Correction des exercices 38 à 42
Exercices de perfectionnement — Suites, continuité et limites
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée des exercices de perfectionnement 38 à 42 du manuel Al Moufid. Le bloc porte sur les sommes télescopiques, les limites unilatérales, la continuité aux bornes et plusieurs limites logarithmiques.
Exercice 38 Somme télescopique en base un tiers
2) Simplifier \(x_n\), puis déterminer sa limite.
Pour \(x\ge2\), tous les nombres qui interviennent dans les logarithmes sont strictement positifs. On a :
\[ \begin{aligned} 1-\frac{2}{x(x+1)} &= \frac{x(x+1)-2}{x(x+1)}\\ &= \frac{x^2+x-2}{x(x+1)}\\ &= \frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)}. \end{aligned} \]En utilisant les propriétés du logarithme :
\[ \begin{aligned} \log_{\frac13}\left( \frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)} \right) &= \log_{\frac13}(x-1) +\log_{\frac13}(x+2)\\ &\quad -\log_{\frac13}(x) -\log_{\frac13}(x+1). \end{aligned} \]D’après la question précédente :
\[ \begin{aligned} x_n &= \sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac13}(k-1)-\log_{\frac13}(k) \right]\\ &\quad+ \sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac13}(k+2)-\log_{\frac13}(k+1) \right]. \end{aligned} \]La première somme est télescopique :
\[ \sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac13}(k-1)-\log_{\frac13}(k) \right] = -\log_{\frac13}(n). \]La deuxième somme est également télescopique :
\[ \sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac13}(k+2)-\log_{\frac13}(k+1) \right] = \log_{\frac13}(n+2)-\log_{\frac13}(3). \]Donc :
\[ \begin{aligned} x_n &= \log_{\frac13}(n+2) -\log_{\frac13}(3n)\\ &= \log_{\frac13}\left(\frac{n+2}{3n}\right). \end{aligned} \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+2}{3n} = \frac13. \]Par continuité de la fonction logarithme de base \(\frac13\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}x_n = \log_{\frac13}\left(\frac13\right) = 1. \]Exercice 39 Limites unilatérales et prolongement
Pour \(x\ne0\), on écrit :
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{\sqrt{x^2\, \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}}}{x}\\ &= \frac{|x|}{x} \sqrt{\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}}. \end{aligned} \]Or, en posant \(u=x^2\), on a \(u\to0^+\) et :
\[ \lim_{u\to0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0} \sqrt{\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}} = 1. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\dfrac{|x|}{x}=1\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]Lorsque \(x\to0^-\), on a \(\dfrac{|x|}{x}=-1\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-1. \]Pour qu’un prolongement par continuité en \(0\) existe, il faudrait que la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\to0\) existe.
Or :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=-1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]Les deux limites unilatérales sont différentes. La limite en \(0\) n’existe donc pas.
Exercice 40 Continuité aux bornes de [0,1]
Continuité à droite en \(0\).
Pour \(x\in]0,1[\) :
\[ \ln x\,\ln(1-x) = (x\ln x)\, \frac{\ln(1-x)}{x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \]et :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0). \]Continuité à gauche en \(1\).
Posons \(t=1-x\). Lorsque \(x\to1^-\), on a \(t\to0^+\), et :
\[ f(x)=\ln(1-t)\ln t. \]On écrit :
\[ \ln(1-t)\ln t = \frac{\ln(1-t)}{t}\,(t\ln t). \]Or :
\[ \lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1-t)}{t}=-1 \]et :
\[ \lim_{t\to0^+}t\ln t=0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=0=f(1). \]Exercice 41 Limites fondamentales et compositions
Posons :
\[ u(t)=2t\sqrt[3]{t}-1=2t^{4/3}-1. \]Lorsque \(t\to1\), on a \(u(t)\to1\). On écrit :
\[ \frac{\ln(u(t))}{t-1} = \frac{\ln(u(t))}{u(t)-1} \times \frac{u(t)-1}{t-1}. \]Le premier facteur tend vers \(1\), car :
\[ \lim_{v\to1}\frac{\ln v}{v-1}=1. \]Le deuxième facteur tend vers \(u'(1)\). Or :
\[ u'(t)=\frac83t^{1/3}, \qquad u'(1)=\frac83. \]Donc :
Posons :
\[ t=\tan x. \]Lorsque \(x\to\dfrac{\pi}{4}\), on a \(t\to1\). La limite devient :
\[ \lim_{t\to1} \frac{\ln\left(2t\sqrt[3]{t}-1\right)}{t-1}. \]D’après la question précédente, cette limite vaut \(\dfrac83\).
Si \(a=0\), le résultat est immédiat.
Supposons \(a\ne0\). Pour \(x\) suffisamment grand, \(1+\dfrac ax\gt0\), et :
\[ x\ln\left(1+\frac ax\right) = a\, \frac{ \ln\left(1+\frac ax\right) }{ \frac ax }. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(\dfrac ax\to0\). Or :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1. \]Par conséquent :
Pour \(x\gt0\) :
\[ \ln(1+x) = \ln x+\ln\left(1+\frac1x\right). \]Donc :
\[ \frac{\ln(1+x)}{\ln x} = 1+ \frac{ \ln\left(1+\frac1x\right) }{ \ln x }. \]Lorsque \(x\to+\infty\), le numérateur du deuxième terme tend vers \(0\) et le dénominateur tend vers \(+\infty\). Ainsi ce terme tend vers \(0\).
On a :
\[ \frac{\ln(1+x)}{\ln x} = 1+ \frac{ \ln\left(1+\frac1x\right) }{ \ln x }. \]Posons :
\[ u_x= \frac{ \ln\left(1+\frac1x\right) }{ \ln x }. \]D’après la question précédente, \(u_x\to0\). Alors :
\[ x\ln(1+u_x) = \left( x\,u_x \right) \frac{\ln(1+u_x)}{u_x}. \]Or :
\[ \frac{\ln(1+u_x)}{u_x}\longrightarrow1. \]D’autre part :
\[ x\,u_x = \frac{ x\ln\left(1+\frac1x\right) }{ \ln x }. \]D’après la question 2-a avec \(a=1\), le numérateur tend vers \(1\), alors que \(\ln x\to+\infty\). Donc :
\[ x\,u_x\longrightarrow0. \]Par conséquent :
Exercice 42 Calcul de quatre limites
On décompose :
\[ \frac{\ln(1+\sin(2x))}{\tan x} = \frac{\ln(1+\sin(2x))}{\sin(2x)} \times \frac{\sin(2x)}{2x} \times \frac{2x}{\tan x}. \]Lorsque \(x\to0\) :
\[ \frac{\ln(1+\sin(2x))}{\sin(2x)} \longrightarrow1, \] \[ \frac{\sin(2x)}{2x}\longrightarrow1, \]et :
\[ \frac{2x}{\tan x}\longrightarrow2. \]Donc :
On remarque que :
\[ 1-\ln(e-x) = \ln e-\ln(e-x) = -\ln\left(1-\frac xe\right). \]Ainsi :
\[ \frac{\sqrt{x}}{1-\ln(e-x)} = \frac1{\sqrt{x}} \times \frac{x}{ -\ln\left(1-\frac xe\right) }. \]Or :
\[ \frac{ -\ln\left(1-\frac xe\right) }{ \frac xe } \longrightarrow1. \]Donc :
\[ \frac{x}{ -\ln\left(1-\frac xe\right) } \longrightarrow e. \]Comme \(\dfrac1{\sqrt{x}}\to+\infty\), on en déduit :
Posons \(u=\dfrac1x\). Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u\to0^+\). De plus :
\[ x\tan^2\left(\frac1x\right) = \frac{\tan^2u}{u} = u\left(\frac{\tan u}{u}\right)^2. \]Or :
\[ u\longrightarrow0^+ \qquad\text{et}\qquad \frac{\tan u}{u}\longrightarrow1. \]Donc :
\[ x\tan^2\left(\frac1x\right) \longrightarrow0^+. \]Par conséquent :
Posons :
\[ A_x= x\tan^2\left(\frac1x\right). \]D’après la question précédente :
\[ A_x\longrightarrow0^+. \]Donc, pour \(x\) suffisamment grand, \(0\lt A_x\lt1\), et :
\[ \ln(A_x^{-x}) = -x\ln(A_x). \]Comme \(\ln(A_x)\to-\infty\), on a \(-\ln(A_x)\to+\infty\). De plus, \(x\to+\infty\). Par conséquent :
\[ -x\ln(A_x)\longrightarrow+\infty. \]Méthodes à retenir
- Les propriétés du logarithme permettent de transformer une somme en produit télescopique.
- Lorsque la racine porte sur \(x^2\), il faut conserver la valeur absolue \(|x|\).
- La continuité à une extrémité se vérifie avec une limite unilatérale.
- Une substitution adaptée ramène souvent une limite composée à une limite déjà calculée.
- Les limites \(\dfrac{\ln(1+u)}u\), \(\dfrac{\sin u}u\) et \(\dfrac{\tan u}u\) sont utilisées après une transformation explicite.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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