Correction des exercices 27 à 29 — Logarithmes de base \(q\)
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 27 à 29 introduisent un changement important par rapport aux premières applications du logarithme népérien : les logarithmes peuvent maintenant avoir des bases différentes. Avant de calculer, il faut donc identifier la base utilisée et vérifier qu’elle est strictement positive et différente de \(1\). Le changement de base permet ensuite de ramener plusieurs expressions à une même base. Pour les inéquations, une précaution supplémentaire est essentielle : lorsque la base est supérieure à \(1\), le logarithme est strictement croissant, tandis que pour une base comprise entre \(0\) et \(1\), il est strictement décroissant et le sens de l’inégalité doit être inversé. Ces trois exercices associent ainsi calculs, équations, systèmes et inéquations. Les calculs historiques sont conservés dans leur ordre ; les commentaires ajoutés explicitent les conditions qui autorisent chaque transformation.
Soit \(q\gt0\) avec \(q\neq1\). Pour tout \(x\gt0\), le logarithme de \(x\) en base \(q\) est défini par :
\[ \log_q(x)=\frac{\ln x}{\ln q}. \]Cette définition permet notamment de changer de base. Les propriétés habituelles restent valables lorsque les arguments sont strictement positifs :
\[ \log_q(xy)=\log_qx+\log_qy, \] \[ \log_q\left(\frac{x}{y}\right) = \log_qx-\log_qy, \] \[ \log_q(x^r)=r\log_qx. \]Il faut surtout distinguer deux situations :
\[ q\gt1 \quad\Longrightarrow\quad \log_q\text{ est strictement croissante}, \] \[ 0\lt q\lt1 \quad\Longrightarrow\quad \log_q\text{ est strictement décroissante}. \]Le symbole \(\log x\), sans base indiquée dans cette partie du manuel, désigne le logarithme décimal, c’est-à-dire le logarithme en base \(10\).
Pour chaque équation ou inéquation, on commence par écrire les conditions d’existence. On cherche ensuite si toutes les expressions peuvent être ramenées à une même base. Dans une équation polynomiale en logarithme, une substitution comme \(X=\log_qx\) transforme le problème en une équation algébrique. Dans une inéquation, il faut connaître le sens de variation du logarithme avant de comparer les arguments. Enfin, toute solution obtenue doit satisfaire les conditions établies au départ.
Exercice 27 — Simplification d’expressions logarithmiques
Simplifier les cinq expressions proposées dans le manuel.
1. Première expression
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Les trois logarithmes n’ont pas la même base. Il n’est donc pas question de les regrouper à l’aide d’une propriété sur une somme. Ici, chacun peut être calculé directement en reconnaissant une puissance de sa base.
\[ \log_4(2)=\frac12, \qquad \log_2(16)=4, \qquad \log_8(4)=\frac23. \]Donc :
\[ \frac12+4+\frac23 = \frac{3+24+4}{6} = \frac{31}{6}. \]2. Deuxième expression
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Tous les logarithmes sont ici en base \(2\). On peut donc utiliser à la fois les puissances de \(2\) et la propriété du quotient pour les deux derniers termes.
On a :
\[ \log_2(8)=3, \qquad \log_2\left(\sqrt[3]{32}\right) = \log_2\left(2^{5/3}\right) = \frac53. \]Et :
\[ \log_2(9)-\log_2(3) = \log_2\left(\frac93\right) = \log_2(3). \]Ainsi :
\[ 3-\frac53+\log_2(3) = \frac43+\log_2(3). \]3. Expression contenant deux bases différentes
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La propriété \(\log_q a+\log_q b=\log_q(ab)\) exige une même base. Elle peut être appliquée uniquement aux deux derniers termes.
On regroupe uniquement les deux logarithmes de base \(2\) :
\[ \begin{aligned} \log_2\left(\frac1{27}\right) +\log_2\left(\frac45\right) &= \log_2\left(\frac1{27}\times\frac45\right)\\ &= \log_2\left(\frac4{135}\right). \end{aligned} \]4. Calcul avec le logarithme décimal
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Le symbole \(\log\) représente ici le logarithme décimal. On utilise donc directement \(\log(10^r)=r\).
Le symbole \(\log\) désigne ici le logarithme décimal. Ainsi :
\[ \log100=2, \qquad \log\left(10^{2017}\right)=2017, \qquad \log\left(10^{-100}\right)=-100. \]Donc :
\[ 2-2017-100=-2115. \]5. Quotient de logarithmes décimaux
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Tous les logarithmes sont décimaux. On simplifie séparément le numérateur et le dénominateur en utilisant les propriétés du produit, du quotient et de la puissance.
Au numérateur :
\[ \begin{aligned} \log(0{,}008)-4\log(0{,}3) &= \log\left(\frac{0{,}008}{(0{,}3)^4}\right)\\ &= \log\left(\frac{80}{81}\right). \end{aligned} \]Au dénominateur :
\[ \log9-\log8 = \log\left(\frac98\right). \]En appliquant la formule de changement de base :
\[ \frac{\log\left(\frac{80}{81}\right)} {\log\left(\frac98\right)} = \log_{\frac98}\left(\frac{80}{81}\right). \]Exercice 28 — Équations et système logarithmiques
Résoudre trois équations logarithmiques, puis le système proposé.
1-a. Équation avec \(\log_2x\)
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Avant la substitution, il faut imposer \(x\gt0\). L’équation est ensuite polynomiale en \(\log_2x\), ce qui justifie l’introduction d’une inconnue auxiliaire.
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ X=\log_2x. \]L’équation devient :
\[ 5X^2-X-4=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta=1+80=81. \]Donc :
\[ X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=-\frac45. \]Par conséquent :
\[ x=2 \qquad\text{ou}\qquad x=2^{-4/5}. \]1-b. Équation avec le logarithme décimal
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Ici encore, \(x\gt0\) est obligatoire avant toute transformation. Le logarithme décimal est ensuite traité comme une seule inconnue.
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons \(X=\log x\). Alors :
\[ X^2-2X=0 \iff X(X-2)=0. \]Donc :
\[ X=0 \qquad\text{ou}\qquad X=2. \]Ainsi :
\[ x=10^0=1 \qquad\text{ou}\qquad x=10^2=100. \]1-c. Équation en base \(\frac54\)
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La base \(\frac54\) est strictement positive et différente de \(1\), donc le logarithme est bien défini pour \(x\gt0\). L’équation est quadratique en \(\log_{\frac54}x\).
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ X=\log_{\frac54}x. \]L’équation devient :
\[ -3X^2+X+10=0 \iff 3X^2-X-10=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=1+120=121. \]Donc :
\[ X=2 \qquad\text{ou}\qquad X=-\frac53. \]Par conséquent :
\[ x=\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16} \]ou :
\[ x=\left(\frac54\right)^{-5/3} = \left(\frac45\right)^{5/3}. \]2. Résolution du système
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Les conditions d’existence doivent être établies avant de regrouper les logarithmes. En particulier, \(1/x^2\) et \(y^4\) doivent être strictement positifs, et \(x^3y^5\) doit être strictement positif.
Les logarithmes imposent :
\[ x\ne0,\qquad y\ne0,\qquad x^3y^5\gt0. \]La première équation donne :
\[ \log_3\left(\frac1{x^2y^4}\right)=-4, \]donc :
\[ \frac1{x^2y^4}=3^{-4}=\frac1{81} \iff x^2y^4=81. \]La deuxième équation donne :
\[ x^3y^5=3^3=27. \]En divisant membre à membre :
\[ xy=\frac{27}{81}=\frac13. \]Or :
\[ x^2y^4=(xy)^2y^2=\frac19y^2=81, \]d’où :
\[ y^2=729 \iff y=27 \quad\text{ou}\quad y=-27. \]Comme \(xy=\dfrac13\), on obtient respectivement :
\[ x=\frac1{81} \qquad\text{ou}\qquad x=-\frac1{81}. \]Exercice 29 — Équations, inéquations et système
Résoudre les quatre équations, les deux inéquations et le système proposés dans le manuel.
1-a. Équation polynomiale en \(\log x\)
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Comme un logarithme décimal de \(x\) apparaît, la condition initiale est \(x\gt0\). La substitution transforme ensuite l’équation logarithmique en une équation polynomiale.
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons \(X=\log x\). Alors :
\[ X^3+3X^2-25X+21=0. \]On factorise :
\[ X^3+3X^2-25X+21 = (X-3)(X-1)(X+7). \]Donc :
\[ X=3,\qquad X=1,\qquad X=-7. \]Par conséquent :
\[ x=10^3,\qquad x=10,\qquad x=10^{-7}. \]1-b. Produit de logarithmes de bases différentes
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Les quatre logarithmes ont le même argument mais des bases différentes. Comme toutes ces bases sont des puissances de \(2\), la correction choisit naturellement \(X=\log_2x\) et exprime tous les autres logarithmes en fonction de \(X\).
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ X=\log_2x. \]Comme :
\[ \sqrt2=2^{1/2}, \qquad 2\sqrt2=2^{3/2}, \qquad 4=2^2, \]on obtient :
\[ \log_{\sqrt2}x=2X, \qquad \log_{2\sqrt2}x=\frac23X, \qquad \log_4x=\frac12X. \]L’équation devient :
\[ (2X)\,X\,\left(\frac23X\right) \left(\frac12X\right)=54, \] \[ \frac23X^4=54 \iff X^4=81. \]Donc :
\[ X=3 \qquad\text{ou}\qquad X=-3. \]Ainsi :
\[ x=8 \qquad\text{ou}\qquad x=\frac18. \]1-c. Équation logarithmique non algébrique
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Contrairement aux questions précédentes, une substitution \(X=\log_2x\) ne transforme pas toute l’équation en un polynôme, car \(x\) intervient également en dehors du logarithme. La correction introduit donc une fonction dont les zéros sont exactement les solutions recherchées.
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ H(x)=\log_2x-1+(x-2)^2. \]L’équation revient à résoudre \(H(x)=0\).
Deux solutions sont immédiates :
\[ H(1)=0 \qquad\text{et}\qquad H(2)=0. \]De plus :
\[ H''(x) = 2-\frac1{x^2\ln2}. \]La dérivée seconde s’annule une seule fois. Ainsi \(H'\) est d’abord décroissante, puis croissante. Elle possède donc au plus deux zéros. D’après le théorème de Rolle, \(H\) possède au plus trois zéros.
Or :
\[ H(0{,}22)\lt0 \qquad\text{et}\qquad H(0{,}23)\gt0. \]Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l’existence d’une troisième solution :
\[ \alpha\in]0{,}22,0{,}23[. \]1-d. Équation avec changement de base
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Les logarithmes sont en bases \(2\) et \(4\). Comme \(4=2^2\), le changement de base permet de travailler uniquement avec \(\log_2\). Les arguments doivent toutefois être définis avant cette transformation.
Les conditions d’existence donnent \(x\gt0\).
Comme :
\[ \log_4(4x+10) = \frac12\log_2(4x+10), \]l’équation devient, après multiplication par \(2\) :
\[ 2\log_2x = 1+\log_2(4x+10). \]Or :
\[ 2\log_2x=\log_2(x^2) \]et :
\[ 1+\log_2(4x+10) = \log_2(2)+\log_2(4x+10) = \log_2(8x+20). \]Donc :
\[ x^2=8x+20 \iff x^2-8x-20=0. \]Les racines sont \(10\) et \(-2\). La condition \(x\gt0\) permet de conserver uniquement \(10\).
2-a. Première inéquation
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Avant de comparer les logarithmes, il faut réunir les deux conditions d’existence. Le changement de base transforme ensuite le logarithme en base \(8\) en logarithme de base \(2\), dont la stricte croissance permettra de comparer les arguments.
Les conditions d’existence imposent :
\[ x\gt0 \qquad\text{et}\qquad 5x-4\gt0, \]donc :
\[ x\gt\frac45. \]Comme :
\[ \log_8(5x-4) = \frac13\log_2(5x-4), \]l’inéquation équivaut à :
\[ 3\log_2x\le\log_2(5x-4). \]La fonction \(\log_2\) étant strictement croissante :
\[ x^3\le5x-4. \]Donc :
\[ x^3-5x+4\le0. \]On factorise :
\[ x^3-5x+4 = (x-1)(x^2+x-4). \]Les racines utiles sur \(]\frac45,+\infty[\) sont :
\[ 1 \qquad\text{et}\qquad \frac{\sqrt{17}-1}{2}. \]L’étude du signe donne :
2-b. Inéquation à base variable
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C’est la question où les conditions sur la base sont les plus importantes. Ici, \(x\) joue à la fois le rôle de variable et de base du logarithme. Il faut donc exiger \(x\gt0\), \(x\neq1\), puis vérifier la positivité de l’argument. Ensuite, le problème doit être séparé selon que la base est comprise entre \(0\) et \(1\), ou supérieure à \(1\).
Les conditions d’existence sont :
\[ x\gt0,\qquad x\ne1,\qquad x^2-\frac14\gt0. \]Donc :
\[ x\gt\frac12 \qquad\text{et}\qquad x\ne1. \]Premier cas : \(\dfrac12\lt x\lt1\).
La fonction \(t\mapsto\log_xt\) est alors strictement décroissante. Ainsi :
\[ \log_x\left(x^2-\frac14\right)\gt4 \iff x^2-\frac14\lt x^4. \]Donc :
\[ x^4-x^2+\frac14\gt0 \iff \left(x^2-\frac12\right)^2\gt0. \]Cette condition est vérifiée pour tout \(x\in]\frac12,1[\), sauf pour :
\[ x=\frac1{\sqrt2}. \]Deuxième cas : \(x\gt1\).
La fonction \(t\mapsto\log_xt\) est strictement croissante. Il faudrait alors :
\[ x^2-\frac14\gt x^4, \]c’est-à-dire :
\[ \left(x^2-\frac12\right)^2\lt0, \]ce qui est impossible.
3. Résolution du système
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Les deux variables servent ici également de bases logarithmiques. Les conditions \(x\gt0\), \(y\gt0\), \(x\neq1\) et \(y\neq1\) sont donc nécessaires. La relation réciproque entre \(\log_xy\) et \(\log_yx\) réduit ensuite le système à une équation du second degré.
Les logarithmes imposent :
\[ x\gt0,\quad y\gt0,\quad x\ne1,\quad y\ne1. \]Posons :
\[ a=\log_x y. \]Alors :
\[ \log_y x=\frac1a. \]La deuxième équation devient :
\[ 7\left(a+\frac1a\right)=50. \]Comme \(a\ne0\) :
\[ 7a^2-50a+7=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=2500-196=2304=48^2. \]Donc :
\[ a=7 \qquad\text{ou}\qquad a=\frac17. \]Si \(a=7\), alors \(y=x^7\). Avec \(xy=256=2^8\), on obtient :
\[ x^8=2^8, \]d’où \(x=2\) et \(y=128\).
Si \(a=\dfrac17\), alors \(y=x^{1/7}\). Ainsi :
\[ x^{8/7}=2^8, \]d’où \(x=2^7=128\) et \(y=2\).
Méthodes à retenir
Les exercices 27 à 29 montrent que le choix de la base n’est jamais un détail. Avant toute transformation, les conditions d’existence doivent être établies. Des logarithmes de bases différentes ne peuvent pas être regroupés directement : on utilise si nécessaire la formule de changement de base pour les ramener à une base commune. Une substitution comme \(X=\log_qx\) est particulièrement efficace lorsque l’équation devient polynomiale en \(X\). Dans une inéquation, le sens de variation du logarithme doit être connu avant de comparer les arguments : pour une base comprise entre \(0\) et \(1\), le sens de l’inégalité est inversé. Enfin, une équation logarithmique n’a pas nécessairement uniquement des solutions remarquables ; la question 29.1-c montre qu’une solution peut devoir être localisée puis approchée numériquement.
1. Les conditions d’existence doivent être établies avant toute
transformation.
2. Les logarithmes de bases différentes ne peuvent pas être
regroupés directement.
3. Le changement de base ramène plusieurs expressions à une même
inconnue auxiliaire.
4. Pour une base comprise entre \(0\) et \(1\), le sens de
l’inégalité est inversé.
5. Une équation logarithmique peut posséder une solution non
remarquable nécessitant une approximation numérique.
Correction des exercices 24 à 26 · Correction des exercices 21 à 23 · Exercices résolus — Al Moufid
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