Correction des exercices 27 à 29
Fonction logarithme de base \(q\) — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée des exercices 27, 28 et 29 : simplification d’expressions logarithmiques, équations, inéquations et systèmes.
Exercice 27 Simplification d’expressions logarithmiques
Donc :
\[ \frac12+4+\frac23 = \frac{3+24+4}{6} = \frac{31}{6}. \]On a :
\[ \log_2(8)=3, \qquad \log_2\left(\sqrt[3]{32}\right) = \log_2\left(2^{5/3}\right) = \frac53. \]Et :
\[ \log_2(9)-\log_2(3) = \log_2\left(\frac93\right) = \log_2(3). \]Ainsi :
\[ 3-\frac53+\log_2(3) = \frac43+\log_2(3). \]On regroupe uniquement les deux logarithmes de base \(2\) :
\[ \begin{aligned} \log_2\left(\frac1{27}\right) +\log_2\left(\frac45\right) &= \log_2\left(\frac1{27}\times\frac45\right)\\ &= \log_2\left(\frac4{135}\right). \end{aligned} \]Le symbole \(\log\) désigne ici le logarithme décimal. Ainsi :
\[ \log100=2, \qquad \log\left(10^{2017}\right)=2017, \qquad \log\left(10^{-100}\right)=-100. \]Donc :
\[ 2-2017-100=-2115. \]Au numérateur :
\[ \begin{aligned} \log(0{,}008)-4\log(0{,}3) &= \log\left(\frac{0{,}008}{(0{,}3)^4}\right)\\ &= \log\left(\frac{80}{81}\right). \end{aligned} \]Au dénominateur :
\[ \log9-\log8 = \log\left(\frac98\right). \]En appliquant la formule de changement de base :
\[ \frac{\log\left(\frac{80}{81}\right)} {\log\left(\frac98\right)} = \log_{\frac98}\left(\frac{80}{81}\right). \]Exercice 28 Équations et système logarithmiques
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ X=\log_2x. \]L’équation devient :
\[ 5X^2-X-4=0. \]Son discriminant est :
\[ \Delta=1+80=81. \]Donc :
\[ X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=-\frac45. \]Par conséquent :
\[ x=2 \qquad\text{ou}\qquad x=2^{-4/5}. \]La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons \(X=\log x\). Alors :
\[ X^2-2X=0 \iff X(X-2)=0. \]Donc :
\[ X=0 \qquad\text{ou}\qquad X=2. \]Ainsi :
\[ x=10^0=1 \qquad\text{ou}\qquad x=10^2=100. \]La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ X=\log_{\frac54}x. \]L’équation devient :
\[ -3X^2+X+10=0 \iff 3X^2-X-10=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=1+120=121. \]Donc :
\[ X=2 \qquad\text{ou}\qquad X=-\frac53. \]Par conséquent :
\[ x=\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16} \]ou :
\[ x=\left(\frac54\right)^{-5/3} = \left(\frac45\right)^{5/3}. \]Les logarithmes imposent :
\[ x\ne0,\qquad y\ne0,\qquad x^3y^5\gt0. \]La première équation donne :
\[ \log_3\left(\frac1{x^2y^4}\right)=-4, \]donc :
\[ \frac1{x^2y^4}=3^{-4}=\frac1{81} \iff x^2y^4=81. \]La deuxième équation donne :
\[ x^3y^5=3^3=27. \]En divisant membre à membre :
\[ xy=\frac{27}{81}=\frac13. \]Or :
\[ x^2y^4=(xy)^2y^2=\frac19y^2=81, \]d’où :
\[ y^2=729 \iff y=27 \quad\text{ou}\quad y=-27. \]Comme \(xy=\dfrac13\), on obtient respectivement :
\[ x=\frac1{81} \qquad\text{ou}\qquad x=-\frac1{81}. \]Exercice 29 Équations, inéquations et système
La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons \(X=\log x\). Alors :
\[ X^3+3X^2-25X+21=0. \]On factorise :
\[ X^3+3X^2-25X+21 = (X-3)(X-1)(X+7). \]Donc :
\[ X=3,\qquad X=1,\qquad X=-7. \]Par conséquent :
\[ x=10^3,\qquad x=10,\qquad x=10^{-7}. \]La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ X=\log_2x. \]Comme :
\[ \sqrt2=2^{1/2}, \qquad 2\sqrt2=2^{3/2}, \qquad 4=2^2, \]on obtient :
\[ \log_{\sqrt2}x=2X, \qquad \log_{2\sqrt2}x=\frac23X, \qquad \log_4x=\frac12X. \]L’équation devient :
\[ (2X)\,X\,\left(\frac23X\right)\left(\frac12X\right)=54, \] \[ \frac23X^4=54 \iff X^4=81. \]Donc :
\[ X=3 \qquad\text{ou}\qquad X=-3. \]Ainsi :
\[ x=8 \qquad\text{ou}\qquad x=\frac18. \]La condition d’existence est \(x\gt0\). Posons :
\[ H(x)=\log_2x-1+(x-2)^2. \]L’équation revient à résoudre \(H(x)=0\).
Deux solutions sont immédiates :
\[ H(1)=0 \qquad\text{et}\qquad H(2)=0. \]De plus :
\[ H''(x) = 2-\frac1{x^2\ln2}. \]La dérivée seconde s’annule une seule fois. Ainsi \(H'\) est d’abord décroissante, puis croissante. Elle possède donc au plus deux zéros. D’après le théorème de Rolle, \(H\) possède au plus trois zéros.
Or :
\[ H(0{,}22)\lt0 \qquad\text{et}\qquad H(0{,}23)\gt0. \]Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l’existence d’une troisième solution \(\alpha\in]0{,}22,0{,}23[\).
Les conditions d’existence donnent \(x\gt0\).
Comme :
\[ \log_4(4x+10)=\frac12\log_2(4x+10), \]l’équation devient, après multiplication par \(2\) :
\[ 2\log_2x = 1+\log_2(4x+10). \]Or :
\[ 2\log_2x=\log_2(x^2) \]et :
\[ 1+\log_2(4x+10) = \log_2(2)+\log_2(4x+10) = \log_2(8x+20). \]Donc :
\[ x^2=8x+20 \iff x^2-8x-20=0. \]Les racines sont \(10\) et \(-2\). La condition \(x\gt0\) permet de conserver uniquement \(10\).
Les conditions d’existence imposent :
\[ x\gt0 \qquad\text{et}\qquad 5x-4\gt0, \]donc \(x\gt\dfrac45\).
Comme :
\[ \log_8(5x-4)=\frac13\log_2(5x-4), \]l’inéquation équivaut à :
\[ 3\log_2x\le\log_2(5x-4). \]La fonction \(\log_2\) étant strictement croissante :
\[ x^3\le5x-4. \]Donc :
\[ x^3-5x+4\le0. \]On factorise :
\[ x^3-5x+4 = (x-1)(x^2+x-4). \]Les racines utiles sur \(]\frac45,+\infty[\) sont :
\[ 1 \qquad\text{et}\qquad \frac{\sqrt{17}-1}{2}. \]L’étude du signe donne :
Les conditions d’existence sont :
\[ x\gt0,\qquad x\ne1,\qquad x^2-\frac14\gt0. \]Donc :
\[ x\gt\frac12 \qquad\text{et}\qquad x\ne1. \]Premier cas : \(\dfrac12\lt x\lt1\).
La fonction \(t\mapsto\log_xt\) est alors strictement décroissante. Ainsi :
\[ \log_x\left(x^2-\frac14\right)\gt4 \iff x^2-\frac14\lt x^4. \]Donc :
\[ x^4-x^2+\frac14\gt0 \iff \left(x^2-\frac12\right)^2\gt0. \]Cette condition est vérifiée pour tout \(x\in]\frac12,1[\), sauf pour :
\[ x=\frac1{\sqrt2}. \]Deuxième cas : \(x\gt1\).
La fonction \(t\mapsto\log_xt\) est strictement croissante. Il faudrait alors :
\[ x^2-\frac14\gt x^4, \]c’est-à-dire :
\[ \left(x^2-\frac12\right)^2\lt0, \]ce qui est impossible.
Les logarithmes imposent :
\[ x\gt0,\quad y\gt0,\quad x\ne1,\quad y\ne1. \]Posons :
\[ a=\log_x y. \]Alors :
\[ \log_y x=\frac1a. \]La deuxième équation devient :
\[ 7\left(a+\frac1a\right)=50. \]Comme \(a\ne0\) :
\[ 7a^2-50a+7=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=2500-196=2304=48^2. \]Donc :
\[ a=7 \qquad\text{ou}\qquad a=\frac17. \]Si \(a=7\), alors \(y=x^7\). Avec \(xy=256=2^8\), on obtient :
\[ x^8=2^8, \]d’où \(x=2\) et \(y=128\).
Si \(a=\dfrac17\), alors \(y=x^{1/7}\). Ainsi :
\[ x^{8/7}=2^8, \]d’où \(x=2^7=128\) et \(y=2\).
Méthodes à retenir
- Les conditions d’existence doivent être établies avant toute transformation.
- Les logarithmes de bases différentes ne peuvent pas être regroupés directement.
- Le changement de base ramène plusieurs expressions à une même inconnue auxiliaire.
- Pour une base comprise entre \(0\) et \(1\), le sens de l’inégalité est inversé.
- Une équation logarithmique peut posséder une solution non remarquable nécessitant une approximation numérique.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Commentaires
Enregistrer un commentaire