Correction de l’exercice 55 — Fonctions 11 à 14
Exercices de perfectionnement — Études complètes de fonctions
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page traite les fonctions 11 à 14 de l’exercice 55 du manuel Al Moufid. Pour chaque fonction, on détermine le domaine, les limites, la continuité éventuelle au point \(0\), les variations, les branches infinies et les éléments nécessaires à la construction.
Exercice 55 — Partie 3 Étude des fonctions 11 à 14
1. Domaine de définition.
Il faut :
\[ \frac{x-2}{x+1}\gt0. \]Le numérateur et le dénominateur doivent avoir le même signe. Ainsi :
\[ D_f=]-\infty,-1[\cup]2,+\infty[. \]2. Limites aux bornes du domaine.
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]Lorsque \(x\to-1^-\), le quotient tend vers \(+\infty\), donc :
\[ \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty. \]Lorsque \(x\to2^+\), le quotient tend vers \(0^+\), donc :
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\in D_f\) :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= 3+2\left(\frac1{x-2}-\frac1{x+1}\right)\\ &= \frac{3x(x-1)}{(x-2)(x+1)}. \end{aligned} \]Sur chacun des deux intervalles du domaine, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. Ainsi :
\[ f'(x)\gt0. \]Sur \(]-\infty,-1[\), la fonction \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).
Sur \(]2,+\infty[\), la fonction \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).
Elle possède donc un unique zéro sur chacun de ces intervalles :
\[ \alpha\simeq-1{,}41091, \qquad \beta\simeq2{,}12846. \]4. Branches infinies.
Les droites \(x=-1\) et \(x=2\) sont des asymptotes verticales.
De plus :
\[ f(x)-3x = 2\ln\left(\frac{x-2}{x+1}\right) \longrightarrow0 \]lorsque \(x\to\pm\infty\). La droite :
\[ y=3x \]est donc une asymptote oblique aux deux infinis.
Sur \(]-\infty,-1[\), le quotient est supérieur à \(1\), donc la courbe est au-dessus de l’asymptote. Sur \(]2,+\infty[\), le quotient est compris entre \(0\) et \(1\), donc la courbe est au-dessous de l’asymptote.
La courbe C11 possède les asymptotes verticales x = -1 et x = 2, ainsi que l’asymptote oblique y = 3x. Elle coupe l’axe des abscisses en α ≃ -1,41091 et β ≃ 2,12846.
1. Domaine et continuité en \(0\).
\[ D_f=[0,+\infty[. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ x\big(\ln(2x)-1\big)^2\longrightarrow0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=0. \]La fonction est continue à droite en \(0\).
2. Dérivabilité à droite en \(0\).
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \big(\ln(2x)-1\big)^2 \longrightarrow+\infty. \]La fonction n’est pas dérivable à droite en \(0\) au sens usuel. La courbe possède en \(O(0,0)\) une demi-tangente verticale.
3. Limite à \(+\infty\).
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]4. Variations.
Pour \(x\gt0\) :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \big(\ln(2x)-1\big)^2 + 2\big(\ln(2x)-1\big)\\ &= \big(\ln(2x)-1\big)\big(\ln(2x)+1\big). \end{aligned} \]Les deux valeurs critiques sont :
\[ x=\frac1{2e} \qquad\text{et}\qquad x=\frac e2. \]Sur \(]0,\dfrac1{2e}[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(\dfrac2e\).
En \(x=\dfrac1{2e}\), la fonction atteint un maximum : \[ f\left(\frac1{2e}\right)=\frac2e. \]
Sur \(]\dfrac1{2e},\dfrac e2[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(\dfrac2e\) vers \(0\).
En \(x=\dfrac e2\), on a : \[ f\left(\frac e2\right)=0. \]
Sur \(]\dfrac e2,+\infty[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(+\infty\).
5. Branche infinie.
\[ \frac{f(x)}x = \big(\ln(2x)-1\big)^2 \longrightarrow+\infty. \]La courbe possède donc à \(+\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
La courbe C12 part de O(0,0) avec une demi-tangente verticale, atteint le maximum M(1/(2e), 2/e), redescend au point A(e/2,0), puis croît vers +∞.
1. Domaine et continuité en \(0\).
\[ D_f=[0,+\infty[. \]Comme \(x\ln x\to0\) lorsque \(x\to0^+\), on obtient :
\[ \lim_{x\to0^+} (x+1)\big(2x\ln x-x-1\big) = -1 = f(0). \]La fonction est continue à droite en \(0\).
2. Dérivabilité à droite en \(0\).
On développe seulement le quotient utile :
\[ \begin{aligned} \frac{f(x)-f(0)}x &= \frac{ 2x(x+1)\ln x-(x+1)^2+1 }{x}\\ &= 2(x+1)\ln x-x-2. \end{aligned} \]Lorsque \(x\to0^+\), cette expression tend vers \(-\infty\).
La courbe possède donc au point \(A(0,-1)\) une demi-tangente verticale.
3. Limite à \(+\infty\).
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]4. Variations.
Pour \(x\gt0\), en dérivant puis en simplifiant :
\[ f'(x) = 2(2x+1)\ln x. \]Comme \(2x+1\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(\ln x\).
Sur \(]0,1[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(-1\) vers \(-4\).
En \(x=1\), la fonction atteint son minimum : \[ f(1)=-4. \]
Sur \(]1,+\infty[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(-4\) vers \(+\infty\).
L’équation \(f(x)=0\) équivaut, pour \(x\gt0\), à :
\[ 2x\ln x-x-1=0. \]Cette équation admet une unique solution \(\beta\gt1\), avec :
\[ \beta\simeq2{,}09350. \]5. Branche infinie.
\[ \frac{f(x)}x = \left(1+\frac1x\right) \big(2x\ln x-x-1\big) \longrightarrow+\infty. \]La courbe possède donc à \(+\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
La courbe C13 passe par A(0,-1) avec une demi-tangente verticale, décroît jusqu’au minimum M(1,-4), puis croît et coupe l’axe des abscisses en β ≃ 2,09350.
1. Domaine de définition.
Comme \(a\gt0\), le logarithme \(\ln(ax)\) est défini pour \(x\gt0\). Il faut également :
\[ \ln(ax)\ne0 \iff x\ne\frac1a. \]Avec la valeur définie en \(0\), on obtient :
\[ D_f= \left[0,\frac1a\right[ \cup \left]\frac1a,+\infty\right[. \]2. Continuité et dérivabilité à droite en \(0\).
Lorsque \(x\to0^+\) :
\[ \frac{x}{\ln(ax)}\longrightarrow0. \]Donc \(f\) est continue à droite en \(0\).
Le taux d’accroissement à droite vaut :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac1{\ln(ax)} \longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ f'_d(0)=0. \]La courbe possède en \(O(0,0)\) une demi-tangente horizontale.
3. Limites.
\[ \lim_{x\to\frac1a^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\frac1a^+}f(x)=+\infty. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]4. Variations.
Pour \(x\gt0\), \(x\ne\dfrac1a\) :
\[ f'(x) = \frac{\ln(ax)-1}{(\ln(ax))^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Ainsi :
\[ f'(x)=0 \iff \ln(ax)=1 \iff x=\frac ea. \]Sur \(\left[0,\dfrac1a\right[\), \(f'(x)\lt0\) pour \(x\gt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(0\) vers \(-\infty\).
Sur \(\left]\dfrac1a,\dfrac ea\right[\), \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(\dfrac ea\).
En \(x=\dfrac ea\), la fonction atteint son minimum : \[ f\left(\frac ea\right)=\frac ea. \]
Sur \(\left]\dfrac ea,+\infty\right[\), \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(\dfrac ea\) vers \(+\infty\).
5. Branches infinies.
La droite :
\[ x=\frac1a \]est une asymptote verticale.
À \(+\infty\) :
\[ \frac{f(x)}x = \frac1{\ln(ax)} \longrightarrow0 \]et \(f(x)\to+\infty\). La courbe possède donc une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
Schéma qualitatif valable pour tout a > 0 : la courbe passe par O, possède l’asymptote verticale x = 1/a, atteint son minimum M(e/a,e/a), puis croît vers +∞.
Méthodes à retenir
- Le domaine d’un logarithme de quotient se détermine par un tableau de signes préalable.
- Pour une fonction prolongée en \(0\), il faut vérifier séparément la continuité puis le taux d’accroissement à droite.
- Une dérivée peut se simplifier fortement après avoir développé seulement les termes nécessaires.
- Dans une fonction à paramètre, les points remarquables doivent être exprimés en fonction de ce paramètre.
- Les quotients \(f(x)/x\) permettent de déterminer la direction d’une branche parabolique.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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