoutée au domaine.
- Factoriser la dérivée pour en lire immédiatement le signe.
- Une limite infinie au voisinage d’une valeur interdite donne une asymptote verticale.
- Lorsque \(\dfrac{f(x)}x\to+\infty\), la courbe possède une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
- Comparer \(f(x)\) à une fonction simple aide à construire précisément la courbe.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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