Correction des exercices 30 à 33
Exercices de perfectionnement — Logarithme népérien
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée des exercices de perfectionnement 30 à 33 du manuel Al Moufid. Le bloc porte sur les équations polynomiales en logarithmes, les inéquations logarithmiques, la discussion d’une équation à paramètre et des expressions trigonométriques.
Exercice 30 Équation polynomiale et applications à ln x
On cherche d’abord une racine évidente. Pour \(X=1\) :
\[ 10-7-4+1=0. \]Donc \(X-1\) est un facteur du polynôme. La factorisation complète est :
\[ 10X^3-7X^2-4X+1 = (X-1)(2X+1)(5X-1). \]Ainsi :
\[ (X-1)(2X+1)(5X-1)=0. \]Par conséquent :
\[ X=1, \qquad X=-\frac12, \qquad X=\frac15. \]Posons :
\[ X=\ln x. \]D’après la question précédente :
\[ X\in\left\{-\frac12,\frac15,1\right\}. \]Donc :
\[ \ln x=-\frac12 \iff x=e^{-1/2}, \] \[ \ln x=\frac15 \iff x=e^{1/5}, \] \[ \ln x=1 \iff x=e. \]Posons \(X=\ln x\). L’inéquation devient :
\[ (X-1)(2X+1)(5X-1)\gt0. \]Les trois racines sont ordonnées ainsi :
\[ -\frac12\lt\frac15\lt1. \]Le produit est strictement positif pour :
\[ -\frac12\lt X\lt\frac15 \qquad\text{ou}\qquad X\gt1. \]Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante :
\[ -\frac12\lt\ln x\lt\frac15 \iff e^{-1/2}\lt x\lt e^{1/5}, \]et :
\[ \ln x\gt1 \iff x\gt e. \]Exercice 31 Équations logarithmiques et discussion à paramètre
Posons \(X=\ln x\). L’équation devient :
\[ X^3-2X^2-X+2=0. \]Par regroupement :
\[ \begin{aligned} X^3-2X^2-X+2 &= X^2(X-2)-(X-2)\\ &= (X-2)(X^2-1)\\ &= (X-2)(X-1)(X+1). \end{aligned} \]Donc :
\[ X=-1,\qquad X=1,\qquad X=2. \]Comme \(X=\ln x\), on obtient :
\[ x=e^{-1},\qquad x=e,\qquad x=e^2. \]Les conditions d’existence sont :
\[ 4x-1\gt0, \qquad x-1\gt0, \qquad 3x^2+6x+2\gt0. \]La condition \(x\gt1\) assure les trois inégalités. Le domaine de résolution est donc :
\[ x\gt1. \]Sur ce domaine :
\[ \ln\left( \frac{(4x-1)(x-1)}{3x^2+6x+2} \right)=0. \]Comme \(\ln A=0\iff A=1\), on obtient :
\[ (4x-1)(x-1)=3x^2+6x+2. \]En développant :
\[ 4x^2-5x+1=3x^2+6x+2, \] \[ x^2-11x-1=0. \]Les deux racines sont :
\[ x=\frac{11-5\sqrt5}{2} \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{11+5\sqrt5}{2}. \]La première est négative et ne vérifie pas \(x\gt1\). La seconde est admissible.
Pour \(x\gt0\) :
\[ \frac12(\ln x+\ln5) = \frac12\ln(5x) = \ln\left(\sqrt{5x}\right). \]La fonction logarithme népérien étant injective :
\[ \frac{x+5}{4}=\sqrt{5x}. \]Posons \(t=\sqrt x\), avec \(t\gt0\). Alors \(x=t^2\), et l’équation devient :
\[ t^2+5=4\sqrt5\,t. \] \[ t^2-4\sqrt5\,t+5=0. \]Les deux solutions positives sont :
\[ t=2\sqrt5-\sqrt{15} \qquad\text{ou}\qquad t=2\sqrt5+\sqrt{15}. \]En élevant au carré :
\[ x=(2\sqrt5-\sqrt{15})^2=35-20\sqrt3, \] \[ x=(2\sqrt5+\sqrt{15})^2=35+20\sqrt3. \]Le symbole \(\log\) désigne le logarithme décimal. La condition d’existence est :
\[ x^2-125\gt0. \]L’équation équivaut à :
\[ x^2-125=10^2=100. \]Donc :
\[ x^2=225, \] \[ x=-15 \qquad\text{ou}\qquad x=15. \]Dans les deux cas, \(x^2-125=100\gt0\). Les deux solutions sont donc admissibles.
Posons \(X=\log x\). On obtient :
\[ X^2-3X-4=0. \]On factorise :
\[ (X-4)(X+1)=0. \]Donc :
\[ X=4 \qquad\text{ou}\qquad X=-1. \]Ainsi :
\[ x=10^4 \qquad\text{ou}\qquad x=10^{-1}. \]Posons \(X=\log x\). L’équation devient :
\[ X^3-8X^2-105X=0. \]On factorise :
\[ X(X^2-8X-105)=0, \] \[ X(X-15)(X+7)=0. \]Donc :
\[ X=0,\qquad X=15,\qquad X=-7. \]Par conséquent :
\[ x=1,\qquad x=10^{15},\qquad x=10^{-7}. \]Cette équation est du second degré en \(x\). Son discriminant est :
\[ \Delta=(\ln a)^2-4. \]On distingue les cas suivants.
Si \(0\lt a\lt e^{-2}\), alors \(\ln a\lt-2\) et \(\Delta\gt0\). L’équation possède deux solutions réelles négatives :
\[ x_1=\frac{\ln a-\sqrt{(\ln a)^2-4}}{2}, \qquad x_2=\frac{\ln a+\sqrt{(\ln a)^2-4}}{2}. \]Si \(a=e^{-2}\), alors \(\Delta=0\) et l’équation possède une solution double :
\[ x=-1. \]Si \(e^{-2}\lt a\lt e^2\), alors \(\Delta\lt0\). L’équation ne possède aucune solution réelle.
Si \(a=e^2\), alors \(\Delta=0\) et l’équation possède une solution double :
\[ x=1. \]Si \(a\gt e^2\), alors \(\ln a\gt2\) et \(\Delta\gt0\). L’équation possède deux solutions réelles positives :
\[ x_1=\frac{\ln a-\sqrt{(\ln a)^2-4}}{2}, \qquad x_2=\frac{\ln a+\sqrt{(\ln a)^2-4}}{2}. \]Exercice 32 Inéquations logarithmiques
Les conditions d’existence sont :
\[ 2x-3\gt0, \qquad x-2\gt0, \qquad -2x^2+19x-24\gt0. \]Or :
\[ -2x^2+19x-24 = -2\left(x-\frac32\right)(x-8). \]Cette expression est positive sur \(]\frac32,8[\). En tenant compte de \(x\gt2\), le domaine de résolution est :
\[ D=]2,8[. \]Sur ce domaine :
\[ \ln\left((2x-3)(x-2)^2\right) \ge \ln(-2x^2+19x-24). \]Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante :
\[ (2x-3)(x-2)^2 \ge -2x^2+19x-24. \]Après développement et factorisation :
\[ 2x^3-9x^2+x+12\ge0, \] \[ (x-4)(x+1)(2x-3)\ge0. \]Sur le domaine \(]2,8[\), les facteurs \(x+1\) et \(2x-3\) sont strictement positifs. Il reste donc :
\[ x-4\ge0. \]Les conditions d’existence sont :
\[ x\ne\frac12 \qquad\text{et}\qquad x\ne2. \]Sur ce domaine :
\[ \ln\left(|2x-1|\,|x-2|\right)\lt\ln3. \]Comme \(|2x-1|\,|x-2|=|(2x-1)(x-2)|\), on obtient :
\[ |(2x-1)(x-2)|\lt3. \]Cela équivaut à :
\[ -3\lt2x^2-5x+2\lt3. \]La première inégalité donne :
\[ 2x^2-5x+5\gt0. \]Son discriminant vaut \(-15\), donc elle est vérifiée pour tout réel.
La seconde donne :
\[ 2x^2-5x-1\lt0. \]Les racines de \(2x^2-5x-1\) sont :
\[ \alpha=\frac{5-\sqrt{33}}{4}, \qquad \beta=\frac{5+\sqrt{33}}{4}. \]On obtient donc \(\alpha\lt x\lt\beta\), en excluant les deux valeurs où les logarithmes ne sont pas définis.
Posons \(X=\ln x\). L’inéquation devient :
\[ X^2-2X-3\lt0. \]On factorise :
\[ (X-3)(X+1)\lt0. \]Donc :
\[ -1\lt X\lt3. \]Comme \(X=\ln x\) et que la fonction logarithme népérien est strictement croissante :
\[ -1\lt\ln x\lt3 \iff e^{-1}\lt x\lt e^3. \]Exercice 33 Logarithmes et fonctions trigonométriques
On a :
\[ |\sin x|=1 \iff \sin x=1 \quad\text{ou}\quad \sin x=-1. \]Ces deux familles peuvent être réunies sous la forme :
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]Le logarithme existe lorsque \(|\sin x|\gt0\). De plus :
\[ \log_5(|\sin x|)=0 \iff |\sin x|=5^0=1. \]On retrouve donc l’équation de la question précédente :
\[ |\sin x|=1. \]On remarque d’abord que :
\[ x^2-14x+73=(x-7)^2+24\gt0 \]pour tout réel \(x\).
Les deux dénominateurs imposent :
\[ 0\lt|\sin x|\lt1. \]Dans ce cas :
\[ \ln|\sin x|\lt0. \]Par la formule de changement de base :
\[ \log_5(|\sin x|) = \frac{\ln|\sin x|}{\ln5}. \]L’inéquation devient donc :
\[ \frac{\ln(x^2-14x+73)}{\ln|\sin x|} \gt \frac{2\ln5}{\ln|\sin x|}. \]Comme \(\ln|\sin x|\lt0\), la multiplication par ce dénominateur inverse le sens de l’inégalité :
\[ \ln(x^2-14x+73)\lt2\ln5. \]Or \(2\ln5=\ln25\). La fonction logarithme népérien étant strictement croissante :
\[ x^2-14x+73\lt25. \] \[ (x-7)^2+24\lt25. \] \[ (x-7)^2\lt1. \]Donc :
\[ 6\lt x\lt8. \]Il reste à exclure, dans cet intervalle, les valeurs pour lesquelles \(|\sin x|=0\) ou \(|\sin x|=1\). Ce sont :
\[ x=2\pi \qquad\text{et}\qquad x=\frac{5\pi}{2}. \]Méthodes à retenir
- Une substitution \(X=\ln x\) ou \(X=\log x\) ramène souvent le problème à une équation polynomiale.
- Les conditions d’existence doivent être conservées jusqu’à la vérification finale.
- Lorsque deux logarithmes ont la même base, leur comparaison se ramène à celle de leurs arguments.
- Dans une fraction, le signe du logarithme placé au dénominateur détermine le sens de l’inégalité après multiplication.
- Une discussion à paramètre repose sur le signe du discriminant et sur la position du paramètre par rapport aux valeurs critiques.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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