Correction de l’exercice 56
Fonction logarithmique et suite récurrente
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice de perfectionnement 56 du manuel Al Moufid. L’exercice étudie la fonction \(f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\), puis une suite récurrente qui fournit des approximations successives du nombre \(e\).
Exercice 56 Étude de f et convergence de la suite (vₙ)
1-b) Étudier les variations de \(f\).
2) On définit \(v_0=3\) et \(v_{n+1}=f(v_n)\).
2-a) Montrer que \(v_n\ge e\).
2-b) Étudier la convergence de \((v_n)\).
2-c) Encadrer \(f'(x)\) sur \([e,+\infty[\).
2-d) Majorer \(|v_n-e|\).
2-f) Déterminer un rang assurant une précision de \(10^{-2}\).
Le point \(0\) est une extrémité du domaine. On étudie donc le taux d’accroissement à droite :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{x}{\ln x}}{x} = \frac1{\ln x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \ln x\longrightarrow-\infty, \]donc :
\[ \frac1{\ln x}\longrightarrow0. \]Ainsi, \(f\) est dérivable à droite en \(0\), avec :
\[ f'_d(0)=0. \]Graphiquement, la courbe admet en \(O(0,0)\) une demi-tangente horizontale d’équation \(y=0\).
Pour \(x\gt0\) et \(x\ne1\) :
\[ f(x)=\frac{x}{\ln x}. \]Sa dérivée est :
\[ f'(x) = \frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. \]Comme \((\ln x)^2\gt0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(\ln x-1\).
\[ f'(x)\lt0 \quad\text{si}\quad 0\lt x\lt e,\ x\ne1, \] \[ f'(e)=0, \] \[ f'(x)\gt0 \quad\text{si}\quad x\gt e. \]Les valeurs et limites utiles sont :
\[ f(0)=0, \qquad \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \] \[ \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty, \qquad f(e)=e, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Sur \([0,1[\), la fonction \(f\) est strictement décroissante de \(0\) vers \(-\infty\).
Sur \(]1,e]\), la fonction \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(e\).
Sur \([e,+\infty[\), la fonction \(f\) est strictement croissante de \(e\) vers \(+\infty\).
La droite \(x=1\) est une asymptote verticale.
On procède par récurrence.
Initialisation. On sait que \(e\lt3\). Donc :
\[ v_0=3\gt e. \]Hérédité. Supposons qu’à un rang \(n\), on ait :
\[ v_n\ge e. \]La fonction \(f\) est croissante sur \([e,+\infty[\), et :
\[ f(e)=e. \]Donc :
\[ v_{n+1} = f(v_n) \ge f(e) = e. \]La propriété est donc vraie pour tout entier naturel \(n\).
D’après la question précédente :
\[ v_n\ge e. \]Donc :
\[ \ln(v_n)\ge1. \]Par conséquent :
\[ 0\lt\frac1{\ln(v_n)}\le1. \]En multipliant par \(v_n\gt0\) :
\[ v_{n+1} = \frac{v_n}{\ln(v_n)} \le v_n. \]La suite \((v_n)\) est donc décroissante et minorée par \(e\). Elle est convergente. Notons \(\ell\) sa limite.
\[ \ell\ge e. \]La fonction \(f\) est continue sur \([e,+\infty[\). En passant à la limite dans :
\[ v_{n+1}=f(v_n), \]on obtient :
\[ \ell=\frac{\ell}{\ln\ell}. \]Comme \(\ell\gt0\), on peut diviser par \(\ell\) :
\[ \ln\ell=1. \]Ainsi :
\[ \ell=e. \]Pour \(x\ge e\), on a \(\ln x\ge1\). Or :
\[ f'(x) = \frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. \]Le numérateur est donc positif ou nul, d’où :
\[ f'(x)\ge0. \]Pour la majoration, on écrit :
\[ \frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}\le\frac14. \]Comme \((\ln x)^2\gt0\), cette inégalité équivaut à :
\[ 4(\ln x-1)\le(\ln x)^2. \]Or :
\[ (\ln x)^2-4\ln x+4 = (\ln x-2)^2 \ge0. \]Donc :
\[ 4(\ln x-1)\le(\ln x)^2. \]On sait que \(v_n\ge e\) et \(f(e)=e\).
Si \(v_n=e\), alors \(v_{n+1}=e\) et l’inégalité est immédiate. Sinon, le théorème des accroissements finis appliqué à \(f\) sur \([e,v_n]\) donne un réel \(c_n\in]e,v_n[\) tel que :
\[ f(v_n)-f(e) = f'(c_n)(v_n-e). \]Donc :
\[ |v_{n+1}-e| = |f'(c_n)|\,|v_n-e|. \]Comme \(c_n\ge e\), la question précédente donne :
\[ |f'(c_n)|\le\frac14. \]Ainsi :
\[ |v_{n+1}-e| \le \frac14|v_n-e|. \]En répétant cette inégalité :
\[ |v_n-e| \le \frac1{4^n}|v_0-e|. \]Or \(v_0=3\) et \(2\lt e\lt3\), donc :
\[ 0\lt3-e\lt1. \]Par conséquent :
\[ |v_n-e| \le \frac1{4^n}. \]Pour tout \(n\ge5\) :
\[ |v_n-e| \le \frac1{4^n} \le \frac1{4^5}. \]Or :
\[ 4^5\gt1000. \]Donc :
\[ \frac1{4^5} \lt \frac1{1000} = 10^{-3} \lt 10^{-2}. \]Ainsi, pour tout \(n\ge5\) :
\[ |v_n-e|\lt10^{-2}. \]Le rang \(n_0=5\) convient.
Méthodes à retenir
- À une extrémité du domaine, on utilise le taux d’accroissement du côté où la fonction est définie.
- La stabilité de \([e,+\infty[\) permet de définir correctement tous les termes de la suite.
- Une suite décroissante et minorée est convergente.
- Le théorème des accroissements finis transforme une borne sur \(f'\) en une borne sur l’erreur.
- Une estimation géométrique permet de fixer un rang garantissant la précision demandée.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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