Correction des exercices 24 à 26 — Logarithme népérien
Étude de fonctions logarithmiques · Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 24 à 26 prolongent l’étude des fonctions logarithmiques en combinant plusieurs outils du programme : domaine de définition, dérivation, variations, continuité, dérivabilité, tangentes, position relative et branches infinies. La difficulté principale consiste à ne jamais séparer les calculs des conditions qui les rendent valides. Dans l’exercice 24, la présence d’une racine au dénominateur impose une condition stricte avant toute dérivation. L’exercice 25 demande de raccorder deux expressions d’une même fonction et de distinguer soigneusement continuité, dérivabilité et tangente verticale. Enfin, l’exercice 26 transforme l’étude des variations d’une fonction auxiliaire en une comparaison globale entre \(\ln x\) et \(x^n\). Les calculs, résultats et figures de la correction existante sont conservés ; les ajouts servent uniquement à expliciter les règles utilisées, leurs conditions d’application et la signification des conclusions.
Dans tout le bloc, on commence par le domaine de définition. Un logarithme impose un argument strictement positif. Une racine carrée impose un radicand positif ou nul, mais lorsqu’elle se trouve au dénominateur, ce radicand doit être strictement positif.
Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on détermine le signe de sa dérivée sur chaque intervalle de son domaine. Pour une fonction définie par morceaux, les limites et les taux d’accroissement doivent être étudiés séparément de chaque côté du point de raccordement.
Domaine → limites utiles → dérivée → signe de la dérivée → variations → informations géométriques. Lorsqu’une conclusion globale est demandée, comme dans l’exercice 26, on exploite ensuite le minimum obtenu.
Exercice 24 — Étude de \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2-\ln^2x}}\)
1) Déterminer \(D_f\).
2) Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
3) Déterminer la tangente à \(\mathcal C\) au point d’abscisse \(e\).
4) Étudier la position relative de \(\mathcal C\) et de \(\Delta:y=x\).
5) Construire \(\mathcal C\).
1. Domaine de définition
Une racine carrée au dénominateur impose deux contraintes simultanées : le logarithme doit exister, donc \(x\gt0\), et le radicand doit être strictement positif afin que le dénominateur ne s’annule pas.
Afficher la correction
Il faut avoir \(x\gt0\) et le dénominateur strictement positif :
\[ 2-\ln^2x\gt0. \]Cette condition équivaut à :
\[ -\sqrt2\lt\ln x\lt\sqrt2. \]Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante :
\[ e^{-\sqrt2}\lt x\lt e^{\sqrt2}. \]On transforme l’inégalité portant sur \(\ln x\). La stricte croissance de \(\ln\) permet de revenir à une condition équivalente sur \(x\).
2. Dérivée et variations
Sur le domaine obtenu à la question précédente, le dénominateur \((2-\ln^2x)^{3/2}\) est strictement positif. Après dérivation, le signe de \(f'\) dépend donc uniquement du numérateur factorisé.
Afficher la correction
Pour tout \(x\in D_f\) :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac1{\sqrt{2-\ln^2x}} + \frac{\ln x}{(2-\ln^2x)^{3/2}} \\ &= \frac{2+\ln x-\ln^2x}{(2-\ln^2x)^{3/2}} \\ &= \frac{(2-\ln x)(1+\ln x)}{(2-\ln^2x)^{3/2}}. \end{aligned} \]Sur \(D_f\), on a \(\ln x\lt\sqrt2\lt2\), donc \(2-\ln x\gt0\). Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(1+\ln x\).
\[ 1+\ln x=0 \iff x=e^{-1}. \]Aux bornes du domaine :
\[ \lim_{x\to\left(e^{-\sqrt2}\right)^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to\left(e^{\sqrt2}\right)^-}f(x)=+\infty. \]Au point critique :
\[ f(e^{-1})=\frac1e. \]Sur \(]e^{-\sqrt2},e^{-1}[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(\dfrac1e\).
En \(x=e^{-1}\), on a \(f'(e^{-1})=0\) et \(f(e^{-1})=\dfrac1e\).
Sur \(]e^{-1},e^{\sqrt2}[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(\dfrac1e\) vers \(+\infty\).
Le point critique \(x=e^{-1}\) sépare les deux sens de variation. Les limites aux deux bornes du domaine complètent l’étude et mettent en évidence un minimum.
3. Tangente au point d’abscisse \(e\)
Pour écrire l’équation d’une tangente au point d’abscisse \(a\), on utilise \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Ici, il suffit donc de calculer \(f(e)\) et \(f'(e)\), puisque \(e\in D_f\).
Afficher la correction
On a :
\[ f(e)=e, \qquad f'(e)=\frac{2+1-1}{(2-1)^{3/2}}=2. \]L’équation de la tangente est :
\[ y=f'(e)(x-e)+f(e). \]4. Position relative à la droite \(\Delta:y=x\)
Comparer \(\mathcal C\) à la droite \(\Delta:y=x\) revient à étudier le signe de \(f(x)-x\). Sur \(D_f\), les facteurs \(x\) et le dénominateur obtenus sont strictement positifs ; le signe se ramène alors à celui de \(\ln^2x-1\).
Afficher la correction
Pour tout \(x\in D_f\) :
\[ \begin{aligned} f(x)-x &= x\left(\frac1{\sqrt{2-\ln^2x}}-1\right) \\ &= \frac{x(\ln^2x-1)} {\sqrt{2-\ln^2x}\left(1+\sqrt{2-\ln^2x}\right)}. \end{aligned} \]Le dénominateur est strictement positif et \(x\gt0\). Le signe de \(f(x)-x\) est donc celui de \(\ln^2x-1\).
\[ f(x)=x \iff x=e^{-1} \ \text{ou}\ x=e. \] \[ f(x)\gt x \quad\text{sur}\quad ]e^{-\sqrt2},e^{-1}[ \cup ]e,e^{\sqrt2}[, \] \[ f(x)\lt x \quad\text{sur}\quad ]e^{-1},e[. \]5. Construction de la courbe
La construction doit rassembler les informations déjà établies : domaine, asymptotes verticales, minimum, intersections avec \(\Delta\) et tangente en \(x=e\). Aucun nouvel outil de calcul n’est nécessaire.
Afficher la correction
Asymptotes verticales : \(x=e^{-\sqrt2}\) et \(x=e^{\sqrt2}\).
Minimum : \(M\left(e^{-1},e^{-1}\right)\).
Intersections avec \(\Delta:y=x\) aux abscisses \(e^{-1}\) et \(e\).
Tangente en \(A(e,e)\) : \(y=2x-e\).
Schéma de construction : asymptotes verticales \(x=e^{-\sqrt2}\) et \(x=e^{\sqrt2}\), minimum \(\left(e^{-1},e^{-1}\right)\), intersections avec \(\Delta:y=x\) aux abscisses \(e^{-1}\) et \(e\), et tangente \(T:y=2x-e\).
Exercice 25 — Étude d’une fonction définie par morceaux
2) Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(1\).
3) Étudier les variations de \(f\).
4) Étudier la branche infinie au voisinage de \(+\infty\).
5) Construire \(\mathcal C\).
1. Continuité et dérivabilité à droite de \(0\)
Au voisinage de \(0\), seule la branche \(x^2\sqrt{-\ln x}\) intervient. Pour la continuité à droite, on compare la limite à \(f(0)\). Pour la dérivabilité à droite, on étudie le taux d’accroissement \(\frac{f(x)-f(0)}{x}\).
Afficher la correction
Pour \(0\lt x\le1\), la quantité \(x^2\sqrt{-\ln x}\) est positive. De plus :
\[ \left(x^2\sqrt{-\ln x}\right)^2=-x^4\ln x. \]Or \(\lim_{x\to0^+}x^4\ln x=0\). Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}x^2\sqrt{-\ln x}=0=f(0). \]Ainsi, \(f\) est continue à droite de \(0\).
Pour la dérivabilité à droite :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x=x\sqrt{-\ln x}. \]Comme \(\left(x\sqrt{-\ln x}\right)^2=-x^2\ln x\to0\), on obtient :
\[ f'_d(0)=0. \]La mise au carré est utilisée ici sur des quantités positives afin de ramener les limites à des formes usuelles du chapitre.
2. Continuité et dérivabilité au point de raccordement
Le point \(x=1\) est le point de raccordement des deux expressions. Il faut donc comparer les limites à gauche et à droite, puis étudier séparément les deux taux d’accroissement.
Afficher la correction
On a :
\[ f(1)=1^2\sqrt{-\ln1}=0. \]À gauche de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^-}x^2\sqrt{-\ln x}=0. \]À droite de \(1\), en posant \(t=x-1\) :
\[ \lim_{x\to1^+}(x-1)\ln(x-1) = \lim_{t\to0^+}t\ln t = 0. \]Donc \(f\) est continue en \(1\).
Pour \(0\lt x\lt1\) :
\[ f'(x) = 2x\sqrt{-\ln x} - \frac{x}{2\sqrt{-\ln x}} = \frac{x(-4\ln x-1)}{2\sqrt{-\ln x}}. \]Lorsque \(x\to1^-\), on a \(f'(x)\to-\infty\).
À droite :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \ln(x-1) \to-\infty. \]La fonction n’est pas dérivable en \(1\) au sens usuel, mais la courbe admet au point \(I(1,0)\) une tangente verticale d’équation \(x=1\).
Les taux d’accroissement tendent vers \(-\infty\) des deux côtés : cela ne donne pas une dérivée réelle en \(1\), mais caractérise une tangente verticale.
3. Variations de la fonction \(f\)
L’étude des variations doit être menée séparément sur \(]0,1[\) et sur \(]1,+\infty[\), car l’expression de \(f\) change en \(1\). On factorise ou on simplifie chaque dérivée pour repérer les changements de signe.
Afficher la correction
Sur \(]0,1[\) :
\[ f'(x)=\frac{x(-4\ln x-1)}{2\sqrt{-\ln x}}. \]Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-4\ln x-1\). Ainsi :
\[ f'(x)=0 \iff x=e^{-1/4}. \]Et :
\[ f(e^{-1/4})=\frac1{2\sqrt e}. \]Sur \(]0,e^{-1/4}[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(\dfrac1{2\sqrt e}\).
En \(x=e^{-1/4}\), on a \(f'(x)=0\) et \(f(x)=\dfrac1{2\sqrt e}\).
Sur \(]e^{-1/4},1[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(\dfrac1{2\sqrt e}\) vers \(0\).
Sur \(]1,+\infty[\) :
\[ f'(x)=\ln(x-1)+1. \] \[ f'(x)=0 \iff x=1+\frac1e. \]Et :
\[ f\left(1+\frac1e\right)=-\frac1e. \]Sur \(]1,1+\dfrac1e[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(0\) vers \(-\dfrac1e\).
En \(x=1+\dfrac1e\), on a \(f'(x)=0\) et \(f(x)=-\dfrac1e\).
Sur \(]1+\dfrac1e,+\infty[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(-\dfrac1e\) vers \(+\infty\).
La continuité en \(1\) permet ensuite de raccorder les deux descriptions de variation.
4. Branche infinie au voisinage de \(+\infty\)
Pour identifier la branche infinie, on étudie d’abord la limite de \(f(x)\), puis le quotient \(\frac{f(x)}x\). Le comportement de ce quotient permet de préciser la direction de la branche.
Afficher la correction
Pour \(x\gt1\) :
\[ f(x)=(x-1)\ln(x-1). \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ f(x)\to+\infty. \]De plus :
\[ \frac{f(x)}x = \left(1-\frac1x\right)\ln(x-1) \longrightarrow+\infty. \]5. Construction de la courbe
La construction synthétise les résultats précédents : demi-tangente en \(O\), maximum sur la première branche, tangente verticale au point de raccordement, minimum sur la seconde branche et comportement à l’infini.
Afficher la correction
La courbe passe par \(O(0,0)\) et y admet une demi-tangente horizontale.
Maximum : \(A\left(e^{-1/4},\dfrac1{2\sqrt e}\right)\).
Au point \(I(1,0)\), elle admet la tangente verticale \(x=1\).
Minimum : \(B\left(1+\dfrac1e,-\dfrac1e\right)\), puis intersection avec l’axe des abscisses en \((2,0)\).
Points utiles : \(O(0,0)\), \(A\left(e^{-1/4},\dfrac1{2\sqrt e}\right)\), \(I(1,0)\), \(B\left(1+\dfrac1e,-\dfrac1e\right)\) et \((2,0)\). La courbe possède une demi-tangente horizontale en \(O\) et une tangente verticale en \(I\).
Exercice 26 — Comparaison de \(\ln x\) et \(x^n\)
1) Étudier les variations de \(f(x)=x^n-\ln x\) sur \(\mathbb R_+^*\).
2) En déduire que \(\forall x\in\mathbb R_+^*,\ \ln x\ne x^n\).
1. Variations de \(f(x)=x^n-\ln x\)
La fonction \(f(x)=x^n-\ln x\) est étudiée sur \(\mathbb R_+^*\). Comme \(x\gt0\), le signe de la dérivée est celui de \(nx^n-1\). L’unique point critique fournit le minimum global.
Afficher la correction
Pour tout \(x\gt0\) :
\[ f'(x) = nx^{n-1} - \frac1x = \frac{nx^n-1}{x}. \]Comme \(x\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(nx^n-1\).
\[ nx^n-1=0 \iff x=n^{-1/n}. \]De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Au point critique :
\[ f\left(n^{-1/n}\right) = \frac{1+\ln n}{n}. \]Sur \(]0,n^{-1/n}[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(\dfrac{1+\ln n}{n}\).
En \(x=n^{-1/n}\), on a \(f'(x)=0\) et \(f(x)=\dfrac{1+\ln n}{n}\).
Sur \(]n^{-1/n},+\infty[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(\dfrac{1+\ln n}{n}\) vers \(+\infty\).
2. Comparaison de \(\ln x\) et \(x^n\)
La question demande d’exploiter le minimum obtenu, sans résoudre directement l’équation \(\ln x=x^n\). Si ce minimum est strictement positif, alors \(x^n-\ln x\) reste positif sur tout le domaine.
Afficher la correction
Comme \(n\ge1\), on a \(\ln n\ge0\), donc :
\[ \frac{1+\ln n}{n}\gt0. \]D’après la question précédente, pour tout \(x\gt0\) :
\[ f(x) \ge \frac{1+\ln n}{n} \gt0. \]Or \(f(x)=x^n-\ln x\). Ainsi :
\[ x^n-\ln x\gt0. \]À retenir
Ces trois exercices montrent qu’une étude de fonction logarithmique ne se réduit pas au calcul d’une dérivée. Le domaine doit être fixé avant tout calcul, le signe de la dérivée doit être justifié sur le domaine réellement admissible, et les limites donnent le sens géométrique des variations. Pour une fonction définie par morceaux, la continuité et la dérivabilité se contrôlent séparément aux points de raccordement. Enfin, un minimum strictement positif peut fournir directement une inégalité valable pour tout \(x\) du domaine.
1. Une racine placée au dénominateur impose une quantité strictement positive.
2. Les variations sont décrites avec le signe de la dérivée et les valeurs ou limites aux extrémités.
3. Une dérivée unilatérale infinie correspond à une demi-tangente ou une tangente verticale.
4. Lorsque \(\dfrac{f(x)}x\to+\infty\), la courbe possède une branche parabolique de direction \((Oy)\).
5. Le minimum d’une fonction permet d’établir une inégalité valable sur tout le domaine.
Correction des exercices 21 à 23 · Correction de l’exercice 20 · Exercices résolus — Al Moufid
Commentaires
Enregistrer un commentaire