Correction des exercices 43 à 45
Exercices de perfectionnement — Primitives et encadrement de e
2e Bac Sciences Mathématiques
Présentation :
Cette page propose la correction détaillée des exercices de perfectionnement 43 à 45 du manuel Al Moufid. Le bloc porte sur la décomposition en éléments simples, le calcul de primitives et un encadrement classique du nombre \(e\).
Cette page propose la correction détaillée des exercices de perfectionnement 43 à 45 du manuel Al Moufid. Le bloc porte sur la décomposition en éléments simples, le calcul de primitives et un encadrement classique du nombre \(e\).
Méthodes essentielles :
décomposer une fonction rationnelle avant d’intégrer,
reconnaître une primitive de la fonction sécante,
puis établir des inégalités logarithmiques à partir du signe d’une dérivée.
Exercice 43 Décomposition et calcul de primitives
Énoncé
On considère :
\[
f(x)=\frac{3x-2}{(2x-1)^2},
\qquad
x\ne\frac12.
\]
1) Déterminer \(a\) et \(b\) dans la décomposition proposée.
2) Déterminer les primitives de \(f\) sur \(\left]\dfrac12,+\infty\right[\).
3) Déterminer la primitive \(F\) telle que \(F(1)=1\).
2) Déterminer les primitives de \(f\) sur \(\left]\dfrac12,+\infty\right[\).
3) Déterminer la primitive \(F\) telle que \(F(1)=1\).
1
Décomposition en éléments simples
On considère :
\[
f(x)=\frac{3x-2}{(2x-1)^2},
\qquad
x\ne\frac12.
\]
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que :
\[
f(x)=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{(2x-1)^2}.
\]
Correction
Pour \(x\ne\dfrac12\) :
\[ \frac{a}{2x-1}+\frac{b}{(2x-1)^2} = \frac{a(2x-1)+b}{(2x-1)^2}. \]Il faut donc avoir :
\[ a(2x-1)+b=3x-2. \]En identifiant les coefficients de \(x\) et les termes constants :
\[ \begin{cases} 2a=3,\\ -a+b=-2. \end{cases} \]Ainsi :
\[ a=\frac32 \qquad\text{et}\qquad b=-\frac12. \]
\[
\boxed{
f(x)=
\frac{3}{2(2x-1)}
-
\frac{1}{2(2x-1)^2}
}
\]
2
Primitives sur l’intervalle demandé
Déterminer les primitives de \(f\) sur :
\[
\left]\frac12,+\infty\right[.
\]
Correction
Sur \(\left]\dfrac12,+\infty\right[\), on a \(2x-1\gt0\). D’après la décomposition précédente :
\[ f(x)= \frac{3}{2(2x-1)} - \frac{1}{2(2x-1)^2}. \]Or :
\[ \int\frac{3}{2(2x-1)}\,dx = \frac34\ln(2x-1), \]et :
\[ \int-\frac{1}{2(2x-1)^2}\,dx = \frac{1}{4(2x-1)}. \]Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions :
\[ F_C(x) = \frac34\ln(2x-1) + \frac{1}{4(2x-1)} + C, \qquad C\in\mathbb R. \]
\[
\boxed{
F_C(x)=
\frac34\ln(2x-1)
+
\frac{1}{4(2x-1)}
+
C
}
\]
3
Primitive vérifiant une condition initiale
Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) sur
\(\left]\dfrac12,+\infty\right[\) telle que :
\[
F(1)=1.
\]
Correction
Toute primitive de \(f\) s’écrit :
\[ F(x) = \frac34\ln(2x-1) + \frac{1}{4(2x-1)} + C. \]Pour \(x=1\) :
\[ F(1) = \frac34\ln1 + \frac14 + C = \frac14+C. \]La condition \(F(1)=1\) donne :
\[ \frac14+C=1, \] \[ C=\frac34. \]
\[
\boxed{
F(x)=
\frac34\ln(2x-1)
+
\frac{1}{4(2x-1)}
+
\frac34
}
\]
Exercice 44 Une primitive de la fonction sécante
Énoncé
Sur
\(I=\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\),
on considère :
\[
f(x)=
\ln\left(
\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)
\right).
\]
1) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(I\), puis calculer \(f'(x)\).
2) Déterminer les primitives de \(x\mapsto\dfrac1{\cos x}\) sur \(I\).
2) Déterminer les primitives de \(x\mapsto\dfrac1{\cos x}\) sur \(I\).
1
Dérivabilité et calcul de la dérivée
On considère la fonction définie sur :
\[
I=\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[
\]
par :
\[
f(x)=
\ln\left(
\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)
\right).
\]
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(I\), puis calculer \(f'(x)\).
Correction
Pour \(x\in I\) :
\[ 0 \lt \frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} \lt \frac{\pi}{2}. \]La tangente est donc strictement positive sur cet intervalle. Le logarithme est bien défini et la fonction \(f\) est dérivable sur \(I\).
Posons :
\[ u(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}. \]Alors \(u'(x)=\dfrac12\), et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{\tan u(x)} \times \frac{1}{\cos^2u(x)} \times \frac12\\ &= \frac{1}{2\sin u(x)\cos u(x)}\\ &= \frac{1}{\sin(2u(x))}. \end{aligned} \]Or :
\[ 2u(x)=\frac{\pi}{2}+x, \]donc :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x. \]
\[
\boxed{
\forall x\in I,\qquad
f'(x)=\frac1{\cos x}
}
\]
2
Primitives de la fonction sécante
Déterminer les primitives de la fonction :
\[
x\longmapsto\frac1{\cos x}
\]
sur l’intervalle \(I\).
Correction
D’après la question précédente :
\[ f'(x)=\frac1{\cos x}. \]Par conséquent, toutes les primitives de \(x\mapsto\dfrac1{\cos x}\) sur \(I\) sont de la forme :
\[ F_C(x) = \ln\left( \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right) + C, \qquad C\in\mathbb R. \]
\[
\boxed{
F_C(x)=
\ln\left(
\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)
\right)
+
C
}
\]
Exercice 45 Encadrement logarithmique du nombre e
Énoncé
1) Montrer que, pour tout \(x\gt1\) :
\[
\frac{x-1}{x}
\lt
\ln x
\lt
x-1.
\]
2) Appliquer cet encadrement à
\(x=\sqrt[n]{e}\), puis en déduire que \(e\lt3\).
1
Encadrement de ln x
Montrer que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :
\[
\frac{x-1}{x}
\lt
\ln x
\lt
x-1.
\tag{1}
\]
Correction
Majoration de \(\ln x\).
Considérons :
\[ \varphi(x)=x-1-\ln x. \]Pour \(x\gt1\) :
\[ \varphi'(x) = 1-\frac1x = \frac{x-1}{x} \gt0. \]Comme \(\varphi(1)=0\), on obtient :
\[ \varphi(x)\gt0 \qquad(x\gt1). \]Donc :
\[ \ln x\lt x-1. \]Minoration de \(\ln x\).
Considérons :
\[ \psi(x) = \ln x-\frac{x-1}{x} = \ln x-1+\frac1x. \]Pour \(x\gt1\) :
\[ \psi'(x) = \frac1x-\frac1{x^2} = \frac{x-1}{x^2} \gt0. \]Comme \(\psi(1)=0\), on a :
\[ \psi(x)\gt0 \qquad(x\gt1). \]Par conséquent :
\[ \frac{x-1}{x}\lt\ln x. \]
\[
\boxed{
\forall x\gt1,\qquad
\frac{x-1}{x}
\lt
\ln x
\lt
x-1
}
\]
2
Encadrement de e
En appliquant l’inégalité (1) à :
\[
x=\sqrt[n]{e},
\qquad n\ge2,
\]
montrer que :
\[
\left(1+\frac1n\right)^n
\lt
e
\lt
\left(1-\frac1n\right)^{-n}.
\]
En déduire que \(e\lt3\).
Correction
Soit \(n\ge2\) et posons :
\[ x=e^{1/n}. \]On a \(x\gt1\) et :
\[ \ln x=\frac1n. \]L’inégalité (1) donne :
\[ \frac{x-1}{x} \lt \frac1n \lt x-1. \]De :
\[ \frac1n\lt x-1, \]on déduit :
\[ x\gt1+\frac1n. \]Comme les deux membres sont strictement positifs :
\[ e=x^n > \left(1+\frac1n\right)^n. \]D’autre part :
\[ \frac{x-1}{x}\lt\frac1n \]équivaut à :
\[ 1-\frac1x\lt\frac1n. \]Donc :
\[ \frac1x\gt1-\frac1n, \]puis :
\[ x\lt \left(1-\frac1n\right)^{-1}. \]En élevant à la puissance \(n\) :
\[ e=x^n \lt \left(1-\frac1n\right)^{-n}. \]
Pour obtenir \(e\lt3\), on choisit \(n=6\).
\[
e
\lt
\left(1-\frac16\right)^{-6}
=
\left(\frac65\right)^6
=
\frac{46656}{15625}.
\]
Or :
\[ 46656 \lt 46875 = 3\times15625. \]Ainsi :
\[ \frac{46656}{15625}\lt3. \]
\[
\boxed{
\left(1+\frac1n\right)^n
\lt
e
\lt
\left(1-\frac1n\right)^{-n}
\qquad(n\ge2)
}
\]
\[
\boxed{e\lt3}
\]
Méthodes à retenir
- La décomposition en éléments simples facilite le calcul des primitives d’une fonction rationnelle.
- Sur l’intervalle considéré, la positivité de la tangente garantit que le logarithme est bien défini.
- Une primitive de \(1/\cos x\) peut être obtenue en dérivant une expression logarithmique adaptée.
- Le signe de la dérivée permet d’établir les deux encadrements de \(\ln x\).
- Un choix judicieux de \(n\) permet de transformer l’encadrement général de \(e\) en une borne numérique simple.
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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