Correction de l’exercice 20 — Étude complète d’une fonction logarithmique
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Cet exercice propose une étude complète d’une fonction définie par morceaux, avec une valeur ajoutée en \(0\). Il réunit plusieurs étapes classiques du programme de 2e Bac Sciences Mathématiques : domaine de définition, continuité à droite, limites aux bornes du domaine, dérivabilité en une borne, calcul et signe de la dérivée, variations, branches infinies et construction graphique. La difficulté principale consiste à ne pas traiter séparément ces questions comme de simples calculs : chaque résultat prépare le suivant. La limite en \(0\) justifie la continuité, le taux d’accroissement donne la demi-tangente, les limites en \(1\) déterminent l’asymptote verticale et le signe de la dérivée organise toute la courbe. La correction historique est conservée ; les explications ajoutées servent à rendre explicite cette progression.
Pour une expression contenant \(\ln x\), on commence par imposer \(x\gt0\). Si \(\ln x\) apparaît au dénominateur, il faut aussi \(\ln x\neq0\), donc \(x\neq1\). Pour étudier une valeur ajoutée en une borne, on compare ensuite la limite de la branche correspondante avec la valeur donnée. La dérivée logarithmique utilisée dans la suite repose sur \((\ln x)'=1/x\) pour \(x\gt0\).
On détermine d’abord exactement le domaine. On étudie ensuite les limites aux points qui séparent les différentes branches, puis la dérivabilité en \(0\). Une fois la dérivée factorisée, son signe devient lisible et permet de dresser le tableau de variations. Les limites et les variations sont enfin réunies pour identifier l’asymptote, les points remarquables et la position de la courbe par rapport à la parabole \(y=x^2\). La dérivée seconde utilisée dans la dernière question affine seulement la construction graphique ; elle ne remplace pas les résultats déjà obtenus.
Exercice 20 — Étudier et représenter la fonction
On considère la fonction :
\[ f(x)= \begin{cases} x^2\left(1-\dfrac2{\ln x}\right), & x\gt0,\ x\neq1,\\[2mm] 0,&x=0. \end{cases} \]Déterminer son domaine, calculer ses limites, dresser son tableau de variations, étudier ses branches infinies et construire sa courbe représentative.
1. Domaine et continuité à droite en \(0\)
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Pour la branche logarithmique, deux conditions doivent être vérifiées : \(x\gt0\) pour que \(\ln x\) existe et \(\ln x\neq0\) puisqu’il apparaît au dénominateur. La valeur \(x=0\) est toutefois ajoutée séparément par la définition de la fonction.
La fonction est définie par :
\[ f(x)= \begin{cases} x^2\left(1-\dfrac2{\ln x}\right), & x\gt0,\ x\neq1,\\[2mm] 0,&x=0. \end{cases} \]Pour la première expression, il faut \(x\gt0\) et \(\ln x\neq0\), donc \(x\neq1\). Comme \(f(0)\) est donné, on obtient :
\[ D_f=[0,1[\cup]1,+\infty[. \]Il faut maintenant vérifier que la branche définie pour \(x\gt0\) rejoint bien la valeur \(f(0)=0\). La correction utilise un encadrement élémentaire.
Étudions maintenant la limite à droite en \(0\). Pour \(0\lt x\le e^{-1}\), on a \(|\ln x|\ge1\), donc :
\[ \left|\frac{x^2}{\ln x}\right| \le x^2. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{x^2}{\ln x}=0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+} x^2\left(1-\frac2{\ln x}\right) =0=f(0). \]La fonction \(f\) est donc continue à droite en \(0\).
2. Limites aux bornes du domaine
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Les bornes à examiner sont \(0\), \(1\) à gauche, \(1\) à droite et \(+\infty\). Le point \(1\) est interdit parce que \(\ln1=0\) : les deux limites latérales doivent donc être distinguées.
Au voisinage de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]Au voisinage de \(1\) à gauche :
\[ \ln x\to0^-, \qquad -\frac2{\ln x}\to+\infty. \]Comme \(x^2\to1\), on obtient :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty. \]Au voisinage de \(1\) à droite :
\[ \ln x\to0^+, \qquad -\frac2{\ln x}\to-\infty, \]d’où :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Au voisinage de \(+\infty\) :
\[ 1-\frac2{\ln x}\to1 \quad\text{et}\quad x^2\to+\infty. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Dérivabilité à droite en \(0\)
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Comme \(0\) est une borne du domaine, on utilise le taux d’accroissement à droite. Sa limite, lorsqu’elle est finie, donne le nombre dérivé à droite.
Le taux d’accroissement à droite en \(0\) est :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = x\left(1-\frac2{\ln x}\right). \]Pour \(0\lt x\le e^{-1}\), on a :
\[ \left|\frac{x}{\ln x}\right| \le x. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{x}{\ln x}=0. \]Il en résulte :
\[ \lim_{x\to0^+} x\left(1-\frac2{\ln x}\right)=0. \]Ainsi, \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et :
\[ f'_d(0)=0. \]Graphiquement, la courbe admet en \(O(0,0)\) une demi-tangente horizontale d’équation \(y=0\).
4. Dérivée et variations
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Sur \(]0,1[\cup]1,+\infty[\), la fonction est dérivable. La correction réécrit d’abord \(f\), puis factorise le résultat obtenu. Cette factorisation permet de lire directement le signe de la dérivée.
Pour \(x\gt0\) et \(x\neq1\) :
\[ f(x)=x^2-\frac{2x^2}{\ln x}. \]On calcule :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x-\frac{4x}{\ln x} +\frac{2x}{(\ln x)^2}\\ &= 2x\left( 1-\frac2{\ln x} +\frac1{(\ln x)^2} \right)\\ &= \frac{2x(\ln x-1)^2}{(\ln x)^2}. \end{aligned} \]Comme \(x\gt0\) et \((\ln x)^2\gt0\), on a :
\[ f'(x)\ge0. \]De plus :
\[ f'(x)=0 \iff \ln x=1 \iff x=e. \]La fonction est donc strictement croissante sur \([0,1[\) et sur \(]1,+\infty[\), avec une tangente horizontale au point d’abscisse \(e\).
Les valeurs utiles sont :
\[ f(e)=-e^2 \qquad\text{et}\qquad f(e^2)=0. \]| \(x\) | \(0\) | \(1^-\) | \(\Vert\) | \(1^+\) | \(e\) | \(e^2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(\Vert\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow+\infty\) | \(\Vert\) | \(-\infty\) | \(\nearrow -e^2\) | \(\nearrow 0\) | \(\nearrow+\infty\) |
5. Branches infinies et éléments de construction
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On exploite maintenant les limites déjà obtenues. Les limites infinies en \(1\) fournissent immédiatement l’asymptote verticale. À \(+\infty\), le quotient \(f(x)/x\) renseigne sur la direction de la branche infinie, puis la comparaison avec \(x^2\) permet de mieux placer la courbe.
Comme :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty, \]la droite :
\[ x=1 \]est une asymptote verticale.
Au voisinage de \(+\infty\) :
\[ \frac{f(x)}x = x\left(1-\frac2{\ln x}\right) \longrightarrow+\infty. \]La courbe admet donc une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées. De plus :
\[ \frac{f(x)}{x^2} = 1-\frac2{\ln x} \longrightarrow1. \]Comparons maintenant la courbe à la parabole \(y=x^2\) :
\[ f(x)-x^2 = -\frac{2x^2}{\ln x}. \]Ainsi :
\[ f(x)\gt x^2 \quad\text{pour }0\lt x\lt1, \]et :
\[ f(x)\lt x^2 \quad\text{pour }x\gt1. \]Enfin, les intersections avec l’axe des abscisses sont données par :
\[ f(x)=0 \iff x=0 \quad\text{ou}\quad \ln x=2. \]Donc la courbe coupe l’axe des abscisses en :
\[ O(0,0) \qquad\text{et}\qquad A(e^2,0). \]6. Construction de la courbe
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Les résultats précédents permettent déjà de placer les deux branches, l’asymptote et les points remarquables. La correction historique affine ensuite la forme de la courbe par l’étude de \(f''\). Le facteur quadratique qui apparaît est toujours positif ; le signe de \(f''\) est donc déterminé par les autres facteurs.
Pour préciser la forme de la courbe, on peut calculer :
\[ f''(x) = \frac{ 2(\ln x-1)\bigl((\ln x)^2-\ln x+2\bigr) }{ (\ln x)^3 }. \]Or :
\[ (\ln x)^2-\ln x+2\gt0. \]La courbe est donc convexe sur \(]0,1[\), concave sur \(]1,e[\), puis convexe sur \(]e,+\infty[\). Le point :
\[ E(e,-e^2) \]est un point d’inflexion à tangente horizontale.
À retenir
Pour une fonction logarithmique définie par morceaux, il faut vérifier séparément la continuité et la dérivabilité à la borne ajoutée au domaine. Une dérivée bien factorisée permet de lire rapidement son signe et d’organiser le tableau de variations. Une limite infinie au voisinage d’une valeur interdite conduit à une asymptote verticale. Lorsque \(\frac{f(x)}x\to+\infty\), la correction identifie ici une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées. Enfin, comparer \(f(x)\) à une fonction simple comme \(x^2\), puis utiliser les points remarquables et la convexité, permet de construire une courbe cohérente avec toute l’étude analytique.
Correction des exercices 18 et 19 · Correction de l’exercice 17 · Exercices résolus — Al Moufid
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