Correction des exercices 34 à 37
Exercices de perfectionnement — Logarithmes et suites
2e Bac Sciences Mathématiques
Présentation :
Cette page propose la correction détaillée des exercices de perfectionnement 34 à 37 du manuel Al Moufid. Le bloc porte sur les changements de base, une inégalité logarithmique, des sommes télescopiques et la divergence de la somme harmonique.
Cette page propose la correction détaillée des exercices de perfectionnement 34 à 37 du manuel Al Moufid. Le bloc porte sur les changements de base, une inégalité logarithmique, des sommes télescopiques et la divergence de la somme harmonique.
Méthodes essentielles :
utiliser la formule de changement de base, transformer les sommes de logarithmes
en logarithmes de produits, reconnaître les produits télescopiques et appliquer
le théorème des accroissements finis à la fonction logarithme.
Exercice 34 Changements de base et inégalité logarithmique
Énoncé
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels strictement supérieurs à \(1\).
1) Montrer les quatre identités de changement de base proposées.
2-a) Montrer que \(\dfrac{a^4+b^4}{a+b}\ge(ab)^{3/2}\).
2-b) En déduire l’inégalité logarithmique demandée.
1) Montrer les quatre identités de changement de base proposées.
2-a) Montrer que \(\dfrac{a^4+b^4}{a+b}\ge(ab)^{3/2}\).
2-b) En déduire l’inégalité logarithmique demandée.
1
Identités de changement de base
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels strictement supérieurs à \(1\).
Montrer les égalités suivantes :
\[
\log_{\frac1a}\left(\frac1b\right)=\log_a(b),
\qquad
\log_{\frac1a}(b)=\log_a\left(\frac1b\right),
\]
\[
\log_b(a)=\frac1{\log_a(b)},
\qquad
\log_c(a)=\log_c(b)\,\log_b(a).
\]
Correction
On utilise la formule de changement de base :
\[ \log_p(q)=\frac{\ln q}{\ln p}. \]Pour la première égalité :
\[ \begin{aligned} \log_{\frac1a}\left(\frac1b\right) &= \frac{\ln\left(\frac1b\right)} {\ln\left(\frac1a\right)}\\ &= \frac{-\ln b}{-\ln a}\\ &= \frac{\ln b}{\ln a}\\ &= \log_a(b). \end{aligned} \]Pour la deuxième :
\[ \begin{aligned} \log_{\frac1a}(b) &= \frac{\ln b}{-\ln a}\\ &= -\log_a(b)\\ &= \log_a\left(\frac1b\right). \end{aligned} \]Pour la troisième :
\[ \log_b(a) = \frac{\ln a}{\ln b} = \frac1{\frac{\ln b}{\ln a}} = \frac1{\log_a(b)}. \]Enfin :
\[ \begin{aligned} \log_c(b)\,\log_b(a) &= \frac{\ln b}{\ln c} \times \frac{\ln a}{\ln b}\\ &= \frac{\ln a}{\ln c}\\ &= \log_c(a). \end{aligned} \]
\[
\boxed{
\begin{aligned}
\log_{\frac1a}\left(\frac1b\right)&=\log_a(b),\\
\log_{\frac1a}(b)&=\log_a\left(\frac1b\right),\\
\log_b(a)&=\frac1{\log_a(b)},\\
\log_c(a)&=\log_c(b)\log_b(a).
\end{aligned}
}
\]
2-a
Démonstration de l’inégalité algébrique
Montrer que :
\[
\frac{a^4+b^4}{a+b}\ge(ab)^{3/2}.
\]
Correction
Comme \(a\gt0\) et \(b\gt0\), on a :
\[ \begin{aligned} &a^4+b^4-(a+b)(ab)^{3/2}\\ &= a^4+b^4-a^{5/2}b^{3/2}-a^{3/2}b^{5/2}\\ &= \left(a^{3/2}-b^{3/2}\right) \left(a^{5/2}-b^{5/2}\right). \end{aligned} \]Les fonctions \(x\mapsto x^{3/2}\) et \(x\mapsto x^{5/2}\) sont strictement croissantes sur \(\mathbb R_+\). Les deux différences ont donc toujours le même signe. Ainsi :
\[ \left(a^{3/2}-b^{3/2}\right) \left(a^{5/2}-b^{5/2}\right)\ge0. \]Par conséquent :
\[ a^4+b^4\ge(a+b)(ab)^{3/2}. \]Comme \(a+b\gt0\), on peut diviser par \(a+b\).
\[
\boxed{
\frac{a^4+b^4}{a+b}\ge(ab)^{3/2}
}
\]
2-b
Inégalité logarithmique
En déduire que :
\[
\log_a\left(\frac{b^4+c^4}{b+c}\right)
+
\log_b\left(\frac{c^4+a^4}{c+a}\right)
+
\log_c\left(\frac{a^4+b^4}{a+b}\right)
\ge9.
\]
Correction
D’après la question précédente :
\[ \frac{b^4+c^4}{b+c}\ge(bc)^{3/2}. \]Comme \(a\gt1\), la fonction \(\log_a\) est strictement croissante. Donc :
\[ \log_a\left(\frac{b^4+c^4}{b+c}\right) \ge \frac32\left(\log_a b+\log_a c\right). \]De même :
\[ \log_b\left(\frac{c^4+a^4}{c+a}\right) \ge \frac32\left(\log_b c+\log_b a\right), \] \[ \log_c\left(\frac{a^4+b^4}{a+b}\right) \ge \frac32\left(\log_c a+\log_c b\right). \]En additionnant :
\[ \begin{aligned} \Sigma \ge\frac32\Big[ &\left(\log_a b+\log_b a\right)\\ &+\left(\log_a c+\log_c a\right)\\ &+\left(\log_b c+\log_c b\right) \Big]. \end{aligned} \]Or, pour tout réel \(t\gt0\) :
\[ t+\frac1t\ge2. \]D’après la question 1 :
\[ \log_b a=\frac1{\log_a b}. \]Ainsi :
\[ \log_a b+\log_b a\ge2. \]De même, les deux autres sommes sont chacune supérieures ou égales à \(2\). Par conséquent :
\[ \Sigma\ge\frac32(2+2+2)=9. \]
\[
\boxed{
\log_a\left(\frac{b^4+c^4}{b+c}\right)
+
\log_b\left(\frac{c^4+a^4}{c+a}\right)
+
\log_c\left(\frac{a^4+b^4}{a+b}\right)
\ge9
}
\]
Exercice 35 Somme télescopique de logarithmes
Énoncé
Soit :
\[
u_n=\ln\left(\frac{n}{n+1}\right),
\qquad
S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k.
\]
Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\), puis calculer sa limite.
1
Calcul de la somme partielle
Soit la suite définie par :
\[
u_n=\ln\left(\frac{n}{n+1}\right).
\]
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[
S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k.
\]
Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\).
Correction
On écrit :
\[ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)\\ &= \ln\left( \prod_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1} \right). \end{aligned} \]Le produit est télescopique :
\[ \prod_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1} = \frac12\times\frac23\times\cdots\times\frac{n}{n+1} = \frac1{n+1}. \]Donc :
\[ S_n=\ln\left(\frac1{n+1}\right)=-\ln(n+1). \]
\[
\boxed{
S_n=-\ln(n+1)
}
\]
2
Limite de la somme partielle
Calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty}S_n.
\]
Correction
On a :
\[ S_n=-\ln(n+1). \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\ln(n+1)=+\infty. \]Par conséquent :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n=-\infty. \]
\[
\boxed{
\lim_{n\to+\infty}S_n=-\infty
}
\]
Exercice 36 Produit télescopique et limite
Énoncé
Pour \(n\ge2\), on pose :
\[
u_n=\sum_{k=2}^{n}\ln\left(1-\frac1{k^2}\right).
\]
Montrer que
\(u_n=\ln\left(1+\dfrac1n\right)-\ln2\),
puis déterminer sa limite.
1
Simplification de la somme logarithmique
On considère, pour \(n\ge2\) :
\[
u_n=\sum_{k=2}^{n}\ln\left(1-\frac1{k^2}\right).
\]
Montrer que :
\[
u_n=\ln\left(1+\frac1n\right)-\ln2.
\]
Correction
Pour tout \(k\ge2\) :
\[ 1-\frac1{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} u_n &= \ln\left[ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \right]\\ &= \ln\left[ \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k}\right) \left(\prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k}\right) \right]. \end{aligned} \]Or :
\[ \prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k} = \frac12\times\frac23\times\cdots\times\frac{n-1}{n} = \frac1n, \]et :
\[ \prod_{k=2}^{n}\frac{k+1}{k} = \frac32\times\frac43\times\cdots\times\frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{2}. \]Ainsi :
\[ u_n = \ln\left(\frac{n+1}{2n}\right) = \ln\left(1+\frac1n\right)-\ln2. \]
\[
\boxed{
u_n=\ln\left(1+\frac1n\right)-\ln2
}
\]
2
Limite de la suite
Déterminer :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n.
\]
Correction
Comme :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)=1, \]la continuité de la fonction logarithme en \(1\) donne :
\[ \lim_{n\to+\infty} \ln\left(1+\frac1n\right)=0. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=-\ln2. \]
\[
\boxed{
\lim_{n\to+\infty}u_n=-\ln2
}
\]
Exercice 37 Encadrement logarithmique et somme harmonique
Énoncé
1) Montrer que, pour tout \(x\ge1\) :
\[
\frac1{x+1}
\lt
\ln(x+1)-\ln x
\lt
\frac1x.
\]
2) Pour
\(u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac1k\),
montrer que \(u_n\gt\ln(n+1)\), puis déterminer la limite de \(u_n\).
1
Encadrement d’une différence de logarithmes
Montrer que, pour tout \(x\in[1,+\infty[\) :
\[
\frac1{x+1}
\lt
\ln(x+1)-\ln x
\lt
\frac1x.
\]
Correction
La fonction \(\ln\) est continue sur \([x,x+1]\) et dérivable sur \(]x,x+1[\). D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]x,x+1[\) tel que :
\[ \ln(x+1)-\ln x = \frac1c\big((x+1)-x\big) = \frac1c. \]Comme :
\[ x\lt c\lt x+1 \]et que la fonction \(t\mapsto\dfrac1t\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R_+^*\), on obtient :
\[ \frac1{x+1} \lt \frac1c \lt \frac1x. \]Par conséquent :
\[
\boxed{
\frac1{x+1}
\lt
\ln(x+1)-\ln x
\lt
\frac1x
}
\]
2-a
Minoration de la somme harmonique
On considère la suite :
\[
u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k.
\]
Montrer que :
\[
u_n\gt\ln(1+n).
\]
Correction
En appliquant l’inégalité de la question précédente à \(x=k\), pour tout entier \(k\ge1\), on obtient :
\[ \ln(k+1)-\ln k \lt \frac1k. \]En sommant de \(k=1\) à \(k=n\) :
\[ \sum_{k=1}^{n} \big(\ln(k+1)-\ln k\big) \lt \sum_{k=1}^{n}\frac1k. \]La somme de gauche est télescopique :
\[ \ln(n+1)-\ln1 \lt u_n. \]Comme \(\ln1=0\), on obtient :
\[
\boxed{
u_n\gt\ln(n+1)
}
\]
2-b
Limite de la somme harmonique
En déduire :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n.
\]
Correction
D’après la question précédente :
\[ u_n\gt\ln(n+1). \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\ln(n+1)=+\infty. \]Par comparaison, on en déduit :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. \]
\[
\boxed{
\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty
}
\]
Méthodes à retenir
- La formule de changement de base permet de comparer et de transformer des logarithmes de bases différentes.
- Une inégalité algébrique peut être transférée aux logarithmes lorsque la base est strictement supérieure à \(1\).
- Les produits télescopiques apparaissent naturellement après transformation d’une somme de logarithmes.
- Le théorème des accroissements finis fournit un encadrement précis de \(\ln(x+1)-\ln x\).
- Une minoration par une suite qui tend vers \(+\infty\) permet d’établir la divergence vers \(+\infty\).
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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