Correction de l’exercice 58 — Logarithme népérien — Al Moufid

Correction de l’exercice 58

Étude et représentation d’une fonction logarithmique

2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation :
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice de perfectionnement 58 du manuel Al Moufid. L’étude porte sur une fonction logarithmique possédant trois asymptotes verticales et une asymptote oblique.

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Logarithme népérien

Manuel : Al Moufid

Rubrique : Exercices de perfectionnement

Exercice : 58

Thèmes : Domaine, variations, asymptotes et courbe

Méthodes essentielles : factoriser le dénominateur pour déterminer le domaine, introduire un polynôme auxiliaire pour étudier le signe de la dérivée, décrire les variations intervalle par intervalle, puis comparer la fonction à son asymptote oblique.

Accès rapide à l’étude

Domaine Limites Dérivée Variations Asymptote oblique Zéros Courbe

Exercice 58 Étudier puis représenter la fonction

Énoncé Étudier puis représenter la fonction : \[ f(x) = x+\ln\left| \frac{4x^2}{x^2+x-6} \right|. \]

Étape 1 Domaine de définition

Déterminer le domaine de définition de : \[ f(x)=x+\ln\left| \frac{4x^2}{x^2+x-6} \right|. \]

Correction

Le logarithme est défini lorsque son argument est strictement positif.

Grâce à la valeur absolue, il suffit que la fraction soit définie et non nulle.

Le numérateur s’annule en \(x=0\), et :

\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]

Le dénominateur s’annule en \(x=-3\) et \(x=2\).

\[ \boxed{ D_f=\mathbb R\setminus\{-3,0,2\} } \]

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Étape 2 Limites aux bornes du domaine

Calculer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine.

Correction

Aux deux infinis :

\[ \left| \frac{4x^2}{x^2+x-6} \right| \longrightarrow4. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]

et :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]

Au voisinage de \(x=-3\), le dénominateur tend vers \(0\), tandis que le numérateur tend vers \(36\). Par conséquent :

\[ \lim_{x\to-3^-}f(x) = \lim_{x\to-3^+}f(x) = +\infty. \]

Au voisinage de \(x=0\), le numérateur tend vers \(0\), tandis que le dénominateur tend vers \(-6\). Donc :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x) = -\infty. \]

Au voisinage de \(x=2\), le dénominateur tend vers \(0\), tandis que le numérateur tend vers \(16\). Ainsi :

\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = +\infty. \]

\[ \boxed{ x=-3,\quad x=0,\quad x=2 \text{ sont des asymptotes verticales} } \]

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Étape 3 Dérivée et signe du polynôme auxiliaire

Calculer \(f'(x)\), puis préparer l’étude de son signe.

Correction

Pour \(x\in D_f\), on utilise :

\[ \left(\ln|u(x)|\right)'=\frac{u'(x)}{u(x)}. \]

On obtient :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= 1+\frac2x-\frac{2x+1}{x^2+x-6}\\ &= \frac{x^3+x^2-5x-12} {x(x-2)(x+3)}. \end{aligned} \]

Posons :

\[ P(x)=x^3+x^2-5x-12. \]

Alors :

\[ P'(x)=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1). \]

Le polynôme \(P\) est croissant sur \(]-\infty,-\frac53]\), décroissant sur \([-\frac53,1]\), puis croissant sur \([1,+\infty[\).

Or :

\[ P\left(-\frac53\right)=-\frac{149}{27}\lt0, \qquad P(1)=-15\lt0. \]

Ainsi \(P(x)\lt0\) jusqu’à son unique zéro réel \(\alpha\). De plus :

\[ P(2)=-10\lt0 \qquad\text{et}\qquad P(3)=9\gt0. \]

Donc :

\[ 2\lt\alpha\lt3. \]

Numériquement :

\[ \alpha\simeq2{,}63198. \]

\[ \boxed{ P(x)\lt0\text{ si }x\lt\alpha, \qquad P(x)\gt0\text{ si }x\gt\alpha } \]

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Étape 4 Variations de la fonction

Étudier les variations de \(f\).

Correction

Le signe de \(f'(x)\) dépend du signe de \(P(x)\) et de celui de :

\[ x(x-2)(x+3). \]

Sur \(]-\infty,-3[\), le numérateur et le dénominateur de \(f'(x)\) sont négatifs. Donc \(f'(x)\gt0\), et \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).

Sur \(]-3,0[\), le numérateur est négatif et le dénominateur positif. Donc \(f'(x)\lt0\), et \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(-\infty\).

Sur \(]0,2[\), le numérateur et le dénominateur sont négatifs. Donc \(f'(x)\gt0\), et \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).

Sur \(]2,\alpha[\), le numérateur est négatif et le dénominateur positif. Donc \(f'(x)\lt0\), et \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(f(\alpha)\).

Sur \(]\alpha,+\infty[\), le numérateur et le dénominateur sont positifs. Donc \(f'(x)\gt0\), et \(f\) est strictement croissante de \(f(\alpha)\) vers \(+\infty\).

La fonction atteint donc sur \(]2,+\infty[\) un minimum en \(x=\alpha\), avec :

\[ f(\alpha)\simeq4{,}68418. \]

\[ \boxed{ \begin{array}{l} f\text{ croît sur }]-\infty,-3[,\\ f\text{ décroît sur }]-3,0[,\\ f\text{ croît sur }]0,2[,\\ f\text{ décroît sur }]2,\alpha],\\ f\text{ croît sur }[\alpha,+\infty[. \end{array} } \]

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Étape 5 Asymptote oblique et position relative

Étudier la branche infinie de la courbe aux voisinages de \(-\infty\) et \(+\infty\).

Correction

On calcule :

\[ \begin{aligned} f(x)-(x+\ln4) &= \ln\left| \frac{4x^2}{x^2+x-6} \right| -\ln4\\ &= \ln\left| \frac{x^2}{x^2+x-6} \right|. \end{aligned} \]

Lorsque \(x\to\pm\infty\), le quotient tend vers \(1\). Donc :

\[ f(x)-(x+\ln4)\longrightarrow0. \]

La droite :

\[ \Delta:\ y=x+\ln4 \]

est une asymptote oblique aux deux infinis.

Pour préciser la position relative, on étudie :

\[ \left| \frac{x^2}{x^2+x-6} \right|\gtrless1. \]

On obtient :

\[ x^2\gt|x^2+x-6| \iff x\lt-2 \quad\text{ou}\quad \frac32\lt x\lt6. \]

Ainsi, la courbe est au-dessus de \(\Delta\) sur :

\[ ]-\infty,-3[ \cup ]-3,-2[ \cup ]\tfrac32,2[ \cup ]2,6[, \]

et au-dessous de \(\Delta\) sur les autres intervalles de son domaine.

La courbe coupe \(\Delta\) pour :

\[ x=-2, \qquad x=\frac32, \qquad x=6. \]

\[ \boxed{ \Delta:\ y=x+\ln4 \text{ est une asymptote oblique aux deux infinis} } \]

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Étape 6 Intersections avec l’axe des abscisses

Déterminer le nombre de solutions de \(f(x)=0\), puis donner des valeurs approchées utiles pour la représentation.

Correction

Sur \(]-\infty,-3[\), la fonction est continue et strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\). Elle y possède donc un unique zéro \(x_1\).

Sur \(]-3,0[\), elle est continue et strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(-\infty\). Elle y possède donc un unique zéro \(x_2\).

Sur \(]0,2[\), elle est continue et strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\). Elle y possède donc un unique zéro \(x_3\).

Enfin, pour \(x\gt2\), on a :

\[ \frac{4x^2}{x^2+x-6}\gt1. \]

Donc :

\[ f(x) = x+\ln\left( \frac{4x^2}{x^2+x-6} \right) \gt x\gt0. \]

Il n’existe donc aucun autre zéro.

Numériquement :

\[ x_1\simeq-3{,}30267, \] \[ x_2\simeq-2{,}55453, \] \[ x_3\simeq0{,}74619. \]

\[ \boxed{ f(x)=0 \text{ admet exactement trois solutions réelles} } \]

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Étape 7 Représentation graphique

Construire la courbe représentative de \(f\).

Correction

La construction utilise les trois asymptotes verticales, l’asymptote oblique, les variations, les trois intersections avec l’axe des abscisses et le minimum de la branche située à droite de \(x=2\).

La courbe possède trois asymptotes verticales \(x=-3\), \(x=0\) et \(x=2\), ainsi que l’asymptote oblique \(y=x+\ln4\) aux deux infinis. Elle coupe l’axe des abscisses en trois points et admet sur \(]2,+\infty[\) un minimum \(M(\alpha,f(\alpha))\).

\[ \boxed{ \text{La courbe est construite à partir de l’étude complète précédente.} } \]

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Méthodes à retenir

• Dans \(\ln|u(x)|\), il faut exclure les zéros et les valeurs interdites de \(u\).
• Une dérivée rationnelle peut être étudiée à l’aide d’un polynôme auxiliaire.
• Les variations sont décrites séparément sur chaque composante du domaine.
• Une asymptote oblique \(y=ax+b\) se vérifie en étudiant \(f(x)-(ax+b)\).
• La monotonie et les limites permettent de démontrer l’existence et l’unicité des intersections avec l’axe des abscisses.

Ressources liées

Correction de l’exercice 57 Correction de l’exercice 56 Exercices résolus — Al Moufid

Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt