Correction de l’exercice 57
Fonction par morceaux, concavité et fonction réciproque
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice de perfectionnement 57 du manuel Al Moufid. L’exercice porte sur une fonction définie par morceaux, sa continuité, ses variations, sa concavité, sa représentation graphique et la fonction réciproque de sa restriction à \(\mathbb R^-\).
Exercice 57 Étude complète de la fonction f
Limite à gauche.
Lorsque \(x\to0^-\), on a :
\[ \ln(-x)\longrightarrow-\infty. \]Donc :
\[ \operatorname{Arctan}(\ln(-x)) \longrightarrow -\frac{\pi}{2}. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = -\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = 0. \]Limite à droite.
Pour \(x\gt0\) :
\[ f(x) = (x\ln x-x)^2 = x^2(\ln x-1)^2. \]Or :
\[ x\ln x\longrightarrow0 \qquad\text{et}\qquad x\longrightarrow0. \]Donc :
\[ x\ln x-x\longrightarrow0, \]d’où :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]Comme \(f(0)=0\), les deux limites sont égales à \(f(0)\).
Au voisinage de \(-\infty\).
Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(\ln(-x)\to+\infty\). Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x) = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = \pi. \]La droite \(y=\pi\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(-\infty\).
Au voisinage de \(+\infty\).
\[ f(x)=x^2(\ln x-1)^2\longrightarrow+\infty. \]De plus :
\[ \frac{f(x)}x = x(\ln x-1)^2 \longrightarrow+\infty. \]La courbe possède donc au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Au voisinage de \(0^+\).
\[ \frac{f(x)}x = x(\ln x-1)^2. \]En développant seulement cette expression :
\[ x(\ln x-1)^2 = x(\ln x)^2-2x\ln x+x. \]Les trois termes tendent vers \(0\). Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}x=0. \]La courbe admet en \(O(0,0)\) une demi-tangente horizontale à droite.
Au voisinage de \(0^-\).
Posons \(t=-x\), avec \(t\to0^+\). Comme \(\ln t\lt0\), l’identité :
\[ \operatorname{Arctan}(\ln t)+\frac{\pi}{2} = \operatorname{Arctan}\left(-\frac1{\ln t}\right) \]permet d’écrire :
\[ \frac{f(x)}x = - \frac{ \operatorname{Arctan}\left(-\frac1{\ln t}\right) }{ t }. \]Posons :
\[ u=-\frac1{\ln t}. \]Alors \(u\to0^+\), et :
\[ \frac{f(x)}x = - \frac{\operatorname{Arctan}(u)}u \cdot \frac{u}{t}. \]Or :
\[ \frac{\operatorname{Arctan}(u)}u\longrightarrow1 \]et :
\[ \frac{u}{t} = -\frac1{t\ln t} \longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}x=-\infty. \]La courbe admet en \(O\) une demi-tangente verticale à gauche.
Sur \(]-\infty,0[\).
Pour \(x\lt0\) :
\[ f'(x) = \frac1{x\big(1+\ln^2(-x)\big)}. \]Le dénominateur est négatif, donc :
\[ f'(x)\lt0. \]Sur \(]-\infty,0[\), \(f\) est strictement décroissante de \(\pi\) vers \(0\).
Sur \(]0,+\infty[\).
Pour \(x\gt0\) :
\[ f(x)=\big(x\ln x-x\big)^2. \]Donc :
\[ f'(x) = 2x\ln x(\ln x-1). \]Les changements de signe ont lieu en \(x=1\) et en \(x=e\).
Sur \(]0,1[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(1\).
En \(x=1\), la fonction atteint un maximum local : \[ f(1)=1. \]
Sur \(]1,e[\), on a \(f'(x)\lt0\). Donc \(f\) est strictement décroissante de \(1\) vers \(0\).
En \(x=e\), la fonction atteint un minimum : \[ f(e)=0. \]
Sur \(]e,+\infty[\), on a \(f'(x)\gt0\). Donc \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(+\infty\).
Pour \(x\lt0\).
On a :
\[ f'(x) = \frac1{x\big(1+\ln^2(-x)\big)}. \]En dérivant :
\[ \begin{aligned} f''(x) &= -\frac{ 1+\ln^2(-x)+2\ln(-x) }{ x^2\big(1+\ln^2(-x)\big)^2 }\\ &= -\frac{ (1+\ln(-x))^2 }{ x^2\big(1+\ln^2(-x)\big)^2 }. \end{aligned} \]Pour \(x\gt0\).
On a :
\[ f'(x) = 2x\ln x(\ln x-1). \]En dérivant :
\[ \begin{aligned} f''(x) &= 2\left[ \ln x(\ln x-1) + (2\ln x-1) \right]\\ &= 2\big(\ln^2x+\ln x-1\big). \end{aligned} \]Sur \(]-\infty,0[\).
On a :
\[ f''(x)\le0. \]La courbe est donc concave sur \(]-\infty,0[\).
La dérivée seconde s’annule lorsque :
\[ 1+\ln(-x)=0 \iff x=-\frac1e. \]Toutefois, son signe ne change pas en ce point. Il ne s’agit donc pas d’un point d’inflexion.
Sur \(]0,+\infty[\).
Posons :
\[ t=\ln x. \]Le signe de \(f''(x)\) est celui de :
\[ t^2+t-1. \]Les racines de ce trinôme sont :
\[ a=\frac{-1-\sqrt5}{2}, \qquad b=\frac{-1+\sqrt5}{2}. \]Donc :
\[ f''(x)\gt0 \quad\text{sur}\quad ]0,e^a[ \cup ]e^b,+\infty[, \]et :
\[ f''(x)\lt0 \quad\text{sur}\quad ]e^a,e^b[. \]La courbe possède deux points d’inflexion :
\[ I_1\left(e^a,e^{2a}(a-1)^2\right) \]et :
\[ I_2\left(e^b,e^{2b}(b-1)^2\right). \]Numériquement :
\[ I_1\simeq(0{,}1983\,;\,0{,}2695), \qquad I_2\simeq(1{,}8553\,;\,0{,}5022). \]La branche gauche admet l’asymptote horizontale \(y=\pi\) et décroît jusqu’à \(O\). En \(O\), la courbe possède une demi-tangente verticale à gauche et une demi-tangente horizontale à droite. La branche droite atteint \(A(1,1)\), revient à \(B(e,0)\), puis tend vers \(+\infty\).
La fonction \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(]-\infty,0]\).
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}g(x)=\pi \]et :
\[ g(0)=0. \]La valeur \(\pi\) n’est pas atteinte, alors que \(0\) est atteinte. Ainsi :
\[ g(]-\infty,0])=[0,\pi[. \]La fonction \(g\) réalise donc une bijection de \(]-\infty,0]\) sur :
\[ I=[0,\pi[. \]On cherche d’abord l’antécédent de \(\dfrac{\pi}{2}\) par \(g\).
\[ g(-1) = \operatorname{Arctan}(\ln1)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ g^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1. \]D’autre part :
\[ g'(x) = \frac1{x\big(1+\ln^2(-x)\big)}. \]Ainsi :
\[ g'(-1)=-1\ne0. \]D’après le théorème de dérivabilité de la fonction réciproque :
\[ \left(g^{-1}\right)'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac1{g'(-1)}. \]Soit \(y\in]0,\pi[\), et posons :
\[ y=g(x) = \operatorname{Arctan}(\ln(-x)) + \frac{\pi}{2}, \qquad x\lt0. \]Alors :
\[ \operatorname{Arctan}(\ln(-x)) = y-\frac{\pi}{2}. \]En appliquant la fonction tangente :
\[ \ln(-x) = \tan\left(y-\frac{\pi}{2}\right). \]Donc :
\[ -x = \exp\left( \tan\left(y-\frac{\pi}{2}\right) \right). \]Ainsi :
\[ x = -\exp\left( \tan\left(y-\frac{\pi}{2}\right) \right). \]Pour \(y=0\), on a directement :
\[ g^{-1}(0)=0. \]La courbe de la fonction réciproque est l’image de celle de g par la symétrie d’axe y = x. Elle passe par le point (π/2, -1), admet x = π comme asymptote verticale et possède une demi-tangente horizontale en O.
Méthodes à retenir
- Pour une fonction par morceaux, la continuité au point de raccord exige l’égalité des deux limites et de la valeur de la fonction.
- Les limites de \(f(x)/x\) en un point où \(f(0)=0\) donnent les directions des demi-tangentes.
- Un zéro de la dérivée seconde n’est un point d’inflexion que si la convexité change.
- Une restriction continue et strictement monotone réalise une bijection sur son image.
- La courbe d’une fonction réciproque est la symétrique de la courbe initiale par rapport à la droite \(y=x\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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